Yeli.an
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El documento describe diferentes tipos de sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo sistemas compatibles, incompatibles e indeterminados. También explica varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales como sustitución, igualación, reducción, método gráfico, método de Gauss y eliminación de Gauss-Jordan.
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- 1. Integrante: Yelianny Torrealba C.I: 23.487.363 Análisis Numérico Saia B
- 2. Sistema de ecuaciones lineales Es un conjunto en donde cada ecuación es de primer grado, definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Tipos de sistemas lineales Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos: ●Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre: ●Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución. ●Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones. ●Sistema incompatible si no tiene solución.
- 3. Sistemas compatibles indeterminados Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es -0,5 y que pasa por el punto (-1,1), por lo que ambas intersecan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o intersección entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos. Sistemas incompatibles De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución. Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.
- 4. Métodos de solución a sistemas de ecuaciones lineales Sustitución: El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones con cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente y a continuación sustituirla en otra ecuación por su valor. En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita y por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación Al resolver la ecuación obtenemos el resultado x=5, y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos y=7, con lo que el sistema queda ya resuelto.
- 5. Igualación: El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones. Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí. Reducción: Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo.
- 6. No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por -2 para poder cancelar la incógnita y. Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así: Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita y ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita x:
- 7. Método gráfico: El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resuelve en los siguientes pasos: 1.Se despeja la incógnita en ambas ecuaciones. 2.Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de valores correspondientes. 3.Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados. 4.En este último paso hay tres posibilidades: 1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas (x,y). "Sistema compatible determinado". 2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. «Sistema compatible indeterminado». 3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución en los reales pero si en los complejos.
- 8. Método de Gauss Consiste en convertir un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas, en uno escalonado, en el que la primera ecuación tiene n incógnitas, la segunda ecuación tiene n - 1 incógnitas, hasta la última ecuación, que tiene 1 incógnita. De esta forma, será fácil partir de la última ecuación e ir subiendo para calcular el valor de las demás incógnitas. Sistema compatible indeterminado
- 9. Eliminación de Gauss-Jordan Es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz.