Clase12 (1)
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El documento presenta dos conjeturas sobre teoría de grafos: la conjetura de Ringel sobre la descomposición de Kn en árboles y la conjetura del árbol gracioso sobre la existencia de coloraciones graciosas en árboles. Luego, se muestra que la segunda conjetura implica a la primera. También se define el concepto de familias graciosas de árboles y se presentan algoritmos como Kruskal y Dijkstra para hallar árboles de cobertura mínimos y rutas más cortas en grafos con pesos.
![El algoritmo de Dijkstra
Entrada: Un grafo (o digrafo) G con pesos no negativos, y un
v´ertice de partida u. El peso de una arista xy es w(xy); si xy no es
una arista diremos que w(xy) = ∞.
Idea: Mantener un conjunto S de v´ertices a los que conocemos la
distancia m´as corta desde u, junto con el predecesor de cada v´ertice
de S en dicha ruta. Para lograr esto, mantenemos una distancia
tentativa t(z) desde u a cada z ∈ V (G). Si z /∈ S, t(z) es la
distancia m´as corta encontrada hasta ahora entre u y z. Si z ∈ S,
t(z) es la distancia m´as corta entre u y z. En cualquier caso,
pred[z] es el predecesor de z la ruta u − z en cuesti´on.
Inicializaci´on: S = {u} , t(u) = 0, t(z) = w(uz) y pred[z] = u para
z = u.
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![El algoritmo de Dijkstra (cont.)
Iteraci´on: Sea v ∈ V (G) − S tal que
t(z) = min {t(v) : v ∈ V (G) − S}.
Agr´eguese v a S.
Para z ∈ V (G) − S, actual´ıcese t(z) a min {t(z), t(v) + w(vz)}.
Si cambia t(z), c´ambiese pred[z] a v.
Terminaci´on: Term´ınese el algoritmo cuando S = V (G) o cuando
t(z) = ∞ para todo z ∈ V (G) − S.
Al terminar, la distancia m´as corta entre u y v est´a dada por
d(u, v) = t(v).
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Clase12 (1)
- 1. MLM 2070 - Teor´ıa de Grafos Luis A. Dissett Clase 12 1
- 2. Dos conjeturas Conjetura (Ringel, 1964). Si T es un ´arbol dado con m aristas, entonces K2m+1 se descompone en 2m + 1 copias de T. Definici´on. Sea G un grafo con m aristas. Una coloraci´on graciosa (o un etiquetado gracioso) de G es una funci´on inyectiva f : V (G) → {0, . . . , m} tal que {|f(u) − f(v)|} = {1, . . . , m} . Un grafo se dice gracioso si tiene una coloraci´on graciosa. Conjetura (del ´arbol gracioso—Kotzil y Ringel, 1964). Todo ´arbol es gracioso. 2
- 3. Relaci´on entre las dos conjeturas La conjetura del ´arbol gracioso implica la conjetura de Ringel. De hecho, tenemos: Teorema (Rosa, 1967). Si T es un ´arbol con m aristas que tiene una coloraci´on graciosa, entonces K2m+1 se descompone en 2m + 1 copias de T. Demostraci´on. Numeremos los v´ertices de T de acuerdo a la coloraci´on graciosa. As´ı, V (T) = {0, . . . , m}, y no hay dos aristas con la misma diferencia entre extremos. Consideramos el conjunto de v´ertices V (K2m+1) como Z2m+1, y definimos ´arboles Tk (0 ≤ k ≤ 2m) de modo que: • V (Tk) = {k, . . . , k + m} (mod2m + 1), y • k + i ↔ k + j en Tk si y s´olo si i ↔ j en T. 3
- 4. Familias graciosas de ´arboles Definici´on. Una oruga es un ´arbol en que existe un camino incidente a todas las aristas (equivalentemente, un camino que est´a a distancia < 2 de todos los v´ertices). Teorema. Un ´arbol es una oruga si y s´olo si no contienen al siguiente ´arbol Y . Proposici´on. Toda oruga es graciosa. Corolario. Toda estrella y todo camino son graciosos. 4
- 5. Grafos con peso Definici´on. Un grafo con peso (o grafo con costo) es un grafo G m´as una funci´on de peso o costo f : E(G) → R. En general, salvo menci´on expresa en contrario, consideramos s´olo grafos con pesos no negativos en las aristas. Definici´on. Sea G un grafo con peso, y sea H un subgrafo de G. El costo total o peso total de H es w(H) = e∈H w(e). 5
- 6. ´Arboles de cobertura m´ınimos En particular, estamos interesados en el caso en que H = T es un ´arbol de cobertura de G. Ya que G es finito, la funci´on w(T) alcanza su m´ınimo en alg´un ´arbol T. Nos interesa hallar alg´un ´arbol T que minimice el costo total; dicho grafo no tiene por qu´e ser ´unico. 6
- 7. El algoritmo de Kruskal Entrada: Un grafo G con costos, conexo. Idea: Mantener un subgrafo ac´ıclico cobertor H, de modo que en cada paso exista al menos un ´arbol de cobertura de costo m´ınimo T tal que H sea subgrafo de T. C´onsiderense las aristas de G ordenadas por costo en forma no decreciente, los empates se rompen arbitrariamente. Inicializaci´on: E(H) = ∅. Iteraci´on: Si la siguiente arista e de G (en el orden dado) une dos componentes de H entonces agregamos e a E(H). Si no, la ignoramos. Terminaci´on: Term´ınese el algoritmo cuando H sea conexo o cuando se acaben las aristas de G. 7
- 8. Correcci´on del algoritmo de Kruskal Teorema (Kruskal, 1956). Si G es un grafo conexo con costos, entonces el algoritmo de Kruskal termina con H un ´arbol de cobertura de costo m´ınimo. Demostraci´on. Claramente, el algoritmo termina. Probemos ahora que el grafo H que resulta del algoritmo es conexo. Si no lo es, sea e una arista de G que una dos componentes de H. Dicha arista debe haber sido considerada en alg´un momento; si fue rechazada es porque no un´ıa dos componentes de H en ese momento. Pero esto es imposible (el n´umero de componentes no crece en cada iteraci´on). An´alogamente, podemos probar que H es ac´ıclico (nunca se elige una arista que cree un ciclo) y que cubre G (y por lo tanto es un ´arbol de cobertura). 8
- 9. Optimalidad del ´arbol generado Sea ahora T el ´arbol de cobertura de G producido por el algoritmo de Kruskal. Probaremos que su costo es el m´ınimo posible. Supongamos que no, y sea T cualquier ´arbol de cobertura de G de costo m´ınimo. Si T = T , no hay nada que probar. Si no, sea e la primera arista de T elegida por el algoritmo tal que e /∈ E(T ). Ya que e /∈ E(T ), T + e contiene un ciclo C, y (por un teorema anterior), existe e ∈ E(T ) − E(T) tal que T + e − e es un ´arbol de cobertura. Si w(e ) < w(e), al momento de escoger e el algoritmo ya habr´ıa considerado e . Como T contiene e y todas las aristas escogidas antes de e, e no habr´ıa producido un ciclo, y por lo tanto habr´ıa sido escogida por el algoritmo. Por lo tanto, w(e ) ≥ w(e). 9
- 10. Optimalidad del ´arbol generado (cont.) As´ı, el costo de T + e − e es a lo m´as igual al de T (y por lo tanto ´optimo), y tiene m´as aristas en com´un con T que T . Aplicando reiteradamente este procedimiento, podemos terminar hallando un ´arbol de cobertura ´optimo T∗ que tenga todas las aristas en co om´un con T, o sea, T∗ = T. O sea, T es ´optimo. 10
- 11. Complejidad del algoritmo de Kruskal El algoritmo requiere que las |E| aristas est´en ordenadas previamente. Esto toma O(|E| log(|E|) operaciones. El proceso de examinar las |E| aristas toma a lo m´as O(|E|) iteraciones; de ellas, n − 1 requieren actualizar la lista de componentes a las que pertenecen los n v´ertices. Esto puede ser hecho en un total de O(n log2 n) operaciones, o incluso en forma m´as astuta en O(nα(n)), donde α(n) ≤ min i : log2(log2(. . . (log2(n)) . . . )) i veces = 1. 11
- 12. Rutas m´as cortas Definici´on. En un grafo con pesos, la distancia entre dos v´ertices es d(u, v) = min {w(P) : P es un camino que une u y v} . Note que en particular, esto coincide con la definici´on usual de distancia, si consideramos la funci´on de peso w donde w(e) = 1 para todo e ∈ E(G). Nos interesa hallar la distancia m´as corta entre dos v´ertices dados u y v, o bien hallar todas las distancias m´as cortas entre un v´ertice dado u y todos los otros v´ertices de G. En general, no es mucho m´as eficiente hallar la ruta m´as corta entre u y v que hallar todas las rutas m´as cortas entre u y los otros v´ertices. Para esto usamos el algoritmo de Dijkstra. 12
- 13. El algoritmo de Dijkstra Entrada: Un grafo (o digrafo) G con pesos no negativos, y un v´ertice de partida u. El peso de una arista xy es w(xy); si xy no es una arista diremos que w(xy) = ∞. Idea: Mantener un conjunto S de v´ertices a los que conocemos la distancia m´as corta desde u, junto con el predecesor de cada v´ertice de S en dicha ruta. Para lograr esto, mantenemos una distancia tentativa t(z) desde u a cada z ∈ V (G). Si z /∈ S, t(z) es la distancia m´as corta encontrada hasta ahora entre u y z. Si z ∈ S, t(z) es la distancia m´as corta entre u y z. En cualquier caso, pred[z] es el predecesor de z la ruta u − z en cuesti´on. Inicializaci´on: S = {u} , t(u) = 0, t(z) = w(uz) y pred[z] = u para z = u. 13
- 14. El algoritmo de Dijkstra (cont.) Iteraci´on: Sea v ∈ V (G) − S tal que t(z) = min {t(v) : v ∈ V (G) − S}. Agr´eguese v a S. Para z ∈ V (G) − S, actual´ıcese t(z) a min {t(z), t(v) + w(vz)}. Si cambia t(z), c´ambiese pred[z] a v. Terminaci´on: Term´ınese el algoritmo cuando S = V (G) o cuando t(z) = ∞ para todo z ∈ V (G) − S. Al terminar, la distancia m´as corta entre u y v est´a dada por d(u, v) = t(v). 14