Resolucion sistemas
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Este documento presenta tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones: sustitución, igualación y reducción. Un sistema de ecuaciones consiste en dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas comunes. Resolver un sistema es encontrar el valor numérico de cada incógnita. Los tres métodos explican cómo despejar las incógnitas y obtener una sola ecuación que se puede resolver para encontrar los valores de las incógnitas originales.
Resolucion sistemas
- 1. SISTEMAS DE ECUACIONES MÉTODOS: SUSTITUCIÓN, IGUALACIÓN Y REDUCCIÓN
- 2. LO QUE APRENDEREMOS • Lo que vamos aprender en esta presentación es: Lo que es un Sistema de Ecuaciones Métodos de resolver un Sistema de dos ecuaciones de primer grado con una sola incógnita: • Sustitución • Igualación • Reducción
- 3. SISTEMAS DE ECUACIONES •En el caso de Ana y Víctor, ambos han comprado las cosas en la misma tienda y el mismo día. •Lo más normal es que el precio de cada cartulina sea el mismo para las tres personas (X). Del mismo modo, la barra de pegamento vale igual (Y) para cada una de ellas. •La situación de Ana la podemos escribir: 5x + 2y = 2´90 •La situación de Víctor sería: 8x + y = 3´10 •Nos encontramos ante dos ecuaciones con las mismas dos incógnitas. Esto es un Sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
- 4. SISTEMAS DE ECUACIONES Resumiendo: Un sistema de ecuaciones es un conjunto de varias ecuaciones con varias incógnitas comunes entre sí Resolver un sistema de ecuaciones es buscar el valor de cada una de las incógnitas.
- 5. Sistemas de Ecuaciones ax + by = c a′x + b′y = c′ INCÓGNITA INCÓGNITA ECUACIÓN 1 ECUACIÓN 2 X Y DOS ECUACIONES DOS INCÓGNITAS
- 6. Sistemas de Ecuaciones: RESOLUCIÓN SUSTITUCIÓN IGUALACIÓN REDUCCIÓN
- 7. SUSTITUCIÓN 2 x + y = 5 4 x − 3 y = 5 y = 5 − 2x 1º Se despeja una incógnita PISTA: Busca la que esté sola ¿CUÁL? Y
- 8. SUSTITUCIÓN 2 x + y = 5 4 x − 3 y = 5 y = 5 − 2x 4x − 3y = 5 1º.- Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones 2º.- Sustituímos el valor de Y en la otra ecuación
- 9. SUSTITUCIÓN 3º.- Obtendremos una ecuación con UNA incógnita, que resolveremos 2 x + y = 5 4 x − 3 y = 5 4 x − 15 + 6 x = 5 10 x = 20 y = 5 − 2x 4 ⋅ x − 3 ⋅ (5 − 2 x) = 5 4 x + 6 x = 5 + 15 20 x= 10 x=2 Ya tenemos el valor de X, ahora calcularemos Y
- 10. SUSTITUCIÓN 4º.- Sustituímos el valor obtenido en la otra ecuación 2 x + y = 5 4 x − 3 y = 5 2x + y = 5 4+ y =5 x=2 2⋅2 + y = 5 y = 5−4 Hemos obtenido el valor de la otra incógnita y =1
- 11. SUSTITUCIÓN 5º.- Ahora debemos comprobar los resultados, sustituyendo ambos valores en las dos ecuaciones. 2 x + y = 5 4 x − 3 y = 5 2x + y = 5 2 ⋅ 2 +1 = 5 4 +1 = 5 4 x − 3 y = 5 4 ⋅ 2 − 3 ⋅1 = 5 8 − 3 = 5 Como las igualdades son ciertas, la solución es correcta SOLUCIÓN: x=2 ; y =1
- 12. IGUALACIÓN x + 2 y = 8 x + y = 5 x = 8 − 2y x = 5− y 1º Se despeja una incógnita en ambas ecuaciones ¿CUÁL? PISTA: Busca la que esté sola X
- 13. IGUALACIÓN x + 2 y = 8 x + y = 5 x = 8 − 2y x = 5− y Se igualan los segundos miembros 8− 2y = 5− y − y = −3 − 2y + y = 5 −8 −3 y= −1 y=3 Una vez encontrado un valor, buscaremos el otro
- 14. IGUALACIÓN x + 2 y = 8 x + y = 5 y=3 x = 8 − 2y x = 8 − 2y x = 5− y Cojemos cualquiera de las ecuaciones Sustituimos en ella el valor que obtuvimos x = 8 − 2⋅3 Hemos obtenido el valor de la otra incógnita x=2
- 15. IGUALACIÓN Ahora debemos comprobar los resultados, igual que en el método anterior x + 2 y = 8 x + y = 5 x + 2y = 8 2 + 2⋅3 = 8 x+ y =5 2+6 =8 2+3= 5 Como las igualdades son ciertas, la solución es correcta SOLUCIÓN: x =2 y=3
- 16. REDUCCIÓN Se intenta que sumando ambas ecuaciones eliminemos una de las incógnitas. 2 x + 4 y = 6 3 x + 5 y = 10 + 2x + 4 y = 6 3 x + 5 y = 10 5 x + 9 y = 16 ¿Eliminamos alguna incógnita? NO Pues tendremos que hacer algunos cambios
- 17. REDUCCIÓN Multiplicaremos cada ecuación por el coeficiente de una de las incógnitas de la otra ecuación. 2 x + 4 y = 6 3 x + 5 y = 10 6 x + 12 y = 18 6 x + 10 y = 20 E1⋅ 3 E 2⋅ 2 Y ahora cambiamos de signo una ecuación, por ejemplo la primera − 6 x − 12 y = −18 6 x + 10 y = 20
- 18. REDUCCIÓN 2 x + 4 y = 6 3 x + 5 y = 10 − 6 x − 12 y = −18 + 6 x + 10 y = 20 − 2y = 2 Ahora sumamos Eliminamos así una incógnita X Resolvemos la ecuación obtenida 2 y= −2 y = −1 Y ahora calculamos x
- 19. REDUCCIÓN 2 x + 4 y = 6 3 x + 5 y = 10 Tomamos una de las ecuaciones 3 x + 5 y = 10 3 x + 5( − 1) = 10 15 3 x = 15 x = x=5 3 Sustituimos en ella el valor encontrado 3 x − 5 = 10 y = −1
- 20. REDUCCIÓN Comprobamos los resultados 2 x + 4 y = 6 3 x + 5 y = 10 x=5 y = −1 Para ello sustituimos los valores encontrados en las dos ecuaciones 2 ⋅ 5 + 4 ⋅ ( − 1) = 6 3 ⋅ 5 + 5 ⋅ (−1) = 10 10 − 4 = 6 15 − 5 = 10