Definicion derivada
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El documento explica conceptos de cálculo, centrándose en la definición de la derivada y el concepto de secantes y tangentes. Se detalla cómo calcular la pendiente de una secante y cómo esta se convierte en la tangente al disminuir la distancia entre dos puntos. Además, se proporciona la fórmula para la derivada y ejemplos de su cálculo para diferentes funciones.
![•Encuentra la pendiente de la recta secante en 𝒇 𝒙 =
𝒙 𝟐 + 𝟑.
(𝑥 + ℎ)2 +3 − (𝑥 2 + 3) Se le suma h a
𝑚 𝑠𝑒𝑐 = toda x
ℎ
[(𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) + 3] − (𝑥 2 + 3)
𝑚 𝑠𝑒𝑐 =
ℎ
Simplificar
𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 + 3 − 𝑥 2 − 3 términos
𝑚 𝑠𝑒𝑐 =
ℎ semejantes
2𝑥ℎ + ℎ2 Dividir y
𝑚 𝑠𝑒𝑐 = simplificar h
ℎ
𝒎 𝒔𝒆𝒄 = 𝟐𝒙 + 𝒉](https://image.slidesharecdn.com/definicionderivada-130305211000-phpapp01/85/Definicion-derivada-4-320.jpg)
Definicion derivada
- 1. CURSO CÁLCULO I Definición de la Derivada Dr. Juan R. Mejías Ortiz By PresenterMedia.com
- 2. SECANTE Y TANGENTE Una secante es una línea que interseca en dos o más puntos a una curva. La pendiente de una línea secante se encuentra siguiendo la fórmula ∆𝒚 𝒚𝟐− 𝒚𝟏 𝒎 𝒔𝒆𝒄 = = ∆𝒙 𝒙𝟐− 𝒙𝟏
- 3. SECANTE Y TANGENTE La pendiente de la recta secante pasa por los puntos (a, f(a)) y (a+h, f(a+h)). Observe la gráfica a la derecha. Al aplicar la fórmula para encontrar la pendiente de la secante obtenemos: ∆𝑦 𝑦2 − 𝑦1 𝑚 𝑠𝑒𝑐 = = ∆𝑥 𝑥2 − 𝑥1 ∆𝑦 𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎) 𝑚 𝑠𝑒𝑐 = = ∆𝑥 𝑎+ℎ − 𝑎 ∆𝒚 𝒇(𝒂 + 𝒉) − 𝒇(𝒂) 𝒎 𝒔𝒆𝒄 = = ∆𝒙 𝒉
- 4. •Encuentra la pendiente de la recta secante en 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟐 + 𝟑. (𝑥 + ℎ)2 +3 − (𝑥 2 + 3) Se le suma h a 𝑚 𝑠𝑒𝑐 = toda x ℎ [(𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) + 3] − (𝑥 2 + 3) 𝑚 𝑠𝑒𝑐 = ℎ Simplificar 𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 + 3 − 𝑥 2 − 3 términos 𝑚 𝑠𝑒𝑐 = ℎ semejantes 2𝑥ℎ + ℎ2 Dividir y 𝑚 𝑠𝑒𝑐 = simplificar h ℎ 𝒎 𝒔𝒆𝒄 = 𝟐𝒙 + 𝒉
- 5. •SECANTE Y TANGENTE En la medida que la distancia de los puntos de la secante disminuyen h se va acercando a 0. Cuando esto ocurre eventualmente la recta secante pasa a convertirse en la recta tangente de la curva.
- 6. SECANTE Y TANGENTES Definición Pendiente de la Recta Tangente La pendiente 𝑚 𝑡𝑎𝑛 de la línea tangente a y = f(x) en x = a está dada por: 𝒇 𝒂 + 𝒉 − 𝒇(𝒂) 𝒎 𝒕𝒂𝒏 = 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎 𝒉 siempre que el límite exista.
- 7. La recta tangente pasa por el punto (a, f(a)) y tiene pendiente (mtan) determinada por: 𝒚 − 𝒇(𝒂) 𝒎 𝒕𝒂𝒏 = 𝒙− 𝒂 De manera que la ecuación de la recta tangente es: 𝒚 = 𝒎 𝒕𝒂𝒏 𝒙 − 𝒂 + 𝒇(𝒂)
- 8. Encuentre una ecuación de la recta tangente a 𝑦 = 3𝑥 2 − 5 en x = 2. [𝟑 𝒙 + 𝒉) 𝟐 − 𝟓 − (𝟑𝒙 𝟐 − 𝟓) Se le suma h a 𝐥𝐢𝐦 toda x 𝒉→𝟎 𝒉 [𝟑 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙𝒉 + 𝒉 𝟐 ) − 𝟓 − (𝟑𝒙 𝟐 − 𝟓) 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎 𝒉 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟔𝒙𝒉 + 𝟑𝒉 𝟐 − 𝟓 − 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟓 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎 𝒉 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟔𝒙𝒉 + 𝟑𝒉 𝟐 − 𝟓 − 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟓 Simplificar 𝐥𝐢𝐦 términos 𝒉→𝟎 𝒉 semejantes
- 9. Encuentre una ecuación de la recta tangente a 𝑦 = 3𝑥 2 − 5 en x = 2. Simplificar 𝟔𝒙𝒉 + 𝟑𝒉 𝟐 = 𝐥𝐢𝐦 términos 𝒉→𝟎 𝒉 semejantes = 𝐥𝐢𝐦 𝟔𝒙 + 𝟑𝒉 𝒉→𝟎 = 𝐥𝐢𝐦 𝟔 𝟐 + 𝟑 𝟎 = 𝟏𝟐 𝒉→𝟎 Si x = 2, 𝑓 2 = 3(2)2 −5. Así que el punto correspondiente a x = 2 es (2, 7) y la recta de la pendiente m = 12. Ya que 𝑦 = 𝑚 𝑥 − 𝑎 + 𝑓(𝑎). O sea, 𝑦 = 12 𝑥 − 2 + 7 𝒚 = 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟕
- 10. DERIVADA Definición de la Derivada La derivada de f(x) es la función es la función f’(x) dada por 𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙) 𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎 𝒉 siempre que el límite exista. Este proceso se conoce como derivación.
- 11. •Calcule la derivada 𝒇 𝒙 = 𝟒𝒙 + 𝟏. 𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙) 𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎 𝒉 [𝟒 𝒙 + 𝒉 + 𝟏 − (𝟒𝒙 + 𝟏) Se le suma h a 𝒇′ 𝒙 = lim 𝒉→𝟎 𝒉 toda x Simplificar 𝟒𝒙 + 𝟒𝒉 + 𝟏 − 𝟒𝒙 − 𝟏 términos = semejantes 𝒉 𝟒𝒉 Dividir y = 𝒉 simplificar h 𝒇′(𝒙) = 𝟒
- 12. •Calcule la derivada 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟕. 𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙) 𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎 𝒉 𝟐 𝟑 𝒙+ 𝒉 − 𝟓 𝒙 + 𝒉 + 𝟕 − (𝟑𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟕) 𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎 𝒉 𝟑(𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙𝒉 + 𝒉 𝟐 ) − 𝟓 𝒙 + 𝒉 + 𝟕 − (𝟑𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟕) 𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎 𝒉 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟔𝒙𝒉 + 𝟑𝒉 𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟓𝒉 + 𝟕 − 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟕 𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎 𝒉 𝟔𝒙𝒉 + 𝟑𝒉 𝟐 − 𝟓𝒉 𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒇′ 𝒙 = 𝟔𝒙 + 𝟑𝒉 − 𝟓 𝒉→𝟎 𝒉 𝒇′ 𝒙 = 𝟔𝒙 + 𝟑 𝟎 − 𝟓 𝒇′ 𝒙 = 𝟔𝒙 − 𝟓
- 13. 𝟐 •Calcule la derivada de 𝒇 𝒙 = . 𝒙+𝟑 𝟐 𝟐 −𝟐𝒉 − 𝒙+ 𝟑 𝒙+ 𝒉 + 𝟑 𝒉 + 𝒙 + 𝟑 (𝒙 + 𝟑) 𝒇′ 𝒙 = lim = lim 𝒉→𝟎 𝒉 𝒉→𝟎 𝒉 𝟐 𝒙 + 𝟑 − 𝟐(𝒙 + 𝒉 + 𝟑) −𝟐𝒉 𝟏 𝒙 + 𝒉 + 𝟑 (𝒙 + 𝟑) = lim × = lim 𝒉→𝟎 (𝒙 + 𝒉 + 𝟑)(𝒙 + 𝟑) 𝒉 𝒉→𝟎 𝒉 −𝟐 = lim 𝟐𝒙 + 𝟔 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝒉 − 𝟔 𝒉→𝟎 (𝒙 + 𝟎 + 𝟑)(𝒙 + 𝟑) (𝒙 + 𝒉 + 𝟑) (𝒙 + 𝟑) = lim 𝒉→𝟎 𝒉 −𝟐 𝒇′(𝒙) = (𝒙 + 𝟑) 𝟐
- 14. •Calcula la derivada de 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟓. ′ 𝒙+ 𝒉+ 𝟓− 𝒙+ 𝟓 𝒇 𝒙 = lim Racionalizar el 𝒉→𝟎 𝒉 numerador 𝒙+ 𝒉+ 𝟓− 𝒙+ 𝟓 𝒙+ 𝒉+ 𝟓+ 𝒙+ 𝟓 𝒇′ 𝒙 = lim × 𝒉→𝟎 𝒉 𝒙+ 𝒉+ 𝟓+ 𝒙+ 𝟓 (𝒙 + 𝒉 + 𝟓) − (𝒙 + 𝟓) Denominador 𝒇′ 𝒙 = lim común 𝒉→𝟎 𝒉( 𝒙 + 𝒉 + 𝟓)( 𝒙 + 𝟓) 𝒙+ 𝒉+ 𝟓− 𝒙− 𝟓 𝒇′ 𝒙 = lim 𝒉→𝟎 𝒉( 𝒙 + 𝒉 + 𝟓)( 𝒙 + 𝟓)
- 15. •Calcula la derivada de 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟓. 𝒙+ 𝒉+ 𝟓− 𝒙− 𝟓 𝒇′ 𝒙 = lim 𝒉→𝟎 𝒉( 𝒙 + 𝒉 + 𝟓)( 𝒙 + 𝟓) 𝒉 𝒇′ 𝒙 = lim 𝒉→𝟎 𝒉( 𝒙 + 𝒉 + 𝟓)( 𝒙 + 𝟓) 𝟏 𝒇′ 𝒙 = lim 𝒉→𝟎 ( 𝒙 + 𝒉 + 𝟓)( 𝒙 + 𝟓) 𝟏 𝒇′ 𝒙 = lim 𝒉→𝟎 ( 𝒙 + 𝟎 + 𝟓)( 𝒙 + 𝟓) 𝟏 𝟏 𝒇′ 𝒙 = lim = 𝒉→𝟎 ( 𝒙 + 𝟓)( 𝒙 + 𝟓) 𝟐 𝒙+ 𝟓