Deber%2 B4
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Este documento presenta 4 problemas de álgebra lineal. El Problema 1 pide encontrar bases y dimensiones de subespacios. El Problema 2 determina si conjuntos de vectores constituyen bases de R3. El Problema 3 construye bases de P3 que contengan vectores dados. Finalmente, el Problema 4 explora la relación entre la dimensión de la suma y la intersección de subespacios y define la suma directa de subespacios.
![Deber 4
´
Algebra Lineal
Prof. Dr. Joseph P´ez Ch´vez
a a
II T´rmino 2009–2010
e
Problema 1. Encuentre una base y la dimensi´n de los siguientes subespacios de V:
o
(i) V = P3 , W = {p(t) ∈ P3 : p(1) = 2 dp(t) |t=2 }, H = {(a2 − 3a0 )t3 + (a2 + a1 )t + a0 : ai ∈
R
dt
}, H ∩ W , H + W .
1 0 2 0
(ii) V = M2×2 , W = gen , , H = S2×2 , H + W , H ∩ W .
0 2 0 4
(iii) V = C[0, 1], H = gen(sin2 (x), cos2 (x), cos(2x), 2).
Problema 2. Determine cu´les de los siguientes conjuntos de vectores constituyen una base
a
deR 3
:
1 3 1
(i) 2 , 9 , 1 .
1 0 4
1 0 1 0
(ii) 2 , 1 , 1 , 0 .
1 0 1 0
1 3
(iii) −2 , 3 .
1 4
1 0 2
(iv) 1 , 9 , 2 .
0 0 0
2 0 −4 0
(v) −1 , 1 , 1 , 9 .
−1 0 1 0
1](https://image.slidesharecdn.com/deber2b4-091120001520-phpapp02/85/Deber-2-B4-1-320.jpg)
Deber%2 B4
- 1. Deber 4 ´ Algebra Lineal Prof. Dr. Joseph P´ez Ch´vez a a II T´rmino 2009–2010 e Problema 1. Encuentre una base y la dimensi´n de los siguientes subespacios de V: o (i) V = P3 , W = {p(t) ∈ P3 : p(1) = 2 dp(t) |t=2 }, H = {(a2 − 3a0 )t3 + (a2 + a1 )t + a0 : ai ∈ R dt }, H ∩ W , H + W . 1 0 2 0 (ii) V = M2×2 , W = gen , , H = S2×2 , H + W , H ∩ W . 0 2 0 4 (iii) V = C[0, 1], H = gen(sin2 (x), cos2 (x), cos(2x), 2). Problema 2. Determine cu´les de los siguientes conjuntos de vectores constituyen una base a deR 3 : 1 3 1 (i) 2 , 9 , 1 . 1 0 4 1 0 1 0 (ii) 2 , 1 , 1 , 0 . 1 0 1 0 1 3 (iii) −2 , 3 . 1 4 1 0 2 (iv) 1 , 9 , 2 . 0 0 0 2 0 −4 0 (v) −1 , 1 , 1 , 9 . −1 0 1 0 1
- 2. Problema 3. Construya, de ser posible, una base de P3 que contenga a los vectores: (i) {t2 − t, t + 2, 2t2 − t + 2}. (ii) {2t, 1 − t}. (iii) {t2 + 1, t2 − 1, t3 }. Problema 4. Sea V un espacio vectorial de dimensi´n n. Sean W , H subespacios de V . o (i) Demuestre que dim(W + H) = dim(W ) + dim(H) − dim(W ∩ H). Verifique si esto se cumple en los literales (i) y (ii) del Problema 1. (ii) Investigue la definici´n de suma directa de W y H, representada por W ⊕ H. Qu´ o e condici´n garantiza la suma directa de los subespacios W y H? En caso de que la o suma de W y H sea directa, a qu´ es igual dim(W ⊕ H)? e 2