Algebra lineal

Buenos dias, a continuacion les envio la actividad a realizar en la materia:
1) Describir el metodo Gauss-Jordan y aplicarlo para encontrar la inversa de una Matriz. (con
ejemplo o ejercicio)
2) Explicar o describir que es una Matriz Escalonada Reducida (incluya ejemplos). Aplique el
metodo Gauss-Jordan para obtener una matriz escalonana reducida. (con ejemplo o ejercicio)
Calculo de la Matriz Inversa Por El Método de Gauss Jordan
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa
de A, que denotaremos como A-1 seguiremos los siguientes pasos:
1. Construir una matriz de tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad
izquierda de M y la matriz Identidad I en la derecha.
Consideremos una matriz 3x3 arbitraria
La ampliamos con una matriz identidad de orden 3.
2. Utilizando el método de Gauss vamos a transformar la mitad
izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la
matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1
F2-F1 F3+F2
F2 - F3 F1 + F2

(-1) F2
La matriz inversa es:
Cálculo de la matriz inversa
1. Método de Gauss-Jordan
Este método consiste en colocar junto a la matriz de partida (A) la matriz identidad (I) y hacer
operaciones por filas, afectando esas operaciones tanto a A como a I, con el objeto de
transformar la matriz A en la matriz identidad, la matriz resultante de las operaciones sobre I
es la inversa de A (A-1).
Las operaciones que podemos hacer sobre las filas son:
a) Sustituir una fila por ella multiplicada por una constante, por ejemplo, sustituimos la fila 2
por ella multiplicada por 3.
b) Permutar dos filas
c) Sustituir una fila por una combinación lineal de ella y otras.
La matriz inversa de A es

Ejercicio:
 1 0  1

 
  
    
A 2 1 0
2 2 3
9. Dada Encuentra su matriz inversa.
Se propone la matriz (AI), y se procede a obtener la matriz (IA-1), utilizando el método de
Gauss-Jordan:
 
 1 0  1 1 0 0

 
  
    
A I 2 1 0 0 1 0
2 2 3 0 0 1
R2R2 2R1 
  
 
  
     
Por lo que la matriz inversa obtenida es:
 1 0  1 1 0 0

 
 0 1  2 2 1 0

  2  2 3 0 0 1
 
R3R3 2R1 
1 0 1 1 0 0
0 1 2 2 1 0
0 2 5 2 0 1
R3R3 2R2 
 1 0  1 1 0 0

 
 0 1  2 2 1 0

  0 0 1 2 2 1


R1R1 R3 
1 0 0 3 2 1
0 1 2 2 1 0
0 0 1 2 2 1
 
 
  
 
 
R2R2 2R1 
1 0 0 3 2 1
0 1 0 6 5 2
0 0 1 2 2 1
 
 
 
 
 
1
3 2 1
A 6 5 2
2 2 1

 
 
 
 
 

Definición: Una matriz es una matriz escalonada reducida por filas si:
 todas las filas que consisten únicamente de ceros (si existen) aparecen en la parte
inferior de la matriz (parte de abajo).
 el primer número (si empezamos por la izquierda) en cualquier fila que no consista
de ceros es 1.
 si dos filas consecutivas no consisten de ceros, entonces el primer 1 en la fila interior
está más a la derecha que el primer 1 de la fila superior.
 cualquier columna que contenga el primer 1 de una fila tendrá ceros en los demás
lugares.
Ejemplos de matrices escalonadas por filas:






















1 0 2 5
0 1 3 6
1 0 0 5
1 0 0 0
0 1 0 0
1 0
1 0 0
0 1 0
Definición: Una matriz está en forma escalonada si cumple las primeras tres condiciones de
la definición anterior.
Ejemplos de matrices en forma escalonada:





















1 1 6 4
0 1 2 8
1 0 2 5
1 2 3
0 1 5
1 3 2 5
0 1 3 6
1 2
Nota: Toda matriz escalonada reducida por filas está en la forma escalonada pero no

toda matriz escalonada es una matriz escalonada reducida por filas.




 

 





 

 





0 0 0 0
,
0 0 1 2
,
0 0 0 1
,
0 1
,
0 0 1






 

 









 

 

0 0 0 1
,
0 0 1 2
,
0 0 1
,
0 0 0 0
,
0 1

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