Proyecto de aplicación de la primera y segunda derivada

UNIVERSIDAD
PRIVADA DEL NORTE
INGENIERÍA
AMBIENTAL
0
APLICACIÓN DE LA
PRIMERA Y LA
SEGUNDA
DERIVADA EN LA
DETERMINACIÓN
DEL VALOR
MÁXIMO Y MÍNIMO
DE LA PRODUCCIÓN
ANUAL DE
ESPARRAGOS DE LA
EMPRESA DANPER-TRUJILLO
Integrantes:
CALCULO 1
 Bobadilla Atao Leo E.
 Castillo Llanos Ivan
 López Briones Sandra I.
 Mendoza Cordova Ingrid
 Olivares Rodríguez Ligia E.

2
INDICE O CONTENIDOS
CAPITULO I
PLAN DEL PROYECTO
1.1 PROBLEMA…………………………………………………………………...4
1.2 HIPÓTESIS……………………………………………………………………4
1.3 OBJETIVOS……………………………………………………………….…..5
CAPITULO II
MARCO TEÓRICO
Marco
teórico……………………………..………………………………………….……7
2.1 Concepto de funciones…………………………………….………….…..….7
2.2 Rango y Dominio de funciones…………………………….……….…….…7
2.3 Continuidad……………………………………………………………..……..8
2.4 Derivadas………………………………………………………………..……10
CAPITULO III
DESARROLLO DEL PROYECTO
DESARROLLO DEL PROYECTO……………………………………….….…12
CONCLUSIONES ………………………………………………………………..14
BIBLIOGRAFÍA………………………………………………..……….…………15
ANEXOS………………………………………………………..…………………17

3
INTRODUCCIÓN
El presente informe redacta una problemática en la empresa “DAMPER TRUJILLO
S.A.C”, encargada de la producción de esparrago; para esto hemos realizado un
análisis en la producción que se ha realizado en los últimos 4 años, con el fin de
encontrar los valores máximos y mínimos de la Empresa.
Para el desarrollo del presente trabajo, hemos procurado utilizar los conocimientos
adquiridos a lo largo del ciclo en la materia del caldulo diferencial.

5
CAPITULO I
PLAN DEL PROYECTO
1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
 REALIDAD PROBLEMATICA
Danper Trujillo SAC es una joint venture de capitales daneses y peruanos que
comenzó sus operaciones en febrero del año 1994 en Trujillo - Perú. Las plantas de
procesamiento están situadas en Trujillo y Arequipa. DANPER se dedica con mucho
éxito a la actividad agroindustrial de producción y exportación de conservas de
espárrago, alcachofa, pimiento del piquillo, hortalizas en general y frutas, así como

espárragos frescos y congelados, pero en los últimos años, los ingresos varian
constantemente, ya que depende de la producciòn.
6
 FORMULACIÓN O DELIMITACIÓN DEL PROBLEMA
Decidimos enfocar nuestro trabajo en el aspecto Agrícola de la empresa Danper
S.A.C, por lo que tuvimos que investigar y obtener los datos que nos ayuden a
finalizar lo propuesto.
Tras conseguir la información sobre la producción mensual de esparrago de los
últimos años, trabajaremos nuestro trabajo.
 ENUNCIADO DEL PROBLEMA
¿Cuál es el valor máximo y mínimo del promedio de la producción mensual de
esparrago de la Empresa DANPER-TRUJILLO que se obtuvo durante los últimos
cinco años?
1.2 HIPÓTESIS
Mediante el CRITERIO DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA se determinará el
valor máximo y mínimo del promedio de la producción mensual de esparrago de la
Empresa DANPER-TRUJILLO durante los últimos cinco años.
1.3 OBJETIVOS
 General
Determinar el valor máximo y mínimo del promedio de la producción mensual de
esparrago de la Empresa DANPER-TRUJILLO en los últimos cinco años.
 Específicos
 Determinar la función matemática del promedio de la producción de esparrago
en los últimos 5 años.
 Aplicar el criterio de la primera y segunda derivada para máximo y mínimos
 Determinar e interpretar la gráfica de la función matemática de la producción
de esparrago.

7
CAPITULO II
MARCO TEÓRICO

8
2.1 MARCO TEÓRICO
FUNCIÓN:
Una Función f de valores reales definida en un conjunto D de números reales es una regla
que asigna a cada número x en D exactamente un número real, denotado por y=f(x).
 x es la Variable Independiente.
 y es la Variable Dependiente.
Valor numérico de una función
Sea f(x)=2x3 – x + 3, x es un número real
Calcular f(0), f(-1)
Resolución
f(0) = 2(0)3 – 0 + 3 = 3
f(-1)= 2(-1)3 –(-1) + 3 = 2
DOMINIO Y RANGO
Si el dominio no está especificado, este se determina analizando todos los posibles valores
que puede tomar x, tal que f(x) sea un valor real.
El rango de una función f se determina despejando la variable x en función de y, luego se
analiza todos los posibles valores que puede tomar y, de tal manera que x sea un valor real,
en el dominio de f.

9
A
FUNCIONES POLINÓMICAS:
푓(푥) = 푎푛푥푛 + 푎푛−1푥푛−1 + ⋯ + 푎1푥 + 푎0
Las funciones polinómicas, tienen como 퐷푓 = 푅, puesto que a partir de una expresión
polinómica, se puede sustituir el valor de “X” por cualquier número real que hayamos
elegido y se puede calcular sin ningún problema el número real imagen “Y”.
Ejemplo:
푓(푥) = 3푥3 + 18푥2 − 20푥 + 15
FUNCIONES RACIONALES:
Una función racional es aquella cuya regla de correspondencia es el cociente de dos polinomios.
Se escribe:
푓(푥) =
푃(푥)
푄(푥)
; 푑표푛푑푒 푞(푥) ≠ 0
Ejemplo:
푓(푥) =
푥 3 − 푥 − 42
푥 2 − 3푥 − 10
, 퐷푓 : 푥 휖 푹 − {−2,5}
CONTINUIDAD
Una función f es continua en un punto x=a, si:
1. f(a) está definido.
2. Existe lim
푥→푎
푓(푥) y éste límite es finito.
3. El límite coincide con el valor de la función.
lim
푥→푎
푓(푥) = 푓(푎)
B
2
4
6
5
1
2
3
4
Si falla alguna de las 3
condiciones se dirá que la
función es discontinua.
f

10
EJEMPLOS
1) Determinar si la función: 푦 =
푥2−3푥
푥−3
, es continua en x=3.
Solución:
No existe f(3), entonces f es discontinua en x=3. A pesar de que el límite si existe.
lim
푥→3
푥 2 − 3푥
푥 − 3
= lim
푥→3
푥(푥 − 3)
푥 − 3
= lim
푥→3
푥 = 3
DERIVADAS DE FUNCIONES
La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a
cada número real su derivada, si existe. Se expresa por f'(x).
푓´(푥) = lim
ℎ→0
푓(푥 + ℎ) − 푓(푥)
ℎ
La definición de función continua en
un punto indica que la gráfica de la
función no presenta ninguna
interrupción.

11
Ejemplos
Hallar la derivada de 푓(푥) = 푥 3 + 2푥 − 5 en x = 1.
푓´(푥) = lim
ℎ→0
(푥 + ℎ)3 + 2(푥 + ℎ) − 5 − (푥 3 + 2푥 − 5)
ℎ
=
= lim
ℎ→0
푥 3 + 3푥 2ℎ + 3푥ℎ2 + ℎ3 + 2푥 + 2ℎ − 5 − 푥 3 − 2푥 + 5
ℎ
=
= lim
ℎ →0
3푥 2ℎ + 3푥ℎ2 + ℎ3 + 2ℎ
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ(3푥 2 + 3푥ℎ + ℎ2 + 2)
ℎ
= 3푥 2 + 2
푓´(1) = 3(1)2 + 2 = 5
EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN
Criterio de la primera derivada para puntos externos
NOTA:
Para encontrar todos los extremos de una función, se debe de resolver la ecuación.
푓´(푥) = 0
CRITERIOS PARA FUNCIONES MONÓTONAS
(crecientes y decrecientes)
y=g (x)
y
x

12
Sea f diferenciable en el intervalo ]a; b[:
Si f ´(x) > 0 para todo x en ]a; b[, entonces f es creciente en ]a; b[.
Si f ´(x) < 0 para todo x en ]a; b[, entonces f es decreciente en ]a; b[.
FUNCIONES NO CRECIENTES Y NO DECRECIENTES
No Creciente No Decreciente
푥1 < 푥2 → 푓(푥1) ≤ 푓(푥2) 푥1 < 푥2 → 푓(푥1) ≥ 푓(푥2)
Observe el comportamiento de las siguientes curvas:
EXTREMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN:
x
y
=
x
b a
y

13
Se denomina valor extremo de una función f a un valor máximo o un valor mínimo de la
misma.
Una función f tiene un máximo relativo o local en x = c,
si existe un intervalo ]a; b[ que contenga a c sobre el
cual f (c) > f (x) para todo x en el intervalo. El máximo
relativo es f (c).
Una función f tiene un mínimo relativo o local en x = c, si
existe un intervalo ]a; b[ que contenga a c, si f (c) < f (x)
para todo x en el intervalo. El mínimo relativo es f (c).
Condición necesaria para extremos relativos
Si f tiene un extremo relativo en c, entonces f ´(c) = 0 o bien f ´(c) no existe
f
Valor crítico: Un número c del dominio de f tal que f es continua en c se denomina valor
crítico de f si f ´(c) = 0 o f ´(c) no está definida.
Criterio de la 1ra derivada para extremos relativos
Sea “c” un valor crítico para f (x). El punto crítico correspondiente (c; f (c)) es:
Un máximo relativo si f (x) > 0 a la izquierda de “c” y f (x) < 0 a la derecha de “c”
Un mínimo relativo si f (x) < 0 a la izquierda de “c” y f (x) > 0 a la derecha de “c”
EJEMPLO: Hallar los máximos y mínimos de 푓(푥) =
푥2
2
+
1
푥
퐷푓 = 푅 − {0}
F
i
y

14
푓´(푥) = 푥 −
1
푥2 = 0 ↔
푥3 − 1
푥2 = 0 ↔ (푥 − 1)(푥2 + 푥 + 1) = 0 ↔ 푥 = 1
푓´´(푥) = 1 +
2
푥3 = 0 ↔ 푓´´(−1) = 1 +
2
13 = 3 > 0
→ 푓(1) =
(−1)2
2
+
1
1
=
3
2
푒푠 푣푎푙표푟 푚í푛푖푚표
FUNCIÓN CÓNCAVA HACIA ARRIBA
Una función cuya primera derivada es creciente (f’’(x)>0)
sobre un cierto intervalo abierto se llama cóncava hacia
arriba en ese intervalo. Las funciones cóncavas hacia arriba
quedan por encima de sus rectas tangentes y por debajo de
sus cuerdas.
푓´´(푎) > 0 ⟹ 푓(푎) 푒푠 푚í푛푖푚표

15
CAPITULO III
DESARROLLO DEL PROYECTO

16
3.1 DESARROLLO DEL PROYECTO
 Datos de la Producción de Esparrago:
Producción Espárrago
MES / AÑO 2009 2010 2011 2012 2013
Enero 15 641 15128 16009 15956 15678
Febrero 18 634 17978 18034 18905 18340
Marzo 20 315 19890 20058 20567 19978
Abril 17 695 18045 18003 17478 17985
Mayo 17 150 17450 17230 17410 17540
Junio 16 337 16789 16456 16987 16239
Julio 15 141 14890 15109 14991 15012
agosto 14 629 15034 14984 14785 14998
septiembre 16 050 15980 16231 16002 15879
octubre 21 789 20899 20986 21540 21730
noviembre 27 036 27560 26984 27087 27201
diciembre 21 089 22009 21879 21458 21540
Promedio de la producciòn de espàrragos
MES / AÑO 2009 - 2013
enero 15682
febrero 18378
marzo 20162
abril 17841
mayo 17356
junio 16562
julio 15029
agosto 14886
septiembre 16028
octubre 21389
noviembre 27174
diciembre 21595

17
15682
30000
25000
20000
15000
10000
5000
PROMEDIO MENSUAL DE PRODUCCIÓN DE
Función polinomial:
18378
20162
ESPÁRRAGOS
17841 17356
푌 = −1.3691푋6 + 48.456푋5 − 664.42푋4 + 4542푋3 − 16494푋2 + 29859푋 − 1770.3
 Cuyo Dominio es: [1;12]
Coeficiente de correlación:
푅2 = 0.9784
Procedemos a encontrar el máximo y mínimo y concavidad
1. Hallamos la primera derivada:
16562
15029 14886
16028
21389
27174
21595
y = -1.3691x6 + 48.456x5 - 664.42x4 + 4542x3 - 16494x2 + 29859x - 1770.3
R² = 0.9784
0
PRODUCCIÓN (TONELADAS)
MES

+ CRECIENTE
18
푦 = −1.3691푋6 + 48.456푋5 − 664.42푋4 + 4542푋3 − 16494푋2 + 29859푋 − 1770.3
푦′ = −8.2146 푋5 + 242.28푋4 − 2657 .68푋3 + 13626 푋2 − 32988푋 + 29859
2. Hallamos los valores de crecimiento y decrecimiento:
푦´ = 0 → −8.2146 푋5 + 242 .28푋4 − 2657 .68푋3 + 13626 푋2 − 32988푋 + 29859 = 0
푥 = 2.29109
푥 = 7.80758
푥 = 11.2324
Intervalos F´(x) Creciente / Decreciente
〈−∞ , 2.29109〉
〈2.29109 , 7.80758〉 -
3. Hallamos la segunda derivada:
푦′ = −8.2146 푋5 + 242.28푋4 − 2657 .68푋3 + 13626 푋2 − 32988푋 + 29859
y´´ = 0 → − 41.073 x4+ 969.12x3 − 7973.04x2 + 27252 x − 32988 = 0
4. Hallamos los puntos de concavidad
y´´ = − 41.073 x4+ 969.12x3 − 7973.04x2 + 27252 x − 32988
y´´ = 0 → − 41.073 x4+ 969.12x3 − 7973.04x2 + 27252 x − 32988 = 0
푥1 =3.1637
푥2 = 3.92146
푥3 = 6.40901
푥4 = 10.1008
INTERVALOS F`` CONCAVIDAD
〈−∞; 3.1637〉 - ∩
〈3.1637; 3.92146〉 +
∪
〈3.92146; 6.40901〉 +
DECRECIENTE
〈7.80758 , 11.2324〉 +
〈11.2324 ,∞+ 〉 CRECIENTE -

1
〈 6.40901; 10.1008〉 +
〈10.1008; +∞〉 - ∩
CONCLUSIONES
Hay un máximo absoluto en el mes de noviembre, un máximo relativo en el mes de
febrero y un mínimo absoluto en agosto.
Hallamos la mejor función que exprese la variabilidad de los valores estudiados:
푌 = −1.3691푋6 + 48.456푋5 − 664.42푋4 + 4542푋3 − 16494푋2 + 29859푋 − 1770.3
RECOMENDACIONES
 Usar programas matemáticos para que faciliten la obtención de la función
verdadera del problema, por medio de los datos que se tengan.
 Tener cuidado al momento de realizar la primera y segunda derivada, ya que de
equivocarse en un dígito, saldrá mal el resto de la resolción del problema.
 Siempre poner las unidades en las que se esta trabajando.

2
BIBLIOGRAFIA
 http://www.danper.com/Web/e
s/paginas/ProductoFresco1.aspx
 http://www.profesorenlinea.cl/
matematica/Relaciones_y_funciones.ht
ml
 http://www.decarcaixent.com/acti
vidades/mates/derivadas/derivadas4.htm
 http://www.fisicanet.com.ar/matem
atica/m3ap02/apm3_27e_Derivadas.php
 http://thales.cica.es/rd/Recursos/r
d99/ed99-0295-01/punto5/pzunto5.html
 http://docencia.udea.edu.co/ingen
ieria/calculo/pdf/4_10_1.pdf
 http://euler.us.es/~renato/clases/
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 http://thales.cica.es/rd/Recursos/r
d97/UnidadesDidacticas/39-1-u-continuidad.
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 http://www.escolar.com/menumat
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 http://elcentro.uniandes.edu.co/cr
/mate/estructural/libro/estructural/node2
1.html
 http://www.fi.uba.ar/materias/611
07/Apuntes/Rel00.pdf

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