![ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
ALGEBRA LINEAL ING. ROBERTO CASCANTE
DEBER #4 (GRUPAL)
OPERACIONES ENTRE SUBESPACIOS
1.- Defina:
1.1- El Conjunto suma de Subespacios vectoriales
1.2.- El Conjunto intersección de Subespacios vectoriales
1.3.- El Conjunto unión de Subespacios vectoriales
1.4.- Coordenadas de un vector con respecto a una base ordenada.
1.5- Matriz de transición.
2.- Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas y justifique
apropiadamente su respuesta.
2.1.- Si H∩W es un subespacio del espacio vectorial V, entonces H y W son subespacios de V.
2.2.- Si H y W son Subespacios vectoriales de V y H⊆W, entonces HUW es un subespacio de V.
2.3.- Sea S un subespacio de V de dimensión 3. Sean v1, v2, v3 tres vectores distintos de S. Si x
un vector perteneciente a V-S y W=L{x, v1, v3}, entonces dimW=3.
2.4.- Sean H y W dos subespacios del espacio vectorial V, entonces H+W⊆HUW.
2.5.- Sean H y W dos subespacios del espacio vectorial V, entonces HUW ⊆H+W.
2.6.- Sea V un espacio vectorial de dimensión 3 y sean H=gen{u,v} y W=gen{w}, entonces
H+W generan V
2.7.- Si B1={v1, v2} es una base del subespacio vectorial H y B 2={v2, v3, v4} es una base del
subespacio W, entonces una base de la intersección de H y W es {v2}.
2.8.- Sean β1 y β2 bases para un espacio vectorial V, Aβ1→β2 la matriz de cambio de base de
β1 a β2 , entonces se cumple que: ∀v∈V { [v]β2= Aβ1→β2 [v]β1 }
2.9.- Sean β1 y β2 bases de un espacio vectorial V, Aβ1→β2 la matriz de transición de β1 a β2 y
Aβ2→β1 la matriz de transición de β2 a β1, entonces se cumple que: Aβ2→β1 = (Aβ1→β2)-1.
2.10.- Sea x un vector de un espacio vectorial V, β1 y β2 bases de V. Si [x]β1= [x]β2 entonces
β1 =β2
3.- Sea V=M2x2,
3 3 1 1 1 1 − 1 − 1 α α 2
H = L 1 − 2 , 1 0 , 0 − 1, 1
2 α α / 3α1 − 3α 2 + α 3 = −α1 + α 2 + 2α 3 = 0
y W = 1
3 4
dos subespacios de V, determine:
a.-) Una base B1 de H∩W
b.-) Una base B2 de H+W que contenga a B1
c.-) Una base B3 de V que contenga una base de H∩W y una base de H+W
d.-) Un vector u∈H-W y un vector v∈(H∪W)c
e.-) Si la suma H+W es directa. Justifique su respuesta.
4.- Sea V=M2x2, W=gen{I}, donde I es la matriz identidad de V
a b 0 2 4 2
H =
c d / a − 2d + c = 0 y
S = gen
2 1 , 0 2
1](https://image.slidesharecdn.com/deber4-091126222734-phpapp02/85/Deber4-1-320.jpg)
![a.-) Determine si HUS es un subespacio de V
b.-) Determine una base de H+W
c.-) Determine el subespacio S+W
d.-) Determine una base y la dimensión de H∩S
1 − 1 1 0 2 0 0 0
5.- Sea V=M2x2 , H={A∈V / ai1=iai2 }, W = L
,
,
,
y
0 1 − 1 1 − 1 1 1 − 1
U={A∈V/ aij≠0 cuando i≠j}.
a.- Determine si U es un subespacio de V.
b.- Determine una base para la intersección de los subespacios H y W.
c.- Determine una base para la suma de los subespacios H y W.
6.- Considere el espacio vectorial V={(x,y)/x∈R+, y∈R} donde se ha definido la suma en V y la
multiplicación por escalar de la siguiente manera:
( x1, y1 ) ⊕ ( x 2, y 2 ) = ( x1x 2, y1 + y 2 )
α • ( x, y ) = ( x α , αy )
Determine, de ser posible, las coordenadas de (8,-3) con respecto a {(2,0),(1,1)}
7.- Sea V=gen{1, Cosx, Cos2x} y sea B1={2-Cosx, 1+Cosx, Cos2x} una base de V.
a.- Si B2={1, Cosx, Cos2x} es otra base de V, determine la matriz de cambio de base de B 2 en
B1.
b.- Determine, de ser posible, las coordenadas de f(x)=Sen2x+1 con respecto a la base B2.
8.- Sean B1={p(x), q(x), r(x)} y B2={s(x), t(x), u(x)} dos bases del espacio vectorial P2 y sean
1 0 1
[ ] [ ]
x 2 − x B1 = 1 , [ x + 1] B1 = 1 , 2 x 2 + 1 B1 = − 1
0 0 1
[s(x)+t(x)]B1=(3,1,1) , [t(x)+u(x)]B1=(5,2,0) , [u(x)]B1=(3,0,0)
Determine:
a.-) Los vectores de cada Base
b.-) Las coordenadas de –x2+3x+2 con respecto a la base 2
9.- Considere el espacio funcional V=gen{Senx, Cosx, ex} con las siguientes bases B1={u1,u2,u3},
B2={Senx+Cosx, ex-Senx, Senx} y B3={v1,v2,v3}, dado que: u1=v1+v2, u2=v1+v3, u3=v1-v2 y la
1 0 1
matriz cambio de base de B3 a B2: CB 3→ B 2 = 1 − 1 2
1 − 1 1
Determine:
a.-) La matriz cambio de base de B3 a B1
b.-) La matriz cambio de base de B1 a B2
c.-) Los vectores de la base B1 y los vectores de la base B3
d.-) [w1+2w2-u3+v2-Cosx]B3 si se conoce que [w1-w2]B1=(1,0,-1) y [2w1+w2]B3=(9,4,-3)
10.- Sea V=S2x2 y B una base de V tal que:
2](https://image.slidesharecdn.com/deber4-091126222734-phpapp02/85/Deber4-2-320.jpg)
![ 1 0 0
1 2 1 1 1 0
2 0 = 1 , 1 0 = 1 , 0 1 = 0
B 0 B 2 B 1
Determine:
a.-) Los vectores de la base B.
b.-) Una base B2 de V que contenga a B.
c.-) La matriz de cambio de base desde B2 hacia la base canónica de V.
11.- Sean B1={v1, v2, v3} y B2={u1, u2, u3} dos bases del espacio V=gen{Senx, Cosx, x} y dado que:
u1=v1+v2, u2=v2+v3 y u3=v3+v1, determine:
a.-) La matriz de cambio de base de B1 en B2.
b.-) Si [2x]B2=(1,1,1), [x-Senx]B2=(1,0,0) , [Senx+Cosx]B2=(1,0,1) determine los vectores de la
base B1.
3](https://image.slidesharecdn.com/deber4-091126222734-phpapp02/85/Deber4-3-320.jpg)
Deber4
- 1. ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL ALGEBRA LINEAL ING. ROBERTO CASCANTE DEBER #4 (GRUPAL) OPERACIONES ENTRE SUBESPACIOS 1.- Defina: 1.1- El Conjunto suma de Subespacios vectoriales 1.2.- El Conjunto intersección de Subespacios vectoriales 1.3.- El Conjunto unión de Subespacios vectoriales 1.4.- Coordenadas de un vector con respecto a una base ordenada. 1.5- Matriz de transición. 2.- Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas y justifique apropiadamente su respuesta. 2.1.- Si H∩W es un subespacio del espacio vectorial V, entonces H y W son subespacios de V. 2.2.- Si H y W son Subespacios vectoriales de V y H⊆W, entonces HUW es un subespacio de V. 2.3.- Sea S un subespacio de V de dimensión 3. Sean v1, v2, v3 tres vectores distintos de S. Si x un vector perteneciente a V-S y W=L{x, v1, v3}, entonces dimW=3. 2.4.- Sean H y W dos subespacios del espacio vectorial V, entonces H+W⊆HUW. 2.5.- Sean H y W dos subespacios del espacio vectorial V, entonces HUW ⊆H+W. 2.6.- Sea V un espacio vectorial de dimensión 3 y sean H=gen{u,v} y W=gen{w}, entonces H+W generan V 2.7.- Si B1={v1, v2} es una base del subespacio vectorial H y B 2={v2, v3, v4} es una base del subespacio W, entonces una base de la intersección de H y W es {v2}. 2.8.- Sean β1 y β2 bases para un espacio vectorial V, Aβ1→β2 la matriz de cambio de base de β1 a β2 , entonces se cumple que: ∀v∈V { [v]β2= Aβ1→β2 [v]β1 } 2.9.- Sean β1 y β2 bases de un espacio vectorial V, Aβ1→β2 la matriz de transición de β1 a β2 y Aβ2→β1 la matriz de transición de β2 a β1, entonces se cumple que: Aβ2→β1 = (Aβ1→β2)-1. 2.10.- Sea x un vector de un espacio vectorial V, β1 y β2 bases de V. Si [x]β1= [x]β2 entonces β1 =β2 3.- Sea V=M2x2, 3 3 1 1 1 1 − 1 − 1 α α 2 H = L 1 − 2 , 1 0 , 0 − 1, 1 2 α α / 3α1 − 3α 2 + α 3 = −α1 + α 2 + 2α 3 = 0 y W = 1 3 4 dos subespacios de V, determine: a.-) Una base B1 de H∩W b.-) Una base B2 de H+W que contenga a B1 c.-) Una base B3 de V que contenga una base de H∩W y una base de H+W d.-) Un vector u∈H-W y un vector v∈(H∪W)c e.-) Si la suma H+W es directa. Justifique su respuesta. 4.- Sea V=M2x2, W=gen{I}, donde I es la matriz identidad de V a b 0 2 4 2 H = c d / a − 2d + c = 0 y S = gen 2 1 , 0 2 1
- 2. a.-) Determine si HUS es un subespacio de V b.-) Determine una base de H+W c.-) Determine el subespacio S+W d.-) Determine una base y la dimensión de H∩S 1 − 1 1 0 2 0 0 0 5.- Sea V=M2x2 , H={A∈V / ai1=iai2 }, W = L , , , y 0 1 − 1 1 − 1 1 1 − 1 U={A∈V/ aij≠0 cuando i≠j}. a.- Determine si U es un subespacio de V. b.- Determine una base para la intersección de los subespacios H y W. c.- Determine una base para la suma de los subespacios H y W. 6.- Considere el espacio vectorial V={(x,y)/x∈R+, y∈R} donde se ha definido la suma en V y la multiplicación por escalar de la siguiente manera: ( x1, y1 ) ⊕ ( x 2, y 2 ) = ( x1x 2, y1 + y 2 ) α • ( x, y ) = ( x α , αy ) Determine, de ser posible, las coordenadas de (8,-3) con respecto a {(2,0),(1,1)} 7.- Sea V=gen{1, Cosx, Cos2x} y sea B1={2-Cosx, 1+Cosx, Cos2x} una base de V. a.- Si B2={1, Cosx, Cos2x} es otra base de V, determine la matriz de cambio de base de B 2 en B1. b.- Determine, de ser posible, las coordenadas de f(x)=Sen2x+1 con respecto a la base B2. 8.- Sean B1={p(x), q(x), r(x)} y B2={s(x), t(x), u(x)} dos bases del espacio vectorial P2 y sean 1 0 1 [ ] [ ] x 2 − x B1 = 1 , [ x + 1] B1 = 1 , 2 x 2 + 1 B1 = − 1 0 0 1 [s(x)+t(x)]B1=(3,1,1) , [t(x)+u(x)]B1=(5,2,0) , [u(x)]B1=(3,0,0) Determine: a.-) Los vectores de cada Base b.-) Las coordenadas de –x2+3x+2 con respecto a la base 2 9.- Considere el espacio funcional V=gen{Senx, Cosx, ex} con las siguientes bases B1={u1,u2,u3}, B2={Senx+Cosx, ex-Senx, Senx} y B3={v1,v2,v3}, dado que: u1=v1+v2, u2=v1+v3, u3=v1-v2 y la 1 0 1 matriz cambio de base de B3 a B2: CB 3→ B 2 = 1 − 1 2 1 − 1 1 Determine: a.-) La matriz cambio de base de B3 a B1 b.-) La matriz cambio de base de B1 a B2 c.-) Los vectores de la base B1 y los vectores de la base B3 d.-) [w1+2w2-u3+v2-Cosx]B3 si se conoce que [w1-w2]B1=(1,0,-1) y [2w1+w2]B3=(9,4,-3) 10.- Sea V=S2x2 y B una base de V tal que: 2
- 3. 1 0 0 1 2 1 1 1 0 2 0 = 1 , 1 0 = 1 , 0 1 = 0 B 0 B 2 B 1 Determine: a.-) Los vectores de la base B. b.-) Una base B2 de V que contenga a B. c.-) La matriz de cambio de base desde B2 hacia la base canónica de V. 11.- Sean B1={v1, v2, v3} y B2={u1, u2, u3} dos bases del espacio V=gen{Senx, Cosx, x} y dado que: u1=v1+v2, u2=v2+v3 y u3=v3+v1, determine: a.-) La matriz de cambio de base de B1 en B2. b.-) Si [2x]B2=(1,1,1), [x-Senx]B2=(1,0,0) , [Senx+Cosx]B2=(1,0,1) determine los vectores de la base B1. 3