Sistemas lineales(1)
- 1. Sistemas de ecuaciones lineales
- 2. ´Indice general 1. Sistemas de ecuaciones lineales 2 2. M´etodo de sustituci´on 5 3. M´etodo de igualaci´on 9 4. M´etodo de eliminaci´on 13 5. Conclusi´on 16
- 3. 1Sistemas de ecuaciones lineales En este documento estudiaremos sistemas de ecuaciones lineales 2 × 2, es decir, de dos ecuaciones y dos inc´ognitas. Estos sistemas tienen la siguiente forma: a11x + a12y = b1a21x + a22y = b2 Sistema de ecuaciones lineales El problema a resolver es encontrar el valor de las inc´ognitas x, y tales que las dos ecuaciones sean verdaderas. En un sistema de ecuaciones lineales siempre tenemos solo uno de los tres casos sigu- ientes: 1. El sistema tiene una ´unica soluci´on. 2. El sistema no tiene soluci´on. 3. El sistema tiene m´as de una soluci´on (infinidad de soluciones). Los m´etodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales se ver´an a continuaci´on, sin embargo, todos ellos nos deben de dar la misma soluci´on. 2
- 4. Antes de revisar los m´etodos podemos mencionar un criterio que nos permitir´a saber si el sistema tiene ´o no, una ´unica soluci´on: El sistema a11x + a12y = b1 a21x + a22y = b2 tiene una ´unica soluci´on si y s´olo si a11a22 − a12a21 = 0 Soluci´on ´unica Si a11a22 − a12a21 = 0, y 1. a11, a12, b1 son m´ultiplos de a21, a22, b2, respectivamente. Entonces el sistema tiene una infinidad de soluciones. 2. a11, a12 son m´ultiplos de a21, a22 respectivamente, pero b1 no lo es de b2. Entonces el sistema no tiene soluci´on. Ejemplos: Ejemplo 1 Consideremos el sistema 2x + 3y = 1 3x − y = −1 como (2)(−1) − (3)(3) = −2 − 9 = −11 = 0, entonces el sistema tiene una ´unica soluci´on. Ejemplo 2 Consideremos el sistema 3x + 4y = 4 6x − 2y = 2 como (3)(−2) − (6)(4) = −6 − 24 = −30 = 0, entonces el sistema tiene una ´unica soluci´on. Ejemplo 3 Consideremos el sistema 2x + y = 6 4x + 2y = 1 3
- 5. como (2)(2)−(4)(1) = 4−4 = 0, entonces el sistema NO tiene una ´unica soluci´on, pero como 4x + 2y es el doble de 2x + y, pero 1 no es el doble de 6, el sistema NO tiene soluci´on. Ejemplo 4 Consideremos el sistema 3x − 3y = 2 x − y = 5 como (3)(−1) − (−3)(1) = −3 + 3 = 0, entonces el sistema no tiene una ´unica soluci´on. Y como la primera ecuaci´on es el triple de la segunda, pero 2 no es el triple de 5. Tenemos que el sistema no tiene soluci´on. Ejemplo 5 Consideremos el sistema 1 2 x + 1 3 y = −3 3 2 x + y = −1 como ( 1 2 )(1) − ( 1 3 )( 3 2 ) = 0, entonces el sistema NO tiene una ´unica soluci´on. Y como la segunda ecuaci´on es el triple de la primera, incluyendo la constante, por lo tanto el sistema tiene una cantidad infinita de soluciones. 4
- 6. 2M´etodo de sustituci´on El m´etodo de sustituci´on trabaja de la siguiente manera: 1. De la primera ecuaci´on se despeja una inc´ognita, digamos x. 2. Se sustituye la inc´ognita despejada en la segunda ecuaci´on. 3. Se reduce la segunda ecuaci´on, y se encuentra el valor de y. 4. Finalmente se sustituye el valor de y, en la ecuaci´on del paso 1, y se encuentra x. Es posible cambiar de inc´ognita. Ejemplos: Resolver el sistema x + y = 1 x − y = 1 Ejemplo 2.1 Paso 1 Despejamos de la primera ecuaci´on a x, entonces x = 1 − y. Paso 2 Sustituimos a x = 1 − y, en la segunda ecuaci´on: x − y = 1 (1 − y) − y = 1 5
- 7. Paso 3 Reducimos la ecuaci´on anterior: (1 − y) − y = 1 1 − 2y = 1 1 − 1 = 2y 0 = 2y de donde y = 0. Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de y = 0, en la ecuaci´on del paso 1, x = 1−y. Entonces x = 1 − (0) = 1. Paso 5 Por tanto la soluci´on del sistema es: x = 1 y = 0 Resolver el sistema 2x + y = 33x + 2y = 2 Ejemplo 2.2 Paso 1 Despejamos de la primera ecuaci´on a x, entonces x = 3 − y 2 . Paso 2 Sustituimos a x = 3 − y 2 , en la segunda ecuaci´on: 3x + 2y = 2 3( 3 − y 2 ) + 2y = 2 66
- 8. Paso 3 Reducimos la ecuaci´on anterior: 3( 3 − y 2 ) + 2y = 2 9 2 − 3 2 y + 2y = 2 9 2 + 1 2 y = 2 1 2 y = 2 − 9 2 1 2 y = − 5 2 y = −5 de donde y = −5. Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de y = −5, en la ecuaci´on del paso 1, x = 3 − y 2 . Entonces x = 3 − (−5) 2 = 8 2 = 4. Paso 5 Por lo tanto la soluci´on del sistema es: x = 4 y = −5 Resolver el sistema x − y = −1 2x − 3y = 5 Ejemplo 2.3 Paso 1 Despejamos de la primera ecuaci´on a x, entonces x = y − 1. Paso 2 Sustituimos a x = y − 1, en la segunda ecuaci´on: 2x − 3y = 5 2(y − 1) − 3y = 5 7
- 9. Paso 3 Reducimos la ecuaci´on anterior: 2(y − 1) − 3y = 5 2y − 2 − 3y = 5 −y = 5 + 2 y = −7 de donde y = −7. Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de y = −7, en la ecuaci´on del paso 1, x = y − 1. Entonces x = (−7) − 1 = −8. Paso 5 Por lo tanto la soluci´on del sistema es: x = −8 y = −7 8
- 10. 3M´etodo de igualaci´on El m´etodo de igualaci´on trabaja de la siguiente manera: 1. Despejamos de ambas ecuaciones una inc´ognita, digamos x. 2. Igualamos ambos despejes. 3. Despejamos, entonces a y de la ecuaci´on obtenida del paso anterior. 4. Obtenemos a x, al sustituir y, en cualquier ecuaci´on obtenida del paso 1. Ejemplos: Resolver el sistema x + y = 1 x − y = 1 Ejemplo 3.1 Paso 1 Despejamos de ambas ecuaciones a x, entonces: x = 1 − y x = 1 + y Paso 2 Igualamos ambas ecuaciones del paso anterior: 1 − y = 1 + y. 9
- 11. Paso 3 Despejamos a y de la ecuaci´on anterior: 1 − y = 1 + y 0 = 2y de donde y = 0. Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de y = 0, en cualquier ecuaci´on del paso 1, x = 1 − y. Entonces x = 1 − (0) = 1. Paso 5 Por lo tanto la soluci´on del sistema es: x = 1 y = 0 Resolver el sistema 2x + y = 3 3x + 2y = 2 Ejemplo 3.2 Paso 1 Despejamos de ambas ecuaciones a x, entonces: x = 3 − y 2 x = 2 − 2y 3 Paso 2 Igualamos ambas ecuaciones del paso anterior: 3 − y 2 = 2 − 2y 3 . 10
- 12. Paso 3 Despejamos a y de la ecuaci´on anterior: 3 − y 2 = 2 − 2y 3 3(3 − y) = 2(2 − 2y) 9 − 3y = 4 − 4y 9 − 4 = −4y + 3y 5 = −y de donde y = −5. Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de y = −5, en cualquier la ecuaci´on del paso 1, x = 3 − y 2 . Entonces x = 3 − (−5) 2 = 8 2 = 4. Paso 5 Por lo tanto la soluci´on del sistema es: x = 4 y = −5 Resolver el sistema x − y = −12x − 3y = 5 Ejemplo 3.3 Paso 1 Despejamos de ambas ecuaci´on a x, entonces: x = y − 1 x = 5 + 3y 2 Paso 2 Igualamos ambas ecuaciones del paso anterior: y − 1 = 5 + 3y 2 11
- 13. Paso 3 Despejamos a y de la ecuaci´on anterior: y − 1 = 5 + 3y 2 2y − 2 = 5 + 3y −2 − 5 = 3y − 2y −7 = y de donde y = −7. Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de y = −7, en cualquier ecuaci´on del paso 1, x = y−1. Entonces x = (−7) − 1 = −8. Paso 5 Por lo tanto la soluci´on del sistema es: x = −8 y = −7 12
- 14. 4M´etodo de eliminaci´on El m´etodo de igualaci´on trabaja de la siguiente manera: 1. Se observan las ecuaciones, si tenemos los “mismos”x, (y) en la primera que en la segunda con signo contrario, si no, entonces buscamos un n´umero real tal que al multiplicar una ecuaci´on por ese n´umero r obtengamos los mismos x, (y) en ambas ecuaciones con signo contrario. 2. Observaci´on: si multiplicamos una ecuaci´on por un n´umero real r, la soluci´on del sistema no cambia. 3. Posteriormente sumamos ambas ecuaciones, y as´ı reducimos nuestro sistema a una sola ecuaci´on con x ´o y. 4. Despejamos ese x ´o y, y sustituimos en cualquier ecuaci´on del sistema para obtener el y ´o x restante. Ejemplos: Resolver el sistema x + y = 1 x − y = 1 Ejemplo 4.1 13
- 15. Paso 1 Obs´ervese que tenemos en ambas ecuaciones a las mismas y con signo contrario, por lo tanto, si sumamos ambas ecuaciones tenemos: 2x = 2, por lo tanto x = 1. Paso 2 Sustituimos a x = 1, en cualquier ecuaci´on del sistema: (1) + y = 1, entonces y = 0. Paso 3 Por lo tanto la soluci´on del sistema es: x = 1 y = 0 Resolver el sistema 2x + y = 33x + 2y = 2 Ejemplo 4.2 Paso 1 Obs´ervese que tenemos en ambas ecuaciones a y, y 2y por lo tanto, si multipli- camos a la primera ecuaci´on por −2, obtenemos: −4x − 2y = −6 3x + 2y = 2 Paso 2 Sumando ambas ecuaciones del paso anterior obtenemos: −x = −4, entonces x = 4. Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de x = 4, en cualquier la ecuaci´on del paso 1, 2(4) + y = 3, obtenemos que y = 3 − 8 = −5. Paso 5 Por lo tanto la soluci´on del sistema es: x = 4 y = −5 14
- 16. Resolver el sistema x − y = −1 2x − 3y = 5 Ejemplo 4.3 Paso 1 Obs´ervese que tenemos en ambas ecuaciones a x, y 2x por lo tanto, si multipli- camos a la primera ecuaci´on por −2, obtenemos: −2x + 2y = 2 2x − 3y = 5 Paso 2 Sumando ambas ecuaciones del paso anterior obtenemos: 2y−3y = 2+7, entonces y = −7. Paso 3 Ahora, sustituimos el valor de y = −7, en cualquier ecuaci´on del paso 1, x = y−1. Entonces x = (−7) − 1 = −8. Paso 4 Por lo tanto la soluci´on del sistema es: x = −8 y = −7 15
- 17. 5Conclusi´on De los ejemplos anteriores podemos concluir que los tres m´etodos para obtener la soluci´on a un sistema de ecuaciones 2 × 2, dan el mismo resultado. Tambi´en podemos concluir que el m´etodo “m´as” eficiente es el tercero, el m´etodo de eliminaci´on. Este m´etodo se puede generalizar para sistemas de ecuaciones m´as grandes, de hecho es el m´etodo m´as usado para dar soluci´on a sistemas de ecuaciones lineales con n ecuaciones y m inc´ognitas ´este lleva el nombre de m´etodo de Gauss. 16