Ud 1 matrices
- 1. UD 1: MATRICES PROF: ALFONSO NAVARRO MATEMÁTICAS II
- 2. ÍNDICE 1. MATRICES 1.1. Concepto de matriz 1.2. Clasificación de matrices 2. OPERACIONES CON MATRICES 2.1. Suma 2.2. Producto por un real 2.3. Producto de matrices 3. RANGO DE UNA MATRIZ 3.1. Concepto de rango 3.2. Transformaciones que conservan el rango 3.3. Cálculo del rango por método de Gauss 4. MATRIZ INVERSA 4.1. Definición de matriz inversa 4.2. Propiedades 4.3. Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss - Jordan
- 3. 1. MATRICES 1.1. Concepto de matriz Se llama matriz de orden m × n a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y en n columnas, de la forma: 1MATRICES Los elementos de la matriz (los números) se representan en general por 𝑎𝑖,𝑗, donde los subíndices (i, j) nos dan la posición que ocupa el término.
- 4. 1. MATRICES 1MATRICES El número de filas (m) y el número de columnas (n) nos da la dimensión de la matriz m × n. Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y si los términos que ocupan la misma posición son iguales: es una matriz de dimensión 2 × 3 Ejemplo: Para que A=B, se tiene que cumplir que: a = 3, b = –1, x = 1, y = 5 y z = –9.
- 5. 1. MATRICES 1MATRICES Dada una matriz A de dimensiones m x n , se llama matriz traspuesta de A y se representa por 𝐴𝑡, a la matriz que se obtiene al cambiar las filas de A por sus columnas, por lo que la matriz 𝐴𝑡 será de dimensión n x m. Ejemplo: Calcular la matriz traspuesta de la matriz A. Ejercicio: Determina la dimensión de las siguientes matrices: Ejercicio: Determina los valores de a,b,x, y para que las matrices A y B sean iguales:
- 6. 1. MATRICES 1.2. Clasificación de matrices 1MATRICES MATRICES RECTANGULARES FILA COLUMNA NULA CUADRADAS TRIANGULAR DIAGONAL ESCALAR (IDENTIDAD) NULA SIMÉTRICA
- 7. 1. MATRICES 1MATRICES Matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas (m ≠ n). Matriz fila es toda matriz rectangular con una sola fila, de dimensión 1 × n. Matriz columna es toda matriz rectangular con una sola columna, de dimensión m × 1. Matriz nula es una matriz con todos sus elementos nulos. Se denota por 0.
- 8. 1. MATRICES 1MATRICES Matriz cuadrada de orden n es aquella que tiene igual número de filas que de columnas (m = n). Matriz triangular es aquella que tiene nulos todos los términos situados por debajo (triangular superior) o por encima (triangular inferior) de la diagonal principal. Matriz diagonal es toda matriz cuadrada en la que todos los elementos no situados en la diagonal principal son ceros. Matriz escalar es toda matriz diagonal en la que todos los términos de la diagonal principal son iguales. Matriz unidad es la matriz escalar en la que los elementos de la diagonal principal son unos. Matriz simétrica cuando permanece invariante al sustituir filas por columnas, es decir, 𝐴 = 𝐴𝑡
- 10. 2. OPERACIONES CON MATRICES 1MATRICES 2.1. Suma Dadas dos matrices A y B de dimensión m x n , se define la suma de matrices (A + B) como aquella matriz cuyos elementos son la suma de los elementos que ocupan la misma posición: C = A + B 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 Ejemplo:
- 11. 2. OPERACIONES CON MATRICES 1MATRICES Propiedades La suma de matrices es una consecuencia de la suma de números reales, por lo que las propiedades de la suma de matrices serán las mismas que las de la suma de números reales: 1. Propiedad Asociativa. A + (B + C) = (A + B) + C 2. Elemento neutro (la matriz nula). A + 0 = A 3. Elemento opuesto A + (–A) = 0 4. Propiedad Conmutativa: A + B = B + A
- 12. 2. OPERACIONES CON MATRICES 1MATRICES 2.2. Producto por un escalar El producto de un número real k por una matriz A = (𝑎𝑖𝑗) es otra matriz de la misma dimensión cuyos elementos son los productos de los elementos de la matriz A por el número k: Ejemplo: Dada la matriz A el producto de la matriz A por 5 es:
- 13. 2. OPERACIONES CON MATRICES 1MATRICES Propiedades El producto de un número por una matriz tiene las siguientes propiedades: 1. Propiedad Distributiva respecto de la suma de matrices. k × (A + B) = k × A + k × B 2. Propiedad Distributiva respecto de la suma de números: (a + b )× A = a × A + b × A (con 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ) 3. Propiedad Asociativa mixta: a × (b × A) = (a × b )× A 4. Producto por la unidad: 1× A = A El conjunto de matrices 𝑀 𝑚𝑥𝑛 respecto de las operaciones suma de matrices y producto por un número real (𝑀 𝑚𝑥𝑛, +,·k) tiene estructura de espacio vectorial.
- 14. 2. OPERACIONES CON MATRICES 1MATRICES 2.3. Producto de matrices Sean las matrices A y B de dimensiones m x n y n x p(es decir, el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B). Se define el producto A·B , y en ese orden, como una matriz C de dimensiones m x p cuyos elementos son de la forma: Es decir, el elemento 𝑐11 se obtiene multiplicando escalarmente los elementos de la primera fila de la matriz A por los elementos de la primera columna de la matriz B, y así sucesivamente.
- 15. 2. OPERACIONES CON MATRICES 1MATRICES Ejemplo: Ejemplo:
- 16. 2. OPERACIONES CON MATRICES 1MATRICES Propiedades Si las matrices son cuadradas de orden n, el producto de matrices tiene las siguientes propiedades: 1. Propiedad Asociativa: A × (B × C) = (A × B)× C 2. Elemento neutro (I): A × I = I × A = A 3. Propiedad distributiva respecto de la suma de matrices: A × (B + C ) = A × B + A × C En general, NO CUMPLE LA PROPIEDAD CONMUTATIVA
- 17. 2. OPERACIONES CON MATRICES 1MATRICES Potencia de una matriz. Matriz n – ésima. Para determinar la potencia de una matriz, la multiplicaremos por sí misma el número de veces que sea necesario. Es por ello, que solo podemos determinar potencias de matrices cuadrados y siempre y cuando el exponente sea un número natural. Para potencias n – ésimas aplicaremos el método de inducción. Ejercicio: Dada la matriz A, determina: a) 𝐴2 𝑦 𝐴3 b) 𝐴 𝑛 c) 𝐴350
- 18. 3. RANGO DE UNA MATRIZ 1MATRICES 3.1. Concepto de rango Se llama rango de una matriz al número de filas o columnas de la matriz que son linealmente independientes (no pueden obtenerse a partir de las demás filas o columnas de la misma matriz). Ejemplo. Determina el rango de las siguientes matrices: La tercera fila de A se obtuvo sumando las dos primeras filas (f1+f2=f3). Estas dos primeras filas son independientes, por lo que el rango de A es 2. La tercera fila de B se obtuvo restando la segunda fila al doble de la primera (f3=2f2-f1). El rango de B es 2.
- 19. 3. RANGO DE UNA MATRIZ 1MATRICES Cálculo del rango de una matriz Transformaciones que conservar el rango Método de Gauss Mediante determinantes (UD-2)
- 20. 3. RANGO DE UNA MATRIZ 1MATRICES 3.2. Transformaciones que conservan el rango Sea una matriz A, conserva el rango cuando realizamos cualquiera de las siguientes transformaciones elementales: 1. Intercambiar dos filas (columnas). 2. Multiplicar todos los elementos de una fila (columna) por un número real distinto de cero. 3. Sumar a una fila (columna) otra multiplicada por un número real. 4. Suma a una fila (columna) una combinación lineal de sus paralelas. 5. Trasponer la matriz. 6. Eliminar una fila (columna): a) Cominación lineal de sus paralelas. b) Proporcional a otra. c) De ceros.
- 21. 3. RANGO DE UNA MATRIZ 1MATRICES 3.3. Cálculo del rango por el método de Gauss Una matriz es escalonada por filas cuando en cada fila el primer elemento no nulo está más a la derecha del de la fila anterior y las filas nulas están situadas en la parte inferior. Para calcular el rango de una matriz por el método de Gauss: 1. Se realizan sucesivas transformaciones elementales por filas de la matriz hasta lograr una matriz equivalente escalonada por filas. 2. El rango es el número de filas no nulas de la matriz equivalente.
- 22. 3. RANGO DE UNA MATRIZ 1MATRICES Ejemplo. Determina el rango de la siguiente matriz por el método de Gauss: En primer lugar, observamos que la matriz A, tiene por dimensiones 4x4ran(A) ≤ 4. Sol: ran(A) = 3, ya que hemos eliminado la fila 4 al estar formada únicamente por ceros.
- 23. 3. RANGO DE UNA MATRIZ 1MATRICES Ejercicio. Determina el rango de la siguientes matrices por el método de Gauss: Ejercicio. Determina el rango de la siguiente matriz según los valores del parámetro m:
- 24. 3. RANGO DE UNA MATRIZ 1MATRICES Solución: ran(A) = 2
- 25. 3. RANGO DE UNA MATRIZ 1MATRICES Solución: ran(B) = 3
- 26. 3. RANGO DE UNA MATRIZ 1MATRICES Solución: Para que ran (A) = 2, la última fila tiene que ser nula, es decir: m + 1 = 0 ⇒ m = - 1. En caso de que m sea distinto de – 1, ran (A)= 3.
- 27. 4. MATRIZ INVERSA 1MATRICES 4.1. Definición de matriz inversa Si dada una matriz cuadrada A existe otra matriz B, también cuadrada, que multiplicada por la matriz A nos da la matriz unidad, se dice que la matriz A es una matriz regular o inversible y a la matriz B se le llama matriz inversa de A y se representa por 𝐴−1 : 𝐴 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 ↔ ∃𝐴−1 /𝐴 · 𝐴−1 = 𝐴−1 · 𝐴 = 𝐼𝑑
- 29. 4. MATRIZ INVERSA 1MATRICES 4.2. Propiedades 1. La inversa de la matriz inversa es la matriz original. 𝐴−1 −1 = 𝐴 2. La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas de las matrices cambiando su orden. 𝐴 · 𝐵 −1 = 𝐴−1 · 𝐵−1 3. La inversa de la traspuesta de una matriz es igual a la traspuesta de la matriz inversa. 𝐴𝑡 −1 = 𝐴−1 𝑡
- 30. 4. MATRIZ INVERSA 1MATRICES 4.3. Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss - Jordan El método de Gauss‐Jordan para hallar la matriz inversa consiste en convertir la matriz inicial en la matriz identidad, utilizando transformaciones elementales. Llamamos transformaciones elementales por filas a: 1. Permutar dos filas i y j. Lo escribimos como Fi ⇔ Fj 2. Sustituir la fila i por el resultado de multiplicar o dividir todos sus elementos por un número a ≠ 0 . Lo escribimos como Fi = a × Fi 3. Sustituir la fila i por un múltiplo (no nulo) de ella más otra fila j multiplicada por un número b. Lo escribimos como Fi = a × Fi + b × Fj , con a ≠ 0 . Ampliamos la matriz original, escribiendo junto a ella la matriz identidad, y aplicamos las transformaciones elementales de modo que la matriz inicial se transforme en la matriz identidad.
- 31. 4. MATRIZ INVERSA 1MATRICES Ejemplo. Calcular la matriz inversa de la matriz A y B.
- 32. 4. MATRIZ INVERSA 1MATRICES de manera que existe 𝐴−1 siendo: