Derivada
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La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva de la función en ese punto. Se define como el límite de la pendiente de la secante cuando el cambio en el valor del argumento tiende a cero. Se denota como f'(x0) y representa la tasa de cambio instantánea de la función en ese punto.
Derivada
- 1. Derivada Es la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto cualquiera
- 2. t Y s X= x₀+h-x₀= h Q Y=f(x₀+h)-f(x₀) f(x₀+h) α y f(x₀) β P x x₀ x₀+h X Pend de s = tg β Pend de t = tg α ΔY f(x₀+h)-f(x₀) Pend de s = = Δx h
- 3. t Y s X= x₀+h-x₀ = h Q Y=f(x₀+h)-f(x₀) f(x₀+h) α y f(x₀) β P X x₀ x₀+h X ΔY f(x₀+h)-f(x₀) Pend de s = = Δx h
- 4. t Y s X= x₀+h-x₀ = h Y=f(x₀+h)-f(x₀) f(x₀+h) Q α y β f(x₀) P x x₀ x₀+h X ΔY f(x₀+h)-f(x₀) Pend de s = = Δx h
- 5. t Y s f(x₀+h) = f(x₀) Q= P x₀+h= x₀ X
- 6. ΔY f(x₀+h)-f(x₀) Pend de t = tg α Pend de s = = Δx h Lim pend de s = pend de t h→o Entonces f(x₀+h)-f(x₀) pend de t = lim h h→o Con la condición de que exista este limite, llamamos derivada de f en x₀ o f`(x₀) a la pendiente de la recta tangente a f(x) en el punto de abscisa x₀ f(x₀+h)-f(x₀) f`(x₀) = lim h h→o
- 7. Cálculos auxiliares Ej: f(x)= -x²+4 en el x₀=1 f(1+h) = -(1+h) ² + 4 = f(x₀+h)-f(x₀) = -(1² + 2.1.h + h²) +4 = f`(x₀) = lim h = -1 -2h - h² + 4 = h→o f(1+h)-f(1) = -h² -2h +3 f`(1) = lim = h h→o f(1) = 3 -h² -2h +3 -3 = lim = h h→o -h² -2h = lim = h h→o h(-h -2) = lim = -2 h h→o
- 8. Cálculos auxiliares Ej: f(x)= 3x²+2 en el x₀=2 f(2+h) = 3(2+h) ² + 2 = f(x₀+h)-f(x₀) = 3(2² + 2.2.h + h²) +2 = f`(x₀) = lim h = 12+12h +3h² + 2 = h→o f(2+h)-f(2) = 3h²+12h +14 f`(2) = lim = h h→o f(2) =14 3h²+12h +14-14 = lim = h h→o 3h² +12h = lim = h h→o 3 h (h +4) = lim = 12 h h→o
- 9. Cálculos auxiliares Ej: f(x)= -x²+4 en el x₀=x f(x+h) = -(x+h) ² + 4 = f(x+h)-f(x) = -(x² + 2.x.h + h²) +4 = f`(x) = lim h = -x² -2xh - h² + 4 h→o -x² -2xh - h² + 4- (-x²+4) = lim = h h→o -x² -2xh - h² + 4 + x²- 4) = lim = h h→o -h² -2xh = lim = h h→o h(-h -2x) = lim = -2x h h→o