![Se aplica el método determinante
Para hallar la solución x1
Aplicamos método de cofactores
𝑥1 =
Δ𝑥1
ΔΑ
=
𝛽10 𝑦1 − 𝑒1 𝛽12
𝛽20 𝑦2 − 𝑒2 𝛽22
𝛽30 (𝑦3 − 𝑒3) 𝛽32
ΔΑ
𝑥1 =
Δ𝑥1
ΔΑ
=
𝛽10[𝛽32 𝑦2 − 𝑒2 − 𝛽22 𝑦3 − 𝑒3 ]
− 𝑦1 − 𝑒1 𝛽20𝛽32 − 𝛽22𝛽30
+𝛽12 𝛽20 𝑦3 − 𝑒3 − 𝛽30 𝑦2 − 𝑒2
ΔΑ](https://image.slidesharecdn.com/matrices-221215000656-9210004f/85/Matrices-pptx-5-320.jpg)
![Se aplica el método determinante obtenido
anteriormente.
Para hallar la solución x1
𝑥1 =
400 47.000𝑥200 − 400𝑥23.500
−55.000 300𝑥200 − 400𝑥100
+500 300𝑥23.500 − 47.000𝑥100
1´500.000
𝑥1 =
75000000
1´500.000
= 50
𝑥1 =
Δ𝑥1
ΔΑ
=
𝛽10[𝛽32 𝑦2 − 𝑒2 − 𝛽22 𝑦3 − 𝑒3 ]
− 𝑦1 − 𝑒1 𝛽20𝛽32 − 𝛽22𝛽30
+𝛽12 𝛽20 𝑦3 − 𝑒3 − 𝛽30 𝑦2 − 𝑒2
ΔΑ](https://image.slidesharecdn.com/matrices-221215000656-9210004f/85/Matrices-pptx-12-320.jpg)
Matrices.pptx
- 1. Un "Sistema de ecuaciones" es un conjunto de ecuaciones con más de una incógnita que conforman un problema matemático que consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas operaciones. Sylvester (1850): Creador del Término Matriz. Hamilton (1853): Reforzó la Teoría de Sylvester. Cayley (1858): Fue el pionero de la notación matricial abreviando un sistema de (𝑚) ecuaciones lineales con (𝑛) incógnitas, como se usa hasta la actualidad. Concepto Historia
- 2. Del ejercicio propuesto se aplica el método determinante para hallar la solución Aplicamos método de Cramer 𝑦1 − 𝑒1 = 𝛽10𝑥0 + 𝛽11𝑥1 + 𝛽12𝑥 𝑦2 − 𝑒2 = 𝛽20𝑥0 + 𝛽21𝑥1 + 𝛽22𝑥2 𝑦3 − 𝑒3 = 𝛽30𝑥0 + 𝛽31𝑥1 + 𝛽32𝑥2 𝑥0 = Δ𝑥0 ΔΑ 𝑥1 = Δ𝑥1 ΔΑ 𝑥2 = Δ𝑥2 ΔΑ 𝑒𝑖~𝑁(0 , 1) 𝑖 = 1,2 𝑦 3
- 3. Se obtiene ΔΑ mediante método de cofactores ΔΑ = 𝛽10 𝛽21𝛽32 − 𝛽22𝛽31 Aplicamos método de cofactores ΔΑ = 𝛽10 𝛽11 𝛽12 𝛽20 𝛽21 𝛽22 𝛽30 𝛽31 𝛽32 −𝛽11 𝛽20𝛽32 − 𝛽22𝛽30 +𝛽12 𝛽20𝛽31 − 𝛽21𝛽30
- 4. Se aplica el método determinante Para hallar la solución x0 Aplicamos método de cofactores 𝑥0 = Δ𝑥0 ΔΑ = 𝑦1 − 𝑒1 𝛽11 𝛽12 𝑦2 − 𝑒2 𝛽21 𝛽22 (𝑦3 − 𝑒3) 𝛽31 𝛽32 ΔΑ 𝑥0 = Δ𝑥0 ΔΑ = 𝑦1 − 𝑒1 𝛽21𝛽32 − 𝛽22𝛽31 −𝛽11 𝑦2 − 𝑒2 𝛽32 − 𝑦3 − 𝑒3 𝛽22 +𝛽12 𝑦2 − 𝑒2 𝛽31 − 𝛽21 𝑦3 − 𝑒3 ΔΑ
- 5. Se aplica el método determinante Para hallar la solución x1 Aplicamos método de cofactores 𝑥1 = Δ𝑥1 ΔΑ = 𝛽10 𝑦1 − 𝑒1 𝛽12 𝛽20 𝑦2 − 𝑒2 𝛽22 𝛽30 (𝑦3 − 𝑒3) 𝛽32 ΔΑ 𝑥1 = Δ𝑥1 ΔΑ = 𝛽10[𝛽32 𝑦2 − 𝑒2 − 𝛽22 𝑦3 − 𝑒3 ] − 𝑦1 − 𝑒1 𝛽20𝛽32 − 𝛽22𝛽30 +𝛽12 𝛽20 𝑦3 − 𝑒3 − 𝛽30 𝑦2 − 𝑒2 ΔΑ
- 6. 𝑥2 = Δ𝑥2 ΔΑ = 𝛽10 𝛽11 𝑦1 − 𝑒1 𝛽20 𝛽21 𝑦2 − 𝑒2 𝛽30 𝛽31 𝑦3 − 𝑒3 ΔΑ Se aplica el método determinante Para hallar la solución x2 Aplicamos método de cofactores 𝑥2 = Δ𝑥2 ΔΑ = 𝛽10 𝛽21 𝑦3 − 𝑒3 − 𝛽31 𝑦2 − 𝑒2 −𝛽11 𝛽20 𝑦3 − 𝑒3 − 𝛽30 𝑦2 − 𝑒2 + 𝑦1 − 𝑒1 𝛽20𝛽31 − 𝛽21𝛽30 ΔΑ
- 7. Se cuenta con 3 almacenes que venden 3 tipos de productos en Quito Guayaquil y Cuenca, cuyas ventas en el año anterior por producto vendido se pueden representar en una matriz A de orden 3x3 de tal forma que en cada fila aparezcan las ventas realizadas por cada uno de los almacenes y en cada columna las proporcionadas a cada tipos de producto. Los ingresos obtenidos el año pasado de los 3 almacenes por cada producto se pueden representar con la matriz Y de orden 3x1. EJERCICIO A = 400 100 500 300 150 400 100 100 200 Y = 55.000 47.000 23.500 TOTAL DE VENTAS DE ALMACENES (DÓLARES) VENTA POR PRODUCTOS QUITO GUAYAQUIL CUENCA
- 8. Lo que se requiere obtener son los precios unitarios de cada producto, que pueden ser representados con la matriz X es de orden 3x1. Para resolver este problema es necesario emplear un sistema de ecuaciones de la forma Y=AX, se considera al margen de error igual a cero. EJERCICIO X = 𝑥0 𝑥1 𝑥2 Finalmente, se obtendría un sistema de la siguiente forma Y=AX 55.000 47.000 23.500 = 400 100 500 300 150 400 100 100 200 𝑥0 𝑥1 𝑥2
- 9. Representando el sistema de ecuaciones lineales se obtendría lo siguiente: Obteniendo las variables a partir de la ecuación. 55.000 = 400 𝑥0 + 100 𝑥1 + 500𝑥2 47.000 = 300 𝑥0 + 150 𝑥1 + 400 𝑥2 23.500 = 100 𝑥0 + 100 𝑥1 + 200 𝑥2 𝛽10 = 400 𝛽11 = 100 𝛽12 = 500 𝛽30 = 100 𝛽31 = 100 𝛽32 = 200 𝛽20 = 300 𝛽21 = 150 𝛽22 = 400 𝑦1 − 𝑒1 = 55.000 𝑦2 − 𝑒2 = 47.000 𝑦3 − 𝑒3 = 23.500
- 10. Reemplazo de valores en lo obtenido mediante el método de Cramer para hallar x0, x1 y x2. 𝑥0 = Δ𝑥0 ΔΑ 𝑥1 = Δ𝑥1 ΔΑ 𝑥2 = Δ𝑥2 ΔΑ ΔΑ = 400 150𝑥200 − 400𝑥100 −100(300𝑥200 − Δ𝐴 = 𝛽10 𝛽21𝛽32 − 𝛽22𝛽31 − 𝛽11 𝛽20𝛽32 − 𝛽22𝛽30 + 𝛽12 𝛽20𝛽31 − 𝛽21𝛽30
- 11. Se aplica el método determinante obtenido anteriormente. Para hallar la solución x0 𝑥0 = 55.000 150𝑥200 − 400𝑥100 −100 47.000𝑥200 − 400𝑥23.500 +500 47.000𝑥100 − 150𝑥23.500 1´500.000 𝑥0 = 37500000 1´500.000 = 25 𝑥0 = Δ𝑥0 ΔΑ = 𝑦1 − 𝑒1 𝛽21𝛽32 − 𝛽22𝛽31 −𝛽11 𝑦2 − 𝑒2 𝛽32 − 𝑦3 − 𝑒3 𝛽22 +𝛽12 𝑦2 − 𝑒2 𝛽31 − 𝛽21 𝑦3 − 𝑒3 ΔΑ
- 12. Se aplica el método determinante obtenido anteriormente. Para hallar la solución x1 𝑥1 = 400 47.000𝑥200 − 400𝑥23.500 −55.000 300𝑥200 − 400𝑥100 +500 300𝑥23.500 − 47.000𝑥100 1´500.000 𝑥1 = 75000000 1´500.000 = 50 𝑥1 = Δ𝑥1 ΔΑ = 𝛽10[𝛽32 𝑦2 − 𝑒2 − 𝛽22 𝑦3 − 𝑒3 ] − 𝑦1 − 𝑒1 𝛽20𝛽32 − 𝛽22𝛽30 +𝛽12 𝛽20 𝑦3 − 𝑒3 − 𝛽30 𝑦2 − 𝑒2 ΔΑ
- 13. Se aplica el método determinante obtenido anteriormente. Para hallar la solución x2 𝑥2 = 400 150𝑥23.500 − 47.000𝑥100 −100 300𝑥23.500 − 47.000𝑥100 +55.000 300𝑥100 − 150𝑥100 1´500.000 𝑥2 = 120000000 1´500.000 = 80 𝑥2 = Δ𝑥2 ΔΑ = 𝛽10 𝛽21 𝑦3 − 𝑒3 − 𝛽31 𝑦2 − 𝑒2 −𝛽11 𝛽20 𝑦3 − 𝑒3 − 𝛽30 𝑦2 − 𝑒2 + 𝑦1 − 𝑒1 𝛽20𝛽31 − 𝛽21𝛽30 ΔΑ
- 14. Finalmente, los precios unitarios de cada producto se pueden escribir en x de orden 3x1 en la forma. 𝑋 = 25 50 80 𝑋 = 𝑥0 𝑥1 𝑥2