Aplicaciones de las derivadas slideshare

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Educación Superior
Instituto Universitario Tecnológico
¨Antonio José de Sucre¨
Aplicaciones de las Derivadas
Integrante:
Yohandris Camacaro: CI 25.136.175

Aplicación de las Derivadas
El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII
hasta la noción de derivada.
El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las
integrales, constituyen el cálculo infinitesimal. Los
introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma
independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien
entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la
aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las
aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.
1. Tasa de variación media
Incremento de una función
Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta
en h, pasando al valor a +h, entonces f pasa a valer
f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la
diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.
Tasa de variación media
Llamamos tasa de variación media (o tasa
media de cambio) T.V.M., de la función y =f(x) en el
intervalo
[a, b] al cociente entre los incrementos de la
función y de la variable, es decir:
T.V.M. [a, b] =
Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función
f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2]
Solución
T.V.M. [0, 2] =

2.Tasa de variación instantánea. La derivada
Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).
La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería .
Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h
tiende a cero, es decir :
A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se
designa por , por lo tanto, la derivada de una función en un punto
es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la
variable tiende a 0.
=
Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.
Observación 1. Si hacemos x =a +h , la derivada, en el punto a ,
también puede expresarse así:
Observación 2. También se puede hablar de derivadas laterales, f
’+ y f -’ (obligatorio que f sea continua) según se considere el límite
para h>0 o h<0. Si existen los dos límites laterales y coinciden la
función es derivable.
Ejemplo 2. Las derivadas laterales de la función en x =0 son 1 y –1.
Luego la función valor absoluto no es derivable en el 0.
Proposición. Toda. función derivable en un punto es continua en dicho punto.
El recíproco es falso.
Ejemplo 2. es continua en 0, pero no es derivable en 0.

Aplicación física de la derivada
Consideremos la función espacio E= E(t).
La tasa de variación media de la función espacio en el intervalo
[t0, t] es: vM(t)= , que es lo que en Física llaman
la velocidad media en ese intervalo de tiempo, si calculamos el
límite cuando t tiende a t0, obtenemos la tasa instantánea, entonces:
La derivada del espacio respecto del tiempo es
la velocidad instantánea.
Ejercicio 3. La ecuación de un movimiento es , , calcula la velocidad
en el instante t =5.
Solución
v(t)=E’(t)= 2t -6 en el instante t =5 se tendrá : v(5)= 2.5 -6 =4
3. Interpretación geométrica de la derivada
La tasa de variación media de una función f en [a, a +h] es la
pendiente de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos
de abscisa a y a +h.
Si h tiende a cero, el punto a +h tiende hacia el punto a y la recta
secante pasa a ser la recta tangente a la curva. Por lo tanto:
La derivada de la función en el punto a es la pendiente de la recta
tangente en el punto (a,.f(a))
La ecuación de la recta tangente en dicho punto se puede expresar
y - f(a) = f ´(a)(x-a) .
Ecuación punto pendiente de la recta tangente a la gráfica de f, pasa
por el punto (a, f(a)) y tiene como pendiente la derivada de f en a,
f’(a)
Ejemplo 3. En la figura se muestra la gráfica de y
=-x2 +4x, una recta secante que pasa por el punto (1, 3) y la recta
tangente en ese punto, que tiene por ecuación y –3 = 2(x-1)
Ejercicio 4. Hallar la ecuación de la recta tangente
aa la gráfica de f(x) = x2-x +5 en el punto de
abscisa x=0
Ejercicio 5. ¿Qué valor debe tener a para que la
recta y =-x +6 y la curva y =-ax2 +5x –1 sean
paralelas en x = 1.

4. Función derivada. Reglas de derivación. Cálculo de
derivadas
La función derivada
La función que a cada que a cada x le hace corresponder f´(x) se
llama la función derivada de f y se denota por f´.
Tabla de derivadas de algunas funciones elementales
1) f(x) =k ⇒ f´(x) =0
2) f(x) = xn ⇒ f´(x) = nxn-1
3) f(x) = ⇒ f´(x) =
4) f(x) = ln x ⇒ f´(x) =
5) f(x) = ex ⇒ = ex
6) f(x) = sen x ⇒ f´(x) = cos x
7) f(x) = cos x ⇒ f´(x) = -sen x
Reglas de derivación
Si f y g son funciones derivables en a entonces f +g y f.g son derivables en a y se
verifica:
-(f +g)´= f´(a) + g´(a)
-(f.g)´(a) = f´(a).g(a) + g´(a).f(a)
Además si g(a) 0, entonces f/g es derivable en a y se verifica
-
Ejercicio 6. Calcula la derivada de:
a) f(x) = ex(x2- 3x + 2); b)
c) h(x) = tan x; d)
Ejercicio 7. Estudia en qué puntos no son derivables las siguientes funciones, razonando la respuesta:
a) f(x)=

Observación: la gráfica de esta función es:
b) y =
c) g(x)=
Las gráficas de estas funciones están al final, para la comprobación.
Observación. Si f ´ se puede derivar en su dominio se puede llegar a
la función (f ´)´= f ´´ , que se llama derivada segunda,
y f ´´´, f ´ v que se dice son las derivadas sucesivas de f.
Regla de la cadena
Si g es derivable en a y f es derivable en g(a) entonces f°
g es derivable en a y se verifica:
(f°
g)´(a) = f´(g(a)).g´(a)
Que se llama la regla de la cadena (derivada de la función compuesta o derivada de la
función de función)
Derivación logarítmica
Como aplicación de la regla de la cadena se tiene, si ⇒ y’ , y de aquí se
llega al método de la derivación logarítmica.
Método:
Sea
1º Tomamos logaritmos neperianos en ambos miembros de la igualdad
ln y =ln =g(x)ln f(x) (por las propiedades de los logaritmos)
2º Se deriva
3º Se despeja y’

[ ] [ ]
que puede escribirse :
Observación. La fórmula por ser muy “compleja[1]” no suele aplicarse es preferible aplicar el método en cada
ejercicio.
Ejemplo 4. Consideremos la función y = x x, si tomamos logaritmos en ambos lados se sigue:
, y derivando los dos miembros de la igualdad
⇒ y’=xx(ln x +1)
Derivada de la función inversa
Es otra aplicación de la regla de la cadena.
Como f°
f -1= I, se tiene (f°
f –1)’(x)= f ’(f –1(x))(f –1)’(x)=1, luego despejando
(f –1)’(x)= 1/f ’(f –1)’(x),
Ejemplo 5. Consideremos la función y =arc tg x ⇒ x = tg y, y derivando x ’ = 1 +tg2y, de donde:
Ejercicio 9. Calcula la derivada de
Tabla de derivadas (propuesta como ejercicio)
Ejercicio 10. Calcula la derivada de las siguientes funciones:
a) f(x)= ; b) ;
c) y = ; d) h(x) =cos3(x2-2);
e) y =e arc tg x; f) j(x) =arc sen(x + 3x2)
g) y = ; h) k(x) =(x2+1)cos x;
j) y = ln ; k) y = ;

5.Crecimiento y decrecimiento de una función
Figura 1
La demostración de este resultado puede hacerse usando la definición de derivada y e concepto de límite, pero
resulta evidente si se tiene en cuenta el significado geométrico de la derivada (ver figura 1).
Si f es derivable en un intervalo I y f ’ >0 en ese intervalo entonces f crece en I.
El recíproco no se cumple en general.
Ejemplo 5. La función y =x3 cumple que es creciente en todo R, y sin embargo f ’(0) =0.
Análogamente si f es derivable en un punto a y f ‘(a)<0 entonces f es decreciente en a. Si f ‘<0 en todo un
intervalo I, f es decreciente en I. (Ver figura 1)
6. Máximos y mínimos relativos (o locales) de funciones derivables
Si una función tiene un máximo o mínimo relativo (o local) se dirá que tiene un extremo relativo.
Figura 2
Condición necesaria de extremo
Proposición.
Si f es derivable en el punto a y f tiene en a un extremo relativo, entonces f ‘ (a)=0.
Demostración. Si no fuera cierto y por ejemplo f ’(a)>0 entonces por la proposición
anterior f sería creciente en un entorno del punto a, lo que contradice la existencia de
extremo.
La condición no es suficiente.
Ejemplo 6. La función y =x3 es creciente en 0, por lo que no puede tener extremos, y sin
embargo f ’(0)=0.

Criterio práctico. Hay extremo relativo en el punto si la derivada de la función en ese
punto es cero (condición necesaria f ‘(0)=0) y en dicho punto cambia el crecimiento. Ver
figura 2.
f ’ <0 =0 >0
Si |a hay mínimo relativo en (a, f(a))
f mínimo
f ’ > =0 <
Si |a hay máximo relativo en (a, f(a))
f máximo
Ejercicio 9.Dada la función se pide estudiar el crecimiento y decrecimiento,
máximos y mínimos relativos.
Condición suficiente de extremo
Proposición. Sea f una función derivable en a y tal que f ‘(a)=0:
a) Si f ’’>0 entonces f tiene un mínimo relativo en el punto a.
b) Si f ‘’<0 entonces f tiene un máximo relativo en el punto a.
Esta proposición nos da también un método para resolver los problemas de máximos y mínimos para funciones
derivables.
Se presentarán en tablas estos resultados:
9. Aplicación de la derivada a la representación gráfica de
funciones
El conocimiento de una función se completa perfectamente dibujando su gráfica, los
siguientes resultados dan una idea aproximada de ésta:
I) Estudio de f (resumen)
1º Dominio de f.
2º Puntos de corte con los ejes.
3º Signo de la función (regiones en las que varía el signo).
4º Simetrías.
- Si f(-x) = f(x), función par, simétricas respecto del eje de ordenadas.
- Si f(-x) =-f(x), función impar, simétrica respecto del origen.
5º Asíntotas
- Verticales
Si existe a tal que , x =a es la ecuación de una asíntota
vertical.
- Horizontales
Si , y =b es una asíntota horizontal.

- Oblicuas
Si y , y =m x +n es una asuntota oblicua.
II) Estudio de f’ (resumen)
1º Crecimiento y decrecimiento.
Si f ’(x)>0 , f es creciente. Si f ’(x)<0, f es decreciente.
2º Máximos y mínimos relativos
Condición necesaria de máximo y mínimo es que f ’(x)=0.
III) Estudio de f’’(resumen)
1º Concavidad y convexidad, f ’’>0 convexa ∪, f ’’<0 cóncava ∩
2º S i f ’’(x0) =0 y en dicho punto cambia la curvatura es punto de
inflexión.
Ejemplo 8. Representamos gráficamente la función
I) Estudio de f
1º D =R
2º Puntos de corte, el (0, 0)
3º Signo de f, negativa en x<0 y positiva para x>0
4º Simetrías, f(-x) = -f(x), luego simétrica respecto del origen.
5º Asuntotas.
No hay verticales por que el dominio es todo R
Horizontales y =0
No hay oblicua.
II) Estudio de f ’
, f ’(x)=0 ⇒ -x2+1=0, de donde x = 1
Ejercicio Aplicando Derivadas a la Medicina: Aorta-Arteria Flujo sanguíneo
V=P/4nL. [R2-r2] V=PR2/4nL-Pr2/4nL
Derivamos=dv/dr=-2rp/4nLdv/dr=rp/ 2nLdr/dv=-2nL/rpdr/dr=2(0,087cm2/s) (6,86cm)/ (0,2cm)
(205344cm2)=0,00002906439seg.

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