Deber%2 B7
0 recomendaciones218 vistas
Este documento presenta varios problemas relacionados con transformaciones lineales entre espacios vectoriales. El Problema 1 explora propiedades de rotaciones en R2. El Problema 2 determina si una función específica es una transformación lineal y calcula sus espacios núcleo y rango. El Problema 3 pide construir transformaciones lineales con características dadas. Finalmente, el Problema 4 evalúa afirmaciones sobre transformaciones lineales y sus espacios núcleo y rango.
Deber%2 B7
- 1. Deber 7 ´ Algebra Lineal Prof. Dr. Joseph P´ez Ch´vez a a II T´rmino 2009–2010 e Problema 1. Considere la transformaci´n de rotaci´n Tα : o o R2 → R2, Tα x y = x Aα vista en clase. y (i) Demuestre que Aα1 +α2 = Aα1 Aα2 . Interprete este hecho geom´tricamente. e (ii) Encuentre el valor del ´ngulo α para que: a (a) Tα sea una reflexi´n al origen. o (b) Tα sea la transformaci´n identidad. o Problema 2. Sea la funci´n T : P2 → M2×2 , definida por: o p(1) p(−1) T (p(x)) = . p (1) p (−1) (i) Determine si T es una tranformaci´n lineal. o (ii) Si T es una tranformaci´n lineal, encuentre rec(T ), nu(T ), ν(T ), ρ(T ). Verifique si se o cumple el teorema de la dimensi´n. o Problema 3. Construya transformaciones lineales T : V → W , con las caracter´ ısticas que se indican: (i) V = W = P3 , nu(T ) = {p(x) ∈ P3 : p(1) = p (1) = 0}, 4x2 + 1 ∈ rec(T ). x R R (ii) V = 3 , W = P2 , nu(T ) = y ∈ 3 : 2x − y + z = 0 , rec(T ) = {p(x) ∈ P2 : z 2p(1) = p (−1) = p(0)}. 1
- 2. Problema 4. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: (i) Sea A ∈ Mm×n y T : Rn → Rm, tal que T (x) = Ax. Entonces, rec(T ) = rec(A) y nu(T ) = nu(A). (ii) Sean V , W espacios vectoriales y T : V → W una transformaci´n lineal. Sea {v1 , v2 , o . . . , vn } un conjunto linealmente independiente en V . Entonces, {T (v1 ), T (v2 ), . . . , T (vn )} es un conjunto linealmente independiente en W . (iii) Sean V , W espacios vectoriales y T : V → W una transformaci´n lineal. Sea o S = {v1 , v2 , . . . , vn } un subconjunto de V . Si {T (v1 ), T (v2 ), . . . , T (vn )} es linealmente independiente en W , entonces S es un conjunto linealmente independiente en V . (iv) Sean V , W espacios vectoriales y T : V → W una transformaci´n lineal. Sea o S = {v1 , v2 , . . . , vn } un subconjunto de V . Si {T (v1 ), T (v2 ), . . . , T (vn )} es linealmente dependiente en W , entonces S es un conjunto linealmente dependiente en V . (v) Sean V , W espacios vectoriales y T : V → W una transformaci´n lineal. Sea c ∈ , o R c = 0, y considere la transformaci´n F : V → W , tal que F = cT . Entonces, o rec(T ) = rec(F ) y nu(T ) = nu(F ). 2