Cap3 esp vectoriales

Capítulo 3

Espacios vectoriales

Capítulo 3 Espacios Vectoriales 1

3.1 Espacios vectoriales
El espacio vectorial Rn es un conjunto de elementos
llamados vectores en los que se definen dos
operaciones, la adición y la multiplicación por un
escalar. También tiene otras propiedades alge-
braicas, la conmutatividad y la asociatividad
u+v =v+u
u + (v + w) = (u + v) + w
Se analizan éstas y otras propiedades para formular
un conjunto de axiomas que definen un espacio
vectorial.

Definición: Espacio vectorial
Un espacio vectorial es un conjunto de elementos
llamados vectores en los que se definen dos
operaciones, la adición y la multiplicación por un
escalar y satisfacen las siguientes condiciones:
Sean u, v y w ∈ V y α y β escalares.

Axiomas de cerradura
u+v∈ V
αu∈ V


Axiomas de multiplicación
por un escalar
Axiomas de adición
u+v= v+u α (u + v) = α u + α v
u + (v + w) = (u + v) + w (α + β )u = α u + β u
u+0= u (α β )u = α (β u)
u + (-u) = 0 1u = u


Espacio vectorial de matrices
Considérese el conjunto de matrices de 2×2.
Denotado por M22. Usando notación vectorial, sean

a b  e f
u= ; v =  
c d  g h

Si se satisfacen todos los axiomas, se tiene un
espacio vectorial.


3.2 Subespacios de Rn

Un subconjunto H no vacío de Rn se llama
subespacio vectorial de Rn si se satisfacen las
siguientes propiedades.

1. Si u y v están en H, u + v está en H.
2. Si α es cualquier escalar y u está en H,
entonces α u está en H


Ejemplos
1. {0} y Rn son subespacios de Rn.
También se les llama subespacios triviales de
R n.
2. H = {(x, y, 0), x, y ∈ R} es un subespacio de R3.
3. H = {(x, y, x + y), x, y ∈ R} es un subespacio de
R3.
4. El conjunto H = {(x, x + 1), x ∈ R} no es
subespacio de R2.


3.3 Combinación lineal de vectores
Definición:
Sean v1, v2, ...,vn vectores-n de un espacio vectorial
V. Se dice que v, un vector en V, es una
combinación lineal de los vectores v1, v2, ...,vn si
existen escalares α1, α2, …, αn, tales que
α1 v1+ α2 v2+…+ αn vn= v


Ejemplo
El vector (5, 4, 2) es una combinación lineal de los
vectores (1, 2, 0), (3, 1, 4) y (1, 0, 3) puesto que

(5, 4, 2) = (1, 2, 0) + 2(3, 1, 4) - 2(1, 0, 3)

El problema de determinar si un vector es
combinación lineal de otros vectores se convierte
en resolver sistemas lineales.


Ejemplos
1. Determinar si el vector (-1, 1, 5) es una
combinación lineal de los vectores (1, 2, 3), (0, 1, 4) y
(2, 3, 6)
2. Expresar el vector (4, 5, 5) como una
combinación lineal de los vectores (1, 2, 3), (-1, 1, 4)
y (3, 3, 2)
3. Demostrar que el vector (3, -4, -6) no es una
combinación lineal de los vectores (1, 2, 3), (1, 4, 5) y
(-1, -1, -2)


Dependencia e independencia lineal
Definición:
a) El conjunto de vectores {v1, v2, …, vn} en un
espacio vectorial V se dice que es linealmente
dependiente si existen escalares α1, α2, …, αn,
no todos cero, tales que
α1v1 + α2v2+ …+ αnvn = 0


Definición
b) El conjunto de vectores {v1, v2, …, vn} es
linealmente independiente si
α1v1 + α2v2+ …+ αnvn = 0

solo si α1, α2, …, αn = 0


Ejemplo:
Vectores linealmente dependientes
El conjunto de vectores {(1, 2, 3), (-2, 1, 1), (8, 6, 10)}, es
linealmente dependientes en R3.
α1(1, 2, 3) + α2(-2, 1, 1) + α3(8, 6, 10) = 0
 1 10 
1 0
 1 −2 8  α1   0   1 −2 8 0   3 3 1 0 4 0
          
 2 1 6  α2  =  0   2 1 6 0 ∼ 0 1 −2 0  ∼  0 1 −2 0 
 3 1 10   α   0   3 1 10 0   0 0 0 0 0 0 0 0
  3         
 

−4r (1, 2, 3) + 2r (-2, 1, 1) + r (8, 6, 10) = 0


Ejemplo:
Vectores linealmente independientes
El conjunto de vectores {(3, -2, 2), (3, -1, 4), (1, 0, 5)}, es
linealmente independiente en R3.
α1(3, -2, 2) + α2(3, -1, 4) + α3(1, 0, 5) = 0
 1 
 1 1 0
 3 3 1  α1   0   3 3 1 0  3
 1 0 0 0
        
−2 −1 0 0  ∼  0 1 0 ∼ 0 1 0 0
−2 −1 0  α 2  =  0  13
   
 2 4 5  α   0   2 4 5 0  6
 0 0 1 0
  3       
0 0 1 0
 
 
α1 = α2 = α3 = 0


Ejemplo:
Considerar las funciones f (x) = x2 + 1; g(x) = 3x - 1,
h(x) = -4x + 1, del espacio vectorial P2 de polinomios de
grado ≤ 2. Demostrar que el conjunto de funciones
{f, g, h} es linealmente independiente.
α1 f + α2g + α3h = 0
α1 (x2 + 1) + α2 (3x – 1) + α3(-4x + 1) = 0
1 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0   1 0 0 0
    4  
0 3 −4 0   0 3 −4 0  ∼  0 1 − 0 ∼ 0 1 0 0

 1 −1 1 0   1 −1 1 0   3   
    0 0 1 0 0 0 1 0
 


3.4 Espacio generado por un
conjunto de vectores
Definición:
Se dice que los vectores-n v1, v2, …, vn generan un
espacio vectorial si todo vector en el espacio se
puede expresar como una combinación lineal de
estos vectores. Se denota por Gen {v1, v2, …, vn}.

Un conjunto generador de vectores define, de
alguna forma, el espacio vectorial puesto que cada
vector del espacio se obtiene de este conjunto.


Ejemplo:
Los vectores (1, 2, 0), (0, 1, -1) y (1, 1, 2) generan R3.
Solución: Sea v = (x, y, z) un elemento cualquiera de R3.
α1(1, 2, 0) + α2(0, 1, -1) + α3(1, 1, 2) = v
 1 0 1  α1   x 
    
 2 1 1  α 2  =  y 
 0 −1 2  α   z 
  3   
 1 1 y 
1
1 0 1 x  2 2 2  1 0 0 3x − y − z 
     
 2 1 1 y ∼ 0 1 −2 −z  ∼  0 1 0 −4 x + 2 y + z 
 0 −1 2 z   0 0 1 −(2 x − y − z )   0 0 1 − ( 2 x − y − z ) 
     
 


Ejemplo:
¿Está el vector (2, 3) en Gen{(1, 2), (3, 5)}?

Solución: Esto es cierto si:
α1(1, 2) + α2(3, 5) = (2, 3)

 1 3 2   1 3 2   1 0 −1
 ∼ ∼ 
 2 5 3 0 1 1 0 1 1 


Ejemplo:
Demostrar que Gen {E11, E12, E21, E22} = M22

Solución: Sea A una matriz de 2×2:×
α1 E11 + α2 E12 + α3 E21 + α4 E22 = A
 a11 a12  1 0 0 1 0 0 0 0
A=  = α1   + α2   + α3   + α4  
 a21 a22   0 0  0 0  1 0  0 1
 a11 a12   α1 α 2 
 = 
 a21 a22   α 3 α 4 


Ejemplo
Sean: v1 = (1, 2), v2 = (3, 5), v3 = (2, 4). Determinar
1. Gen {v1, v2}
Solución: Sea v = (x, y) un elemento cualquiera del
espacio generado. Entonces,
α1 v1 + α 2 v 2 = v
1 3 x  1 3 x   1 0 −5 x + 3 y 
 ∼ ∼ 
 2 5 y   0 1 2x − y   0 1 2x − y 
Gen {v1, v2} = R2


(continuación)
2. Gen {v1, v3}
Solución: Sea v = (x, y) un elemento cualquiera del
espacio generado. Entonces,
α1 v1 + α 2 v 3 = v v = ( x, 2 x) = (1, 2) x = (1, 2)r

1 2 x  1 2 x  Gen { v1 , v 3 } = {rv1 , r ∈ R}
 ∼ 
2 4 y   0 0 −2 x + y 


Las siguientes afirmaciones son ciertas:

1. {e1, e2, e3, … en} genera a Rn
2. {1, x, x2, … xn} genera Pn
3. {E11, E12, E13, … Emn } genera Mmn
4. {E11, E22, E33, … Enn } genera Dnn


3.5 Bases y dimensión
Definición:
Un conjunto no vacío B de un espacio vectorial V
distinto de cero es una base de V si:
1. B es linealmente independiente
2. B genera a V
Conocer la base de un espacio vectorial es útil para
comprender el espacio y sus propiedades.


Teorema 7.
Todo espacio vectorial tiene al menos una base

Las siguientes afirmaciones son ciertas:
1. {e1, e2, e3, … en} base estándar de Rn
2. {1, x, x2, … xn} base estándar de Pn
3. {E11, E12, E13, … Emn } base estándar de Mmn


Ejemplo
Demostrar que el conjunto {(1, 0, -1), (1, 1, 1), (1, 2, 4)}
es una base para R3.
Solución:
1. Este conjunto de vectores es LI si
α1(1, 0, -1) + α2(1, 1, 1) + α3(1, 2, 4) = 0

 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0
     
 0 1 2 0 ∼ 0 1 5 2 0 ∼ 0 1 0 0
 −1 1 4 0   0 0 1 0   0 0 1 0 
     

α1= α2 = α3 = 0

Sea v = (x, y, z) un elemento cualquiera de R3.
2. Este conjunto de vectores genera a R3 si
α1(1, 0, -1) + α2(1, 1, 1) + α3(1, 2, 4) = v

1 1 1 x  1 1 1 x   1 0 0 2x − 3y + z 
     
0 1 2 y  ∼  0 1 5 2 ( x + y ) 2  ∼  0 1 0 −2 x + 5 y − 2 z 
 −1 1 4 z  0 0 1 x − 2y + z  0 0 1
 x − 2y + z 
    
α1= 2x - 3y + z; α2= -2x + 5y - 2z; α3= x - 2y + z


Dimensión
Definición:

Si un espacio vectorial V tiene una base que consta de n
vectores, entonces la dimensión de V es n, que se
denota por dim(V).


Ejemplo
Considere el conjunto de vectores {(1, 2, 3), (-2, 4, 1)} en
R3. Estos vectores generan el subespacio V que consta
de todos los vectores de la forma
α1(1, 2, 3) + α2(-2, 4, 1) = v
Además, el segundo vector no es múltiplo del primer
vector, por lo tanto, son LI. Por consiguiente, los
vectores forman una base para V. Así, dim (V) = 2.


3.6 Rango de una matriz
Definición:
Sea A una matriz de m×n. Los renglones de A se
pueden considerar como vectores renglón r1, r2, …, rm,
y las columnas como vectores columnas c1, c2, …, c n.
Los vectores renglón generan un subespacio de Rn
llamado espacio renglón de A, y los vectores columna
generan un subespacio de Rm llamado espacio columna
de A.


Ejemplo
 1 2 −1 2 
 
Considerar la matriz: A = 3 4 1 6
5 4 1 0
 

Los vectores renglón de A son

r1 = (1, 2, -1, 2), r2 = (3, 4, 1, 6), r3 = (5, 4, 1, 0)

Estos vectores generan un subespacio de R4 llamado
espacio renglón de A.


Los vectores columna de A son:

1  2  −1  2
       
c1 =  3  , c 2 =  4  , c3 =  1  , c 4 =  6 
 5  4 1 0
       

Estos vectores generan un subespacio de R3 llamado
espacio columna de A.


Rango de una matriz
Definición:
La dimensión del espacio renglón y del espacio
columna de una matriz A, recibe el nombre de rango
de A. El rango de A se denota como rango(A).

Teorema 8
El espacio renglón y el espacio columna de una
matriz tienen la misma dimensión.


Ejemplo
Determinar el rango de la matriz

1 2 3
 
A = 0 1 2
2 5 8
 
Se tiene
(2, 5, 8) = 2(1, 2, 3) + (0, 1, 2)
Así, (1, 2, 3) y (0, 1, 2) forman una base para el espacio
renglón de A, el rango(A) = 2


Teorema 9
Los vectores renglón diferentes de cero de una matriz
A de forma escalón reducida constituyen una base
para el espacio renglón de A. El rango de A es el
número de vectores renglón diferentes de cero.

Ejemplo: 1 2 0 0
 
0 0 1 0
Determinar el rango de la matriz A=
0 0 0 1
 
0 0 0 0
rango(A) = 3

Ejemplo
Encontrar una base para el espacio renglón de la
siguiente matriz A y determine su rango.
1 2 3 1 2 3 1 5 2 2  1 0 7 
       
A =  2 5 4 2 5 4  ∼  0 1 −2  ∼  0 1 −2 
1 1 5 
  1 1 5 0 0 0  0 0 0 
 
   

B = {(1, 0, 7 ), (0, 1, -2)}
rango(A) = 2


Base para el espacio columna
Encontrar una base para el espacio columna de la
siguiente matriz A.
1 1 0  1 2 −1   1 2 −1   1 0 5 
       
A =  2 3 −2  ; AT =  1 3 −4  1 3 −4  ∼  0 1 −3 

 −1 −4 6   0 −2 6   0 −2 6   0 0 0 
       

 1   0  
    
B =  0  ,  1  
 5   −3  
    

Generalización:
El procedimiento anterior puede generalizarse para
encontrar la base de un subespacio V generado por un
conjunto de vectores. Los vectores se expresan como
vectores renglón de una matriz y se reduce la matriz a
la forma reducida escalón. Los vectores renglón
diferentes de cero de la matriz reducida escalón
proporcionan una base para V.


Ejemplo:
Determinar una base para el subespacio V de R4
generado por los vectores
(1, 2, 3, 4), (-1,-1,-4,-2), (3, 4, 11, 8)
Solución, A es la matriz cuyos renglones son los
vectores anteriores.
1 2 3 4  1 2 3 4  1 0 5 0
     
A =  −1 −1 −4 −2  −1 −1 −4 −2  ∼  0 1 −1 2 

 3 4 11 8   3 4 11 8   0 0 0 0 
     

B = {(1, 0, 5, 0 ), (0, 1, -1, 2)}


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