[..Software IDG..] Colisiones e intersecciones entre rectas y segmentos

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Colisiones e intersecciones entre rectas y segmentos
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Introducción
En esté documento se explicara como calcular si existen colisiones entre
rectas y/o segmentos para luego aplicarlo a un lenguaje de programación.
Se aclara que los fundamentos expuestos aquí se pueden usar en cualquier
lenguaje de programación pero “mi lenguaje favorito es python” así que
cuando se llegue a la sección de programación será desarrollado en base
a código python.

Conceptos
Recta: Las definiciones que se encuentran en libros y en la internet nos
dice; Es una sucesión de puntos infinitos acomodados en la misma
dirección, para mi es una linea muy larga es decir infinita.
Segmento: Es un pedazo de una recta, esta se puede definirse ubicando
dos puntos que pasen por la recta. Los puntos son una condición que le
ponemos a la recta para obtener un segmento.

Creando una recta
En geometría analítica existen ecuaciones matemáticas que al ser
graficadas(dibujadas) describen una figura geométrica, en nuestro caso
solo nos interesa la recta. Para graficar una de estas ecuaciones se le da
cualquier valor a una variable, por lo regular “X” y se resuelven las
operaciones matemáticas descritas en la ecuación y se obtiene el valor de
otra variable “Y”. Un ejemplo para que se entienda.

La ecuación de esta recta es Y=1+1X:
Si a “X” le damos un valor por
ejemplo 5 entonces “Y” será 6 y si
le damos cualquier otro valor a “X”
entonces “Y ” será un valor que en
conjunto con “X” nos dará un
punto (X,Y) que se ubicará en
algún lugar de la recta.

Por ejemplo X=4:
Y = 1+1*4
Y = 1+4
Y=5

Ahora aremos lo inverso, obtener una recta partiendo de dos
puntos. Lo primero que hay que saber es que las rectas en genera
se basan en la misma ecuación que vimos anterior mente. Esta
ecuación es;
Y= b+mX.
Donde:
Y = Ubicación del punto en el eje de las ordenadas (Altura).
X = Ubicación del punto en el eje de las abscisas (Lugar en la ralla
horizontal con números).
b = Indica la altura por la cual la recta toca al eje de las ordenas
(eje Y), también llamada intersección en “Y”.
m = Indica la inclinación de la recta, también llamada pendiente .

Para obtener la “b” y la pendiente “m” se deben elegir primero dos
puntos los cuales definiran nuestra recta, por ejemplo los puntos C(1,5) y
D(7,1).
Ahora debemos obtener la
pendiente “m” con la formula:

Esto sería:

Una vez obtenida la pendiente de esta recta y la de la otra ya se puede saber
si existe intersección entre ambas rectas. Para esto solo se comparan las
pendientes de ambas rectas. Si son iguales no hay intersección, si son
distintas entonces si hay intersección.

Ahora obtendremos la intersección en “Y”, es decir obtendremos
“b”, con cualquiera de las formulas siguientes:

Los que saben un poco de álgebra se darán cuenta de que las
formulas solo son la ecuación de la recta pero esta vez “b” esta
despejada.

Vamos a resolver los dos casos con los puntos C y D
Para el punto C(1,5); Para el punto D(7,1)

Muy bien ahora para terminar de construir nuestra recta, solo hay
que poner los valores de “m” y “b”.
m = 0.666666
b = 5.666666

Creando un segmento
Existen dos formas de construir segmentos, una es formulando
una ecuación nueva que no dibuja puntos fuera de los que en
un principio hemos propuesto para definir el segmento, y otra
donde nosotros condicionamos una recta para formar un
segmento. En esta ocasión utilizaremos el segundo método.
Sin darnos cuenta ya hemos definido nuestros segmentos. En
la primera recta que vimos nuestro segmento es el que se
encuentra entre los dos puntos, y en la segunda recta nuestro
segmento se dio al colocar los dos puntos que utilizamos para
construir la recta.

Nuestro segmentos esta definidos
por condiciones, las condiciones son
los puntos que nos indican los limites
de nuestro segmento.

Nota: En un próximo [..Software IDG..] veremos otro método de colisión de
segmentos.

Comprobando intersección
Ahora ya tenemos nuestra rectas y las ecuaciones, sólo nos falta
saber el punto de intercepción de las rectas. De esta forma con un
método de comparación sabremos si los segmentos se tocan o
no.
Para esto utilizaremos formulas que fueron sacadas por el método
de resolución de ecuaciones por matrices. Esta formulas fueron
reducidas y adaptadas especialmente para este método de
interceptación de segmentos.

Ejemplo tomemos los valores que sacamos de ambas
rectas.
Recta 1: Recta 2:
M1 = 1 M2 = -0.66666
B1 = 1 B2 = 5.66666

Una vez que ya tenemos “Xr” y “Yr” solo es cuestión de hacer las
comparaciones necesarias.

“Xr” debe ser menor
que las x's de mayor
valor de cada punto
de ambas rectas.
Xr<5.0 y Xr<7.0

Y “Xr” debe ser
mayor que las x's de
menor valor de cada
punto de ambas
rectas.
Xr>1.0 y Xr>1.0

“Yr” debe ser menor
que las y's de mayor
valor de cada punto
de ambas rectas.
Yr<5.0 y Yr<6.0

Y “Yr” debe ser
mayor que las y's de
menor valor de cada
punto de ambas
rectas.
Yr>2.0 y Yr>1.0

2.8<5.0 y 2.8<7.0 y 2.8>1.0 y 2.8>1.0
3.8<5.0 y 3.8<6.0 y 3.8>2.0 y 3.8>1.0

¿Qué pasa cuando una recta es
vertical?
Cuando una recta es vertical significa que su pendiente es infinita
o no existe, que es básicamente lo mismo.
En este caso los cálculos son mas sencillos, el objetivo es
encontrar a “Xr” y ”Yr” el punto de intersección entre ambas
rectas para luego compara el punto, como se hizo anteriormente.
Las formulas que se utilizan en estos caso son:

Ejemplo:
Primero debemos sacar la
pendiente “m” y la “b” de la recta
que esta inclinada.
m = -0.6666
b = 5.6666

Como ven hemos
obtenido el punto de
intersección necesario
para realizar las
comparaciones y
comprobar la existencia
de una intersección o
colisión entre rectas.
Lo ultimo que restas es
aplicar todos estos
cálculos en nuestro
lenguaje de
programación favorito.

Para los que les gusta deducir y el ver el ¿por qué? de todo, estas
formulas y métodos para calcular intersección entre un recta inclinada
y una vertical, fueron sacadas con el teorema de Pitágoras , pues si lo
notan sólo estamos calculando la proporción de un triangulo.

La programación
El lenguaje de programación en el que esta escrito el siguiente
código es python.
El código, el progrma y algunos extras pueden ser descargados
desde mi blog.

De la linea 1 hasta la 16 es código de importaciones y algunas
variables.
En la linea 18 y 19 se crean dos listas con las coordenadas de
nuestras rectas.

Aquí definimos la función para comprobar la colisión entre
segmentos.
Las variables X1, Y1, X2, Y2 son para encontrar la intersección en
“Y” de cada recta.
Las listas Xn y Yn son para la comparación del punto de
intersección.

Aquí intentamos(try) calcular las pendientes, si nos da un error de
división en cero hacemos que M1 o M2 sean igual a la
cadena(palabra) INFINITO .

En esta parte asemos comparaciones:
Si las pendientes son iguales no existe colisión entre las rectas
y la función nos devuelve un falso.
Si M1 es infinito es decir, si nuestra recta 1 es vertical hace los
cálculos correspondientes para la recta inclinada.

Nota: “float()” convierte a un numero entero en uno flotante.
Ejemplo; al numero 3 lo combinarte en 3.0. La función solo
agrega un “.0” al número.

En esta ultima sección de la función se hacen los cálculos si ambas
pendientes fueron diferentes de “INFINITO”.

Luego se hacen las comparaciones de X0 y Y0 para saber si el
punto sen encuentra dentro de nuestras rectas, Si es así entonces la
función devuelve “Verdadero”, de lo contrario devuelve “Falso”.

Por último se crea un ciclo while para correr nuestro
programa y visualizar lo que ocurres.

Capturas de pantalla.
Pruebas de la función de colisión.

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Autor: Jośe Iván González Torres

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