Grafos 2

GRAFOS: ALGORITMOS FUNDAMENTALES ESTRUCTURAS DE DATOS www.espol.edu.ec www.fiec.espol.edu.ec

MATRIZ DE CAMINOS Es una matriz cuadrada P, Que representa si hay o no camino Entre dos vértices Vi y Vj

CIERRE TRANSITIVO Es el grafo resultante de la matriz de caminos Si un grafo es fuertemente conexo Su cierre transitivo es un grafo completo

UN POSIBLE ALGORITMO Entre Vi y Vj puede haber camino Directo, cuando A[i][j] == 1, camino de long. 1 O pasando por otros vértices Si solo analizamos pasar por un Vk extra Cuando A[i][k] == 1 && A[k][j] == 1, Long. 2 Si Vk puede ser V1 o V2 o … Vn, realmente (A[i][1] && A[1][j]) || (A[i][2] && A[2][j]) || (A[i][n] && A[3][n]) Que representa A * A, A 2 Nos indica solo si hay un camino de long. 2 entre Vi y Vj La matriz de caminos indicara si hay camino ya sea De long. 1 o de long. 2 o de long. 3 o de long. N, es decir: B = A + A 2 + A 3 + A 4 +…. A n

WARSHALL: MAS EFICIENTE El anterior algoritmo Es poco eficiente, peor Cuando el grafo tiene muchos vértices Warshall propuso otro algoritmo Mas eficiente Calcular una secuencia de matrices cuadradas De 0s(no hay camino) y 1s(hay camino) P0, P1, P2, P3… PN La diferencia entre Pk y Pk-1 Se basa añadir un vértice Vk-1 al análisis Para saber y a través de Vk-1 hay camino entre V1 y Vj

COMO FUNCIONA Existe una matriz inicial P0 Indica si hay o no camino DIRECTO de Vi a Vj La matriz que le sigue P1 Indicaría si hay o no camino DIRECTO (Esto ya lo sabe P0 ) O pasando por V0 (añade este vértice al análisis) P2 Indicaría si hay camino DIRECTO o pasando por V0 (Esto ya lo sabe P1 ) O pasando por V1 P3 Indicaría si hay camino DIRECTO o pasando por V0 , o V1 (Lo sabe P2 ) O pasando por V2 Pk Indicaría lo que ya sabe Pk-1 O pasando por Vk-1

EL ALGORITMO ENTONCES Debemos encontrar Pn Sabiendo que Pk[i][j] es 1 si Pk-1[i][j] es 1 o Pk-1[i][k] && Pk-1[k][j] En otras palabras:

WARSHALL IMPLEMENTADO MatrizAdy Warshall(Grafo G){ int i, j, k; MatrizAdy P; CopiarMatrices(P, G.A); for(k = 0; k < G.nvertices; k++){ for(i = 0; i < G.nvertices; i++){ for(j = 0; j < G.nvertices; i++){ P[i][j]= P[i][j] || (P[i][k] && P[k][j]); } } }return P; }

CAMINOS MAS CORTOS Frecuentemente, se desea conocer en una red Cual es el camino mas corto Entre un par de vértices En este caso Si importa cuantos caminos existen Si ya conozco un camino, pero encuentro uno mejor, sustituir Se aplica el algoritmo de Dijkstra Es un algoritmo ávido, ya que Resuelve el problema en sucesivos pasos En cada paso Selecciona la solución mas optima

DIJKSTRA Dado un V0, Dijkstra busca un conjunto D con Las menores distancias de V0 al resto de vértices Al inicio, solo conocemos Las distancias de los adyacentes D es inicializada a Factor de peso para los adyacentes, Infinito para los no adyacentes D va ser mejorado sucesivamente Escogiendo el vértice Vk no elegido antes Que tenga la distancia mas corta V0, Vk Probamos si pasando por Vk Se puede obtener distancias mas cortas de las que tenemos Para cada Vértice restante del grafo

EJEMPLO DE DIJKSTRA V2 V5 V1 V3 V4 V6 3 8 5 3 4 7 3 2 Escogidos Vértice Evaluado D[0] D[1] D[2] D[3] D[4] D[5] V1 V2 V3 V4 V5 V6 De V1 AL RESTO V1 0 3 4 ∞ 8 ∞ V1 1. D[] se inicializa con F.P. de adyacentes al origen 2. Escoger vértice Vk que no haya sido escogido, con la menor distancia del Vevaluado a Vk V2 3. Revisar si alguna distancia puede ser mejorada pasando por Vk Pasando por V2, Distancia de V1 a V5 seria 8, no hay mejora 0 3 4 ∞ 8 ∞ V1,V2 Repetir hasta k se hayan visitado todos los vértices V3 0 3 4 ∞ 7 ∞ V1,V2,V3 V5 0 3 4 14 7 10 V1,V2,V3,V5 V6 0 3 4 12 7 10 V1,V2,V3,V5,V6 Pasando por V3, Distancia de V1 a V5 seria 7, CAMBIAR

DIKSTRA 1. Se crea una lista de VDiks con todos los vértices del grafo, y cada VDiks creado también se encola 2. Se saca de la cola el menor VDiks por distancia(vmenor) 3. Por cada VDiks v de la lista, se revisa Si su vértice es adyacente al vértice de vmenor y si pasando por vmenor se puede conseguir una mejor distancia Si es así, se modifica v con los nuevos datos 4. Se repite todo desde el paso 2 hasta que no haya nada mas en la cola

CAMINOS MAS CORTOS ENTRE TODOS LOS PARES DE VERTICES Es una generalización de lo anterior Si se puede obtener la menor distancia De un V0 al resto También se puede obtener La menor distancia de todos los vértices Al resto Se podría aplicar Dijkstra A cada vértice Y obtener n vectores D, o , una matriz F Pero se puede aplicar otro algoritmo

FLOYD Este algoritmo se basa en Warshall Se calculaba una secuencia de matrices Pk Cada Pk evaluaba dos opciones Que Pk-1 indicara camino entre Vi y Vj o Que Pk-1 indicara camino entre Vi y Vj Pasando por Vk Floyd tambien calcula Fk, pero Cada Fk escogera la menor distancia entre Distancia entre Vi y Vj, indicado por Fk-1 o Distancia entre Vi y Vj pasando por Vk, indicado por Fk-1

ARBOL DE EXPANSION DE COSTE MINIMO Dado un grafo G No dirigido Valorado, con pesos no negativos El árbol de expansión mínima Es un grafo parcial conexo a partir de G Tal que la suma de sus aristas sea mínima Ejemplo de aplicación Redes de comunicaciones, de costo mínimo

ALGORITMO DE PRIM Dado el grafo, se debe seleccionar Un vértice de inicio v Dicho vértice v se añade a un conjunto W Escoger el vértice u que no pertenezca a W Adyacente a cualquiera de los vértices de W Y que tenga un costo mínimo Añadir el vértice u al conjunto W Repetir proceso hasta que V == W

EJEMPLO 1 2 3 4 5 6 7 1 4 6 3 4 5 2 6 8 7 3 4 Desde 1 W = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 6

PRIM 1. Se crea un grafo nuevo con los mismos vértices del grafo original 2. vorigen se marca como visitado 3. Los arcos de vorigen, cuyos vértices destino no han sido visitados, se encolan por peso 4. Se desencola el menor en peso de los arcos no visitados(amenor) y su vértice destino se marca como visitado 5. En el nuevo grafo, se lanza el arco correspondiente a amenor(de ida y vuelta) 6. Se repite todo desde el punto 3 pero para un vorigen igual al vértice del arco sacado(amenor) hasta que el numero de vértices marcados como visitados sea igual al numero de vértices del grafo

ALGORITMO DE KRUSKAL Kruskal se basa en el concepto de Componentes conexas Sabemos que en el árbol de expansión Deben aparecer todos los vértices de G Lo que no sabemos aun Es que arcos escoger para unirlos Lo que a Kruskal le interesara elegir Son los arcos, no los vértices, como en Prim

COMO FUNCIONA Primero añadir todos los vértices al árbol A Estos forman n componentes conexas Luego elegir el arco de costo mínimo Que no haya sido elegido anteriormente y que No una dos vértices de una misma componente Este proceso se repite hasta que Se hayan unido todos los vértices Es decir, n-1 veces

EJEMPLO 1 2 3 4 5 6 7 1 4 6 3 4 5 2 6 8 7 3 4 Desde 1 1 2 3 4 5 6 7

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