![2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA
EJERCICIO RESUELTO
11DERIVADAS
Calcular la TVM en el intervalo [3, 6] de la función:
𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 3𝑥
Solución:
𝑇𝑉𝑀 3,6 =
𝑓 6 − 𝑓(3)
6 − 3
=
18 − 0
3
= 6
𝑓 3 = 32
− 3 · 3 = 9 − 9 = 0
𝑓 6 = 62
− 3 · 6 = 36 − 18 = 18](https://image.slidesharecdn.com/ud11derivada-170331175602/85/Ud-11-derivada-8-320.jpg)
![2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA
EJERCICIOS PROPUESTOS
11DERIVADAS
1. Calcular la TVM en el intervalo [-2, 1] de la función:
𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 − 1
2. Calcular la TVM en el intervalo [3, 4] de la función:
𝑓 𝑥 = 𝑥3
− 2](https://image.slidesharecdn.com/ud11derivada-170331175602/85/Ud-11-derivada-9-320.jpg)
![4. REGLAS DE DERIVACIÓN
11DERIVADAS
1.DERIVADA DE UNA CONSTANTE 𝑓 𝑥 = 𝐾 → 𝑓´ 𝑥 = 0, 𝑐𝑜𝑛 𝐾 ∈ ℝ
2. DERIVADA DE PRODUCTO POR
CONSTANTE
𝑓 𝐾 · 𝑥 ´ = 𝐾 · 𝑓´ 𝑥 , 𝑐𝑜𝑛 𝐾 ∈ ℝ
3. DERIVADA DE LA SUMA/RESTA 𝑓 ± 𝑔 ´ 𝑥 = 𝑓´ 𝑥 ± 𝑔´(𝑥)
4. DERIVADA DE UNA PRODUCTO 𝑓 · 𝑔 ´ 𝑥 = 𝑓´ 𝑥 𝑔´ 𝑥 + 𝑓 𝑥 · 𝑔´(𝑥)
5. DERIVADA DE UNA COCIENTE
𝑓
𝑔
´ 𝑥 =
𝑓´ 𝑥 𝑔´ 𝑥 − 𝑓 𝑥 · 𝑔´(𝑥)
[𝑔 𝑥 ]2
6. DERIVADA DE LA COMPOSICIÓN 𝑓 𝑔 𝑥 ´ = 𝑓´ 𝑔 𝑥 · 𝑔´(𝑥)](https://image.slidesharecdn.com/ud11derivada-170331175602/85/Ud-11-derivada-20-320.jpg)
Ud 11 derivada
- 1. UD 11: DERIVADAS PROF: ALFONSO NAVARRO 1º BACHILLERATO CCSS
- 2. ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN 2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA 3. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 4. REGLAS DE DERIVACIÓN 5. DERIVADAS ELEMENTALES 6. APLICACIONES 6.1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES 6.2. OPTIMIZACIÓN
- 3. 1. INTRODUCCIÓN RESEÑA HISTÓRICA Fueron Newton y Leibniz quienes, de manera simultánea, comenzaron a estudiar el concepto de derivada en el siglo XVII. 11DERIVADAS
- 4. 1. INTRODUCCIÓN APLICACIONES 11DERIVADAS a = v ´ (t) Optimización Monotonía y curvatura Representación gráfica de funciones
- 5. 1. INTRODUCCIÓN APLICACIONES 11DERIVADAS Una caja con tapa y base cuadrada debe tener un volumen de 160 cm3. El precio del material utilizado para la base es de 3 euros por centímetro cuadrado, y el utilizado para las caras laterales y la tapa es de 2 euros por centímetro cuadrado. Calcula las dimensiones de la caja para que resulte lo más económica posible.
- 6. 2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA 2.1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA (TVM) 11DERIVADAS Denominamos TVM de una función f entre dos valores a y b a la expresión: Representa la pendiente de la recta que une los puntos A(a,f(a)) y B(b, f(b)). 𝑇𝑉𝑀 𝑎, 𝑏 = 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎) 𝑏 − 𝑎
- 7. 2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA 11DERIVADAS El siguiente gráfico muestra el tiempo y la distancia recorrida por un tren en el trayecto Madrid – Alicante. La TVM representará la velocidad media del tren en los diferentes intervalos. Calcula: 1. Distancia Madrid- Alicante. 2. Tiempo del trayecto. 3. Velocidad media.
- 8. 2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA EJERCICIO RESUELTO 11DERIVADAS Calcular la TVM en el intervalo [3, 6] de la función: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥 Solución: 𝑇𝑉𝑀 3,6 = 𝑓 6 − 𝑓(3) 6 − 3 = 18 − 0 3 = 6 𝑓 3 = 32 − 3 · 3 = 9 − 9 = 0 𝑓 6 = 62 − 3 · 6 = 36 − 18 = 18
- 9. 2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA EJERCICIOS PROPUESTOS 11DERIVADAS 1. Calcular la TVM en el intervalo [-2, 1] de la función: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 − 1 2. Calcular la TVM en el intervalo [3, 4] de la función: 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 2
- 10. 2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA 2.2. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA (TVI) 11DERIVADAS Denominamos TVI de una función f en un punto 𝑥 𝑜 como: Representa la pendiente de la recta tangente de la función f en el punto 𝑥 𝑜. 𝑇𝑉𝐼 𝑥 𝑜 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥 𝑜 + − 𝑓(𝑥 𝑜)
- 11. 2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA 11DERIVADAS
- 12. 2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA 11DERIVADAS El procedimiento que emplea la guardia civil para multar a un vehículo que excede la velocidad permitida se fundamenta en este concepto. El radar mide la velocidad del coche en una variación de tiempo lo más pequeña posible.
- 13. 2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA EJERCICIO RESUELTO 11DERIVADAS Calcular la velocidad de un vehículo cuyo desplazamiento tiene por ecuación: 𝑓 𝑥 = 0,1𝑥2 + 118𝑥 + 143,3 en el instante x = 4 horas. Solución: Según el concepto de TVM podemos tomar valores próximos a 4 tanto por encima como por debajo para saber realmente el valor que tomar la función en el punto 4. 𝑇𝑉𝑀 4.01,4 = 𝑓 4.01 − 𝑓(4. ) 4.01 − 4. = 328,48801 − 327,3 0,01 = 118,801 𝑇𝑉𝑀 4,3.99 = 𝑓 4 − 𝑓(3.99) 4 − 3.99 = 327,3 − 326,11201 0,01 = 118,799
- 14. 2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA 11DERIVADAS Podemos concluir entonces que la velocidad del coche era de 118,8 km/h en el momento de medición de la velocidad. En realidad lo que hemos calculado ha sido la velocidad instantánea del vehículo o la derivada de la función en el punto x = 4.
- 15. 3. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 3.1. CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 11DERIVADAS Denominamos derivada de una función 𝑓: 𝑋 → ℝ, en un punto 𝑥 ∈ 𝑋 (siendo X un intervalo abierto) y lo denotamos por 𝑓 ´ 𝑥 a la expresión: Representa la pendiente de la recta en el punto de abcisa x (en la imagen x=a ; m = tg𝛽) 𝑓 ´ 𝑥 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥 + − 𝑓(𝑥)
- 16. 3. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 3.2. FUNCIÓN DERIVADA 11DERIVADAS Denominamos función derivada a aquella función f: 𝑓: ℝ → ℝ x → 𝑓 ´ (𝑥) que a cada x, donde es derivable, le asocia su función derivada.
- 17. 3. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 11DERIVADAS EJEMPLO Supongamos que el desplazamiento de un móvil en función del tiempo viene dado por la ecuación𝑓 𝑥 = 𝑥2. Calcularemos la derivada (su velocidad) en el instante x = 2. 𝑓 ´ 𝑥 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥 + − 𝑓(𝑥) = lim ℎ→0 𝑥 + 2 − 𝑥2 = lim ℎ→0 𝑥2 + 2 + 2𝑥 − 𝑥2 = lim ℎ→0 ( + 2𝑥) = lim ℎ→0 2𝑥 = 2𝑥 Como x = 2 𝑓 ´ 2 = 2 · 2 = 4 Valor que coincide con la velocidad y la pendiente de la recta tangente a la función en x = 2.
- 18. 3. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 11DERIVADAS
- 19. 3. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 11DERIVADAS En el ejemplo anterior hemos calculado la derivada de la función a partir de su definición. En un proceso que no siempre resulta sencillo y por consiguiente es conveniente aprenderse las derivada de las funciones elementales en vez de estar calculándolas a partir de la definición continuamente.
- 20. 4. REGLAS DE DERIVACIÓN 11DERIVADAS 1.DERIVADA DE UNA CONSTANTE 𝑓 𝑥 = 𝐾 → 𝑓´ 𝑥 = 0, 𝑐𝑜𝑛 𝐾 ∈ ℝ 2. DERIVADA DE PRODUCTO POR CONSTANTE 𝑓 𝐾 · 𝑥 ´ = 𝐾 · 𝑓´ 𝑥 , 𝑐𝑜𝑛 𝐾 ∈ ℝ 3. DERIVADA DE LA SUMA/RESTA 𝑓 ± 𝑔 ´ 𝑥 = 𝑓´ 𝑥 ± 𝑔´(𝑥) 4. DERIVADA DE UNA PRODUCTO 𝑓 · 𝑔 ´ 𝑥 = 𝑓´ 𝑥 𝑔´ 𝑥 + 𝑓 𝑥 · 𝑔´(𝑥) 5. DERIVADA DE UNA COCIENTE 𝑓 𝑔 ´ 𝑥 = 𝑓´ 𝑥 𝑔´ 𝑥 − 𝑓 𝑥 · 𝑔´(𝑥) [𝑔 𝑥 ]2 6. DERIVADA DE LA COMPOSICIÓN 𝑓 𝑔 𝑥 ´ = 𝑓´ 𝑔 𝑥 · 𝑔´(𝑥)
- 21. 5. DERIVADAS ELEMENTALES 11DERIVADAS 5.1. Derivada de la función potencial 𝐲 = 𝒙 𝒏 ; 𝒄𝒐𝒏 𝒏 ∈ ℝ Sea una función y = xn se cumple que su derivada es la función: y´ = n · xn−1 Generalizando: y = xf(x) → y ´ = f´ 𝑥 · 𝑥 𝑓 𝑥 −1 EJEMPLOS a) y = x3 → y´ = 3x2 b) y = 4x2 → y´ = 8x c) y = −x4 → y´ = −4x3 d) y = 7 → y´ = 0 e) y = 3 𝑥 = 3𝑥−1 → y´ = −3x−2= −3 𝑥2 f) y = 𝑥 = 𝑥1/2 → y ´ = 1 2 x 1 2 −1 = 1 2 x −1 2 = 1 2 𝑥 g) y = 𝑥25 = 𝑥2/5 → y ´ = 2 5 x 2 5 −1 = 2 5 x −3 5 = 2 5 𝑥35
- 22. 5. DERIVADAS ELEMENTALES 11DERIVADAS 5.2. Derivada de la función exponencial 𝐲 = 𝒂 𝒙 ; 𝒄𝒐𝒏 𝒂 ∈ ℝ+ Sea una función y = ax se cumple que su derivada es la función: y´ = ax · ln(a) Caso particular y = ex → y´ = ex Generalizando: y = af(x) → y ´ = f´ 𝑥 · 𝑎 𝑓 𝑥 · ln(𝑎) y = ef(x) → y ´ = f´ 𝑥 · 𝑒 𝑓 𝑥 EJEMPLOS a) y = 5x → y´ = 5x · 𝑙𝑛5 b) y = 2x → y ´ = 2x · 𝑙𝑛2 c) y = 37x → y ´ = 7 · 37𝑥 · 𝑙𝑛3 d) y = e 𝑥2 → y ´ = 2𝑥 · 𝑒 𝑥2
- 23. 5. DERIVADAS ELEMENTALES 11DERIVADAS 5.3. Derivada de la función logarítmica 𝐲 = 𝒍𝒏𝒙 ; 𝒄𝒐𝒏 𝒙 ∈ ℝ+ Sea una función y = lnx se cumple que su derivada es la función: y´ = 1 𝑥 Caso y = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 → y´ = 1 𝑥·𝑙𝑛𝑎 Generalizando: y = ln 𝑓 𝑥 → y ´ = 𝑓 ` 𝑥 𝑓 𝑥 y = 𝑙𝑜𝑔 𝑎(𝑓 𝑥 ) → y´ = 𝑓 `(𝑥) 𝑓 𝑥 · ln 𝑎 EJEMPLOS a) y = ln 5𝑥 → y´ = 5 5𝑥 = 1 𝑥 b) y = ln −𝑥3 → y´ = 3𝑥2 −𝑥3 = −3 𝑥 c) y = l𝑜𝑔 5𝑥 + 6 → y´ = 5 5𝑥+6 ·ln 10
- 24. 11DERIVADAS 6.1. ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE La derivada nos permite determinar la pendiente de la recta tangente a la función en un determinado punto. Para ello podemos emplear la siguiente expresión: 6. APLICACIONES
- 25. 11DERIVADAS EJERCICIO Dada la siguiente función: a) Encuentra su función derivada. b) Representa gráficamente la función. c) Encuentra la ecuación de la recta tangente a la función en el punto de abcisa x = - 3. y = x2 − 9 6. APLICACIONES
- 26. 6. APLICACIONES 11DERIVADAS 6.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES (monotonía) Como hemos visto la derivada de una función indica el valor de la pendiente de la recta tangente. Pueden darse los siguientes tres casos según el signo de la derivada: 1. f ´(x) > 0 la función es creciente. 2. f ´(x) < 0 la función es decreciente. 3. f ´(x) = 0 posible punto crítico (máximo o mínimo)
- 27. 6. APLICACIONES 11DERIVADAS EJERCICIO RESUELTO Estudiar la monotonía y puntos críticos de la función f(x) = x^3-3x+2 Solución: 1º Calculamos la derivada de la función y la igualamos a cero. f ´(x) = 3x^2-3 f ´(x) = 3x^2 – 3 = 0 x = 1 ; x = -1 (candidatos a extremos, junto a otros posibles puntos que no pertenezcan al dominio) 2º Estudiamos el signo de la derivada en las proximidades de los puntos candidatos. (-inf , -1) (-1 , 1) (1 , + inf) Signo f ´ (x) + - + crece decrece crece 3º El punto (-1, 4) es un máximo y (1, 0) es un mínimo.
- 28. 6. APLICACIONES 11DERIVADAS 6.3. OPTIMIZACIÓN Los problemas de optimización se reducen a encontrar los extremos relativos de una función: 1. Escribimos la función que deseamos optimizar. 2. Si la función tiene más de una variable, relacionamos las variables con los datos del enunciado para conseguir una función de una variable. 3. Obtenemos los máximos y mínimos de la función. 4. Comprobamos que los resultados obtenidos tienen sentido y se adecuan a las condiciones del enunciado.
- 29. 6. APLICACIONES 11DERIVADAS PROBLEMA Una caja con tapa y base cuadrada debe tener un volumen de 160 cm3. El precio del material utilizado para la base es de 3 euros por centímetro cuadrado, y el utilizado para las caras laterales y la tapa es de 2 euros por centímetro cuadrado. Calcula las dimensiones de la caja para que resulte lo más económica posible.