![Método Gauss Jordan.
Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la
columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
Ahora seleccionamos
otro elemento a
transformar
1 0 1 1 0 0
1 2 2 -2 - [1.(-1)]/1 =
Armamos el rectángulo 0 1 0
imaginario -2 - (-1) =
2 1 1 0 0 1 -2 + 1 = -1
Y determinamos los 1 0 1 1 0 0 Y así sucesivamente
elementos de la hasta completar la
contra diagonal para 0 2 -1 tabla…
hacer la
transformación 0](https://image.slidesharecdn.com/matrizinversa-120405073948-phpapp01/85/Matriz-inversa-12-320.jpg)
Matriz inversa
- 2. Introducción Matriz inversa: Si es una matriz cuadrada, se llama matriz inversa de A y se denota A-1 a una matriz del mismo orden que A que verifica la siguiente igualdad: 1 1 (Siendo I la matriz identidad A. A A .A I de igual orden que A) Si una matriz posee inversa se dice que es invertible en caso contrario se llama singular, debido a que no todas las matrices cuadradas pueden tener inversa.
- 3. Ejemplo: Sea A= 2 1 1 1 , hallar si es posible A-1 Multiplico los elementos de 1 las filas de la primer matriz A. A I por los elementos de las columnas de la segunda y sumo los productos: 2 1 a b 1 0 . Para la fila 1, columna 1: 1 1 c d 0 1 2.a+(-1).c=2.a-c Para la fila 1, columna 2: 2.b+(-1).d=2.b-d 2a c 2b d 1 0 Para la fila 2, columna 1: 1.a+1.c=a+c a c b d 0 1 Para la fila 2, columna 2: 1.b+a.d=b+d Ahora a partir de esto puedo armar un sistema de ecuaciones que me permita hallar A-1
- 4. Ejemplo: Sea A= 2 1 1 1 , hallar si es posible A-1 A partir de esta igualdad podemos 2a c 2b d 1 0 deducir las siguientes ecuaciones: 2.a-c=1 2b-d=0 a c b d 0 1 a+c=0 b+d=1 2a c 1 2b d 0 Armar estos sistemas de ecuaciones… a c 0 b d 1 2a c 1 2b d 0 b d 1 …Y resolverlos por alguno de los métodos vistos a c 0 (suma, resta, igualación, sustitución, etc…) 3a 0c 1 3b 0d 1 3a 1 3b 1 a 1/ 3 b 1/ 3 En este caso fue resuelto por la suma de c a d 1 b las ecuaciones del sistema y el posterior d 1 1/ 3 despeje de las incógnitas…. c 1/ 3 d 2/3
- 5. Ejemplo: Sea A= 2 1 1 1 , hallar si es posible A-1 Ahora que se el valor de mis incógnitas las ubico en la matriz y verifico que sea la matriz inversa de A 1 A. A I Para la fila 1, columna 1: 2.(1/3)+(-1).(-1/3)= 1 Para la fila 1, columna 2: 2 1 a b 2.(1/3)+(-1).(2/3)=0 . Para la fila 2, columna 1: 1 1 c d 1.a+1.c=a+c Para la fila 2, columna 2: 1.b+a.d=b+d 1 1 2 1 3 3 1 0 El resultado coincide con . 1 1 1 2 0 1 los valores de la identidad… 3 3
- 6. Ejemplo: Sea A= 2 1 1 1 , hallar si es posible A-1 … lo que significa que hemos encontrado la matriz inversa de A 1 1 1 3 3 A 1 2 3 3
- 7. El método recién explicado resulta sencillo con una matriz de 2x2 pero al querer aplicarlo en matrices mas grandes se hace mas complicado el despeje de las incógnitas…. … es por ello que veremos el método Gauss Jordan.
- 8. Método Gauss Jordan. 1 0 1 Preparación de la matriz: A= 1 2 2 2 1 1 Para facilitar el entendimiento del método utilizaremos una grilla… 1. En la parte izquierda de la grilla ingresamos los elementos de nuestra matriz en orden y respetando su ubicación original 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 2 1 1 0 0 1 2. Mientras que en la parte izquierda ingresamos los valores de la matriz identidad
- 9. Método Gauss Jordan. Mecánica del procedimiento: 1. Se elige como pivote cualquier elemento no nulo de la matriz dada, y se divide por él la fila correspondiente. En este caso elijo el 1 para ahorrar cuentas, ya que debo dividir cada elemento 1 0 1 1 0 0 de la fila por el numero que elijo. 1 2 2 0 1 0 2 1 1 0 0 1 Por lo tanto, debido a que elegí el 1 se mantienen los valores de la fila 1 0 1 1 0 0
- 10. Método Gauss Jordan. Mecánica del procedimiento: 2. Los restantes elementos de la columna del pivote se transforman en cero. 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 2 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0
- 11. Método Gauss Jordan. Mecánica del procedimiento: 3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectángulo Seleccionamos el Que consiste en elemento a transformar restarle a dicho 1 0 1 1 0 0 elemento el producto Entre el pivote y el contra diagonal elemento seleccionado 1 2 2 0 1 0 hay un rectángulo dividido por el pivote 2 1 1 0 0 1 imaginario Entonces, para determinar Siendo la diagonal la 1 0 1 1 0 0 línea que va del pivote este elemento debemos al 2 la contra 0 2 hacer la sig. cuenta… diagonal seria la que 2-(1.0)/1= 2 va del 0 al 1 0 Y lo ubicamos en la tabla…
- 12. Método Gauss Jordan. Mecánica del procedimiento: 3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectángulo Ahora seleccionamos otro elemento a transformar 1 0 1 1 0 0 1 2 2 -2 - [1.(-1)]/1 = Armamos el rectángulo 0 1 0 imaginario -2 - (-1) = 2 1 1 0 0 1 -2 + 1 = -1 Y determinamos los 1 0 1 1 0 0 Y así sucesivamente elementos de la hasta completar la contra diagonal para 0 2 -1 tabla… hacer la transformación 0
- 13. Método Gauss Jordan. Mecánica del procedimiento: 3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectángulo 0-( 1 . 1 )/1= -1 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 2 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 2 -1 -1 0
- 14. Método Gauss Jordan. Mecánica del procedimiento: 3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectángulo 1-( 1 . 0 )/1= 1 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 2 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 2 -1 -1 1 0
- 15. Método Gauss Jordan. Mecánica del procedimiento: 3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectángulo 0-( 1 . 0 )/1=0 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 2 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 2 -1 -1 1 0 0
- 16. Método Gauss Jordan. Mecánica del procedimiento: 3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectángulo -1-( 2 . 0 )/1=-1 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 2 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 2 -1 -1 1 0 0 -1
- 17. Método Gauss Jordan. Mecánica del procedimiento: 3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectángulo 1-( 2 . -1 )/1=3 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 2 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 2 -1 -1 1 0 0 -1 3
- 18. Método Gauss Jordan. Mecánica del procedimiento: 3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectángulo 0-( 2 . 1 )/1=-2 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 2 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 2 -1 -1 1 0 0 -1 3 -2
- 19. Método Gauss Jordan. Mecánica del procedimiento: 3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectángulo 0-( 2 . 0 )/1=0 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 2 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 2 -1 -1 1 0 0 -1 3 -2 0
- 20. Método Gauss Jordan. Mecánica del procedimiento: 3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectángulo 1-( 2 . 0 )/1=1 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 2 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 2 -1 -1 1 0 0 -1 3 -2 0 1
- 21. Método Gauss Jordan. 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 2 1 1 0 0 1 Se elige otro pivote que no pertenezca ni a la 1 0 1 1 0 0 fila ni a la columna del pivote anterior, y se 0 2 -1 -1 1 0 divide por él la fila correspondiente. 0 -1 3 -2 0 1 Los restantes 0 elementos de la columna del pivote se 0 1 -½ -½ ½ 0 transforman en cero. 0
- 22. Método Gauss Jordan. Seleccionamos el 1 0 1 1 0 0 El transformado de todo elemento a 1 2 2 elemento que no figure transformar 0 1 0 en la fila ni en la 2 1 1 0 0 1 columna del pivote se Entre el pivote y el determina por la regla elemento seleccionado 1 0 1 1 0 0 del rectángulo hay un rectángulo imaginario 0 2 -1 -1 1 0 0 -1 3 -2 0 1 Entonces, para determinar este elemento debemos Siendo la diagonal la línea que va del pivote 1 0 hacer la sig. cuenta… 1-(0.0)/1= 1 al 1 la contra diagonal seria la que va del 0 al 0 0 1 -½ -½ ½ 0 Y lo ubicamos en la tabla… 0
- 23. Método Gauss Jordan. 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten los pasos hasta que 2 1 1 0 0 1 se completa la 1 0 1 tabla…. 1 0 0 0 2 -1 -1 1 0 0 -1 3 -2 0 1 0-(0.-1)/2= 0 1 0 0 1 -½ -½ ½ 0 0 0
- 24. Método Gauss Jordan. 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten los pasos hasta que 2 1 1 0 0 1 se completa la 1 0 1 tabla…. 1 0 0 0 2 -1 -1 1 0 0 -1 3 -2 0 1 3-(-1.-1)/2= 5/2 1 0 0 1 -½ -½ ½ 0 0 0 5/2
- 25. Método Gauss Jordan. 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten los pasos hasta que 2 1 1 0 0 1 se completa la 1 0 1 tabla…. 1 0 0 0 2 -1 -1 1 0 0 -1 3 -2 0 1 -2-(-1.-1)/2= -5/2 1 0 0 1 -½ -½ ½ 0 0 0 5/2 -5/2
- 26. Método Gauss Jordan. 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten los pasos hasta que 2 1 1 0 0 1 se completa la 1 0 1 tabla…. 1 0 0 0 2 -1 -1 1 0 0 -1 3 -2 0 1 0-(-1.1)/2= 1/2 1 0 0 1 -½ -½ ½ 0 0 0 5/2 -5/2 ½
- 27. Método Gauss Jordan. 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten los pasos hasta que 2 1 1 0 0 1 se completa la 1 0 1 tabla…. 1 0 0 0 2 -1 -1 1 0 0 -1 3 -2 0 1 1-(-1.0)/2= 1 1 0 0 1 -½ -½ ½ 0 0 0 5/2 -5/2 ½ 1
- 28. Método Gauss Jordan. 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten los pasos hasta que 2 1 1 0 0 1 se completa la 1 0 1 tabla…. 1 0 0 0 2 -1 -1 1 0 0 -1 3 -2 0 1 0-(0.0)/2= 0 1 0 0 0 1 -½ -½ ½ 0 0 0 5/2 -5/2 ½ 1
- 29. Método Gauss Jordan. 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten los pasos hasta que 2 1 1 0 0 1 se completa la 1 0 1 tabla…. 1 0 0 0 2 -1 -1 1 0 0 -1 3 -2 0 1 0-(1.0)/2= 0 1 0 0 0 0 1 -½ -½ ½ 0 0 0 5/2 -5/2 ½ 1
- 30. Método Gauss Jordan. 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten los pasos hasta que 2 1 1 0 0 1 se completa la 1 0 1 tabla…. 1 0 0 0 2 -1 -1 1 0 0 -1 3 -2 0 1 1-(-1.0)/2= 1 1 0 1 0 0 0 1 -½ -½ ½ 0 0 0 5/2 -5/2 ½ 1
- 31. Método Gauss Jordan. 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten los pasos hasta que 2 1 1 0 0 1 se completa la 1 0 1 tabla…. 1 0 0 0 2 -1 -1 1 0 0 -1 3 -2 0 1 -1-(-1.0)/2= -1 1 0 -1 1 0 0 0 1 -½ -½ ½ 0 0 0 5/2 -5/2 ½ 1
- 32. Método Gauss Jordan. Una vez completa, 1 0 1 1 0 0 repito los pasos hasta obtener una 1 2 2 0 1 0 matriz identidad 2 1 1 0 0 1 en la columna A y la inversa de A en 1 0 1 1 0 0 la columna I… 0 2 -1 -1 1 0 Como puede verse aquí aun hace falta 0 -1 3 -2 0 1 otro cuadrante para cumplir con la 1 0 -1 1 0 0 condición… 0 1 -½ -½ ½ 0 0 0 5/2 -5/2 ½ 1
- 33. Método Gauss Jordan. 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 Una vez completa, 2 1 1 0 0 1 repito los pasos hasta obtener una 1 0 1 1 0 0 matriz identidad Elijo mi tercer Y aplico la en la columna A y pivote… 0 2 -1 -1 1 0 regla del la inversa de A en 0 -1 3 0 1 cuadrado al la columna I… Divido los resto de los Como puede verse elementos de 1 0 -1 1 0 0 elementos… aquí aun hace falta su fila por el otro cuadrante pivote… 0 1 -½ -½ ½ 0 para cumplir con la Reemplazo por 0 0 0 5/2 -5/2 ½ 1 condición… los elementos de 1 0 la columna… 1-(-1.0)/5/2= 1 0 0 0 1 -1 1/5 2/5
- 34. Método Gauss Jordan. 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 2 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 Elijo mi tercer Y aplico la pivote… 0 2 -1 -1 1 0 regla del 0 -1 3 0 1 cuadrado al Divido los resto de los elementos de 1 0 -1 1 0 0 elementos… su fila por el pivote… 0 1 -½ -½ ½ 0 Reemplazo por 0 0 0 5/2 -5/2 ½ 1 los elementos de 0 la columna… 1 0 0-(-1.0)/5/2= 0 0 0 0 1 -1 1/5 2/5
- 35. Método Gauss Jordan. 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 2 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 Elijo mi tercer Y aplico la pivote… 0 2 -1 -1 1 0 regla del 0 -1 3 0 1 cuadrado al Divido los resto de los elementos de 1 0 -1 1 0 0 elementos… su fila por el pivote… 0 1 -½ -½ ½ 0 Reemplazo por 0 0 0 5/2 -5/2 ½ 1 los elementos de 0 la columna… 1 0 1-(-1/2.0)/5/2= 1 1 0 0 0 1 -1 1/5 2/5
- 36. Método Gauss Jordan. 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 2 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 Elijo mi tercer Y aplico la pivote… 0 2 -1 -1 1 0 regla del 0 -1 3 0 1 cuadrado al Divido los resto de los elementos de 1 0 -1 1 0 0 elementos… su fila por el pivote… 0 1 -½ -½ ½ 0 Reemplazo por 0 0 0 5/2 -5/2 ½ 1 los elementos de 0 la columna… 1 0 1-(-1/2.0)/5/2= 1 0 1 0 0 0 1 -1 1/5 2/5
- 37. Método Gauss Jordan. 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 2 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 Elijo mi tercer Y aplico la pivote… 0 2 -1 -1 1 0 regla del 0 -1 3 0 1 cuadrado al Divido los resto de los elementos de 1 0 -1 1 0 0 elementos… su fila por el pivote… 0 1 -½ -½ ½ 0 Reemplazo por 0 0 0 5/2 -5/2 ½ 1 -1/2-(-1/2.-5/2)/5/2= -1 los elementos de 0 la columna… 1 0 0 1 0 -1 0 0 1 -1 1/5 2/5
- 38. Método Gauss Jordan. 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 2 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 Elijo mi tercer Y aplico la pivote… 0 2 -1 -1 1 0 regla del 0 -1 3 0 1 cuadrado al Divido los resto de los elementos de 1 0 -1 1 0 0 elementos… su fila por el pivote… 0 1 -½ -½ ½ 0 Reemplazo por 0 0 0 5/2 -5/2 ½ 1 1/2-(-1/2.1/2)/5/2= 3/5 los elementos de 0 la columna… 1 0 0 1 0 -1 3/5 0 0 1 -1 1/5 2/5
- 39. Método Gauss Jordan. 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 2 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 Elijo mi tercer Y aplico la pivote… 0 2 -1 -1 1 0 regla del 0 -1 3 0 1 cuadrado al Divido los resto de los elementos de 1 0 -1 1 0 0 elementos… su fila por el pivote… 0 1 -½ -½ ½ 0 Reemplazo por 0 0 0 5/2 -5/2 ½ 1 0-(-1/2.1)/5/2= 1/5 los elementos de 0 la columna… 1 0 0 1 0 -1 3/5 1/5 0 0 1 -1 1/5 2/5
- 40. Método Gauss Jordan. 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 2 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 Elijo mi tercer Y aplico la pivote… 0 2 -1 -1 1 0 regla del 0 -1 3 0 1 cuadrado al Divido los resto de los elementos de 1 0 -1 1 0 0 elementos… su fila por el pivote… 0 1 -½ -½ ½ 0 Reemplazo por 0 0 0 5/2 -5/2 ½ 1 1-(-1.-5/2)/5/2= 0 los elementos de 0 la columna… 1 0 0 0 1 0 -1 3/5 1/5 0 0 1 -1 1/5 2/5
- 41. Método Gauss Jordan. 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 2 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 Elijo mi tercer Y aplico la pivote… 0 2 -1 -1 1 0 regla del 0 -1 3 0 1 cuadrado al Divido los resto de los elementos de 1 0 -1 1 0 0 elementos… su fila por el pivote… 0 1 -½ -½ ½ 0 Reemplazo por 0 0 0 5/2 -5/2 ½ 1 0-(1/2.-1)/5/2= 1/5 los elementos de 0 la columna… 1 0 0 1/5 0 1 0 -1 3/5 1/5 0 0 1 -1 1/5 2/5
- 42. Método Gauss Jordan. 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 2 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 Elijo mi tercer Y aplico la pivote… 0 2 -1 -1 1 0 regla del 0 -1 3 0 1 cuadrado al Divido los resto de los elementos de 1 0 -1 1 0 0 elementos… su fila por el pivote… 0 1 -½ -½ ½ 0 Reemplazo por 0 0 0 5/2 -5/2 ½ 1 0-(-1.1)/5/2= 2/5 los elementos de 0 la columna… 1 0 0 1/5 2/5 0 1 0 -1 3/5 1/5 0 0 1 -1 1/5 2/5
- 43. Método Gauss Jordan. 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 2 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 2 -1 -1 1 0 0 -1 3 0 1 1 0 -1 1 0 0 0 1 -½ -½ ½ 0 0 0 5/2 -5/2 ½ 1 1 0 0 0 1/5 2/5 Esta seria nuestra 0 1 0 -1 3/5 1/5 matriz inversa 0 0 1 -1 1/5 2/5
- 44. Método Gauss Jordan. Entonces, resulta que la inversa de A es: 0 1/ 5 2 / 5 1 3 / 5 1/ 5 1 1/ 5 2 / 5