Al pr 02

´
Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM
a 1

Tema 2: Espacios vectoriales
Ejercicios
1. En R2 se definen las siguientes operaciones:

(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) y α (x, y) = (αx, y)

¿Es un espacio vectorial?

2. ¿Cu´les de los siguientes subconjuntos, de R3 o P3 (R), son subespacios vectoriales?
a

(a) S = {(x, y, z) : y = 0} (e) S = {(x, y, z) : x + z ≤ 0}
(b) S = {(x, y, z) : x + y + z = 0} (f) S = {(x, y, z) : xy = 0}
(c) S = {(x, y, z) : x + z = 1} (g) S = p(x) = x3 + ax + b : a, b ∈ R
(d) S = {(x, y, z) : x + z = 0} (h) S = p(x) = ax3 + b : a, b ∈ R

3. Estudia la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores
en R3 :

(a) {(0, 1, 0), (1, 1, −1), (−1, 0, 1)} (c) {(1, 0, a), (a, 1, 0), (0, a, 1)}
(b) {(0, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} (d) {(1, 0, a), (a, 1, 0), (a, 0, 1)}

4. Estudia la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores
en P2 (R):

(a) 1, 1 + x, 1 + x + x2 (c) 1 − x2 , 1 + x, x2 − x, x + x2
(b) x, x2 , x + x2 (d) 1 + x2 , 2 + x2

5. Sean f, g, h : {a, b, c} −→ R definidas como: f (a) = 0, f (b) = f (c) = 1; g(a) =
g(c) = 1, g(b) = 0; h(a) = h(b) = 1, h(c) = 0. Estudia la dependencia o indepen-
dencia lineal del conjunto {f, g, h}.

6. Determina si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependientes o
independientes. En el primer caso, encuentra una combinaciń lineal entre ellos y
o
un subconjunto con un n´mero m´ximo de vectores linealmente independientes.
u a

(a) {(3, 5, 1), (2, 1, 3)} (c) {(1, 0, 1, 0), (2, 1, 3, 1), (0, 1, 1, 1), (2, 2, 4, 2)}
(b) {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (0, −1, 1)} (d) 1 + 3x + 4x2 , 4 + x2 , 3 + x + 2x2 ⊂ P2 (R)

7. ¿Para qu´ valores de a el conjunto B = {(a, 1, 0), (1, a, 1), (0, 1, a)} es base de R3 ?
e
Para a = 2, calcula las coordenadas del vector v = (−1, 1, 3) respecto de dicha base.

8. En P3 (R) se considera la base B = 1, 1 − x, (1 − x)2 , (1 − x)3 . Halla las coorde-
nadas del polinomio p = 2 − 3x + x2 + 2x3 respecto de dicha base.

9. En P2 (R) se considera el conjunto B = 1, x + 3, (x + 3)2 . Prueba que es una base,
y halla las coordenadas del polinomio p = a + bx + cx2 respecto de dicha base.

´
a 2

10. Averigua si los vectores u = (1, −1, 0) y w = (2, −3, 1) pertenecen al espacio vectorial
generado por el conjunto de vectores {v1 = (2, 5, 1), v2 = (3, 4, 1), v3 = (5, 9, 2)}.

11. Determina a y b para que el vector (2, a, 3, −b) pertenezca al subespacio generado
por los vectores (2, 3, 1, −5) y (0, 2, −1, 3).

12. Sean los conjuntos: A = {(1, 0, −1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)}, B = {(2, 1, −1), (1, 2, 1)} y
C = {(2, 1, −1), (1, −1, 0)}. Demuestra que A y B generan el mismo subespacio, y
que ´ste no coincide con el generado por C.
e

13. Halla una base del espacio vectorial generado por el conjunto de vectores:

{v1 = (3, 2, 0, 5), v2 = (−1, 0, 3, −4), v3 = (2, 2, 3, 1), v4 = (0, 2, −9, 17)}

14. Se consideran los vectores de R4 : (1 + a, 1, 1, 1), (1, 1 + a, 1, 1), (1, 1, 1 + a, 1) y
(1, 1, 1, 1 + a), a ∈ R. Determina, en funciń de a, la dimensiń y una base del
o o
espacio vectorial S que generan.

15. Halla la dimensiń y una base del espacio vectorial
o

a + b + 3c 2a − b
M= : a, b, c ∈ R
−a − c a + 2b + 5c

16. Estudia si es subespacio vectorial de R4 el conjunto de soluciones de cada uno de los
siguientes sistemas:

x1 + x2 = 0 x1 + x2 = 1
(a) (b)
x3 + x4 = 0 x3 + x4 = 1

En caso afirmativo, determina una base.

17. Encuentra un sistema de generadores, una base y la dimensiń del subespacio vec-
o
torial de soluciones del sistema:

 x1 + 2x2 − 3x4 + x5 = 0


x1 + 2x2 + x3 − 4x4 − x5 = 0
 x2 + x3 − 2x4 − x5 = 0


x1 + x3 − 2x4 − 3x5 = 0
 
3 1 1
18. Si A = 0 3 1, determina la dimensiń y una base del espacio vectorial generado
o
0 0 3
por {An : n ≥ 0}.

19. En R3 se consideran S = {(x, y, z) : x = −z} y T = {(x, y, z) : x = z − y}.

(a) Prueba que S y T son subespacios vectoriales de R3 .
(b) Encuentra una base de S, y halla las coordenadas de un vector arbitrario de S
respecto de dicha base.
(c) Prueba que BT = {(0, 1, 1), (−1, 1, 0)} es una base de T , y encuentra las coor-
denadas de (−2, 1, −1) ∈ T respecto de dicha base.

´
a 3

20. En R4 se consideran los subespacios vectoriales:

S = L ({(1, 0, 1, 1), (1, −1, −1, 0), (0, 1, 2, 1)})
T = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) : x1 − x3 − x4 = 0, x2 + x3 = 0}

Obtń las ecuaciones param´tricas e impl´
e e ıcitas y una base de S + T y de S ∩ T .

21. En P3 (R) se consideran los conjuntos

S = {p(x) : p(−1) = 0} y T = p(x) = ax3 + bx2 + (a + b)x + 2b : a, b ∈ R

(a) Prueba que S y T son subespacios vectoriales.
(b) Obtń las ecuaciones param´tricas e impl´
e e ıcitas y una base de S y de T .
(c) Calcula S ∩ T y S + T .

22. En M2×2 (R) se consideran los subespacios vectoriales

a b a b
V1 = : a, b ∈ R V2 = : a, b, c ∈ R
−b a c −a

Halla la dimensiń y una base de los subespacios V1 , V2 , V1 + V2 y V1 ∩ V2 .
o


  x1 = α + β + 2γ
 x1 + x2 + x3 + x4 = 0 

x2 = β + γ
S≡ 2x1 − x2 + 2x3 − x4 = 0 T ≡ ; α, β, γ ∈ R
  x3 = −α + β

4x1 + x2 + 4x3 + x4 = 0 
x4 = 3β + 3γ

Halla bases y dimensiones de S, T , S + T y S ∩ T .


U = L ({(1, 0, −1, 0, 0), (2, 1, 0, 1, −1), (4, 1, −2, 1, −1)})
W = L ({(1, −1, 1, −1, 1), (−2, 0, 0, 0, 3), (0, 1, 2, 1, −1), (0, −2, 2, −2, 5)})

Halla bases de U , W , U + W y U ∩ W .


U = {(x, y, z) : z = 0} y W = L ({(0, 1, 1), (2, 0, 1), (2, 1, 2)})

Halla un sistema de generadores y las dimensiones de los subespacios U , W , U + W
y U ∩ W.


S = L ({(1, 0, 2, −1), (0, −1, 2, 0), (2, −1, 6, −2)})
T = L ({(1, −1, 4, −1), (1, 0, 0, 1), (−1, −2, 2, 1)})

Demuestra que dim(S + T ) = 3 y que dim(S ∩ T ) = 2.

´
a 4

27. En R3 se consideran los subespacios:

U = {(a, b, c) : a = c, a, b, c ∈ R}
V = {(0, 0, c) : c ∈ R}
W = {(a, b, c) : a + b + c = 0, a, b, c ∈ R}

Prueba que R3 = U + V = U + W = V + W . ¿Cu´l de las sumas anteriores es
a
directa?


S = L ({(1, 0, 1), (1, 1, −1), (2, 1, 0)}) T = L ({(1, 0, 1), (0, 0, 1), (3, 0, −1)})

Halla un subespacio U tal que R3 = S ⊕ U , y T + U no sea suma directa.


S1 = L ({(1, 0, 1, 0), (2, 1, 0, 2), (0, −1, 2, −2)})
S2 = L ({(1, 1, 1, 0), (−1, −1, 1, −2)})

¿Es S1 + S2 suma directa? Halla una base de dicha suma.

30. Determina a, b ∈ R para que el vector v = (2, a, b, 1) pertenezca al subespacio
vectorial S = L ({(1, 0, 2, 0), (0, −1, 1, 1)}). Obt´n un subespacio suplementario de
e
S en R4 .

31. En P3 (R) se consideran los subespacios vectoriales:

V =L 1 + x3 , 1 + x + x2 , 2x − x2 , 2 + 3x2
W =L 1 + 3x2 − x3 , 1 + 4x + x2 − x3 , 2x − x2

Demuestra que W ⊂ V , y halla un suplementario de W en V .

32. En P3 (R) se consideran los subespacios vectoriales:

V =L x + x2 , x − x2 , 2x + x2
W = a + bx + cx2 + dx3 : b + c = 0, 2b − c = 0
T = a + bx + cx2 + dx3 : a = 0, b = −µ, c = 0, d = λ + µ, λ, µ ∈ R

(a) Halla V ∩ W y V + W . ¿Son V y W suplementarios?
(b) Halla una base de W ∩ T y las ecuaciones impl´
ıcitas de V + T .

Soluciones
1. No.

2. (a), (b), (d) y (h) Si; (c), (e), (f) y (g) No.

´
a 5

3. (a) l.d.; (b) l.i.; (c) l.d. si a = −1, y l.i. si a = −1; (d) l.i. si a = ±1, y l.d. si
a = ±1.

4. (a) y (d) l.i.; (b) y (c) l.d.

5. Son l.i.

6. (a) l.i.; (b) l.d., {v1 = (1, 2, 3), v2 = (1, 3, 2)} es l.i., y v3 = (0, −1, 1) = v1 − v2 ;
(c) l.d., {v1 = (1, 0, 1, 0), v2 = (0, 1, 1, 1)} es l.i., y v3 = (2, 1, 3, 1) = 2v1 + v2 y
v4 = (2, 2, 4, 2) = 2v1 + 2v2 ; (d) l.d., p1 (x) = 1 + 3x + 4x2 , p2 (x) = 4 + x2 es l.i.,
1 2
y p3 (x) = 3 + x + 2x2 = 3 p1 (x) + 3 p2 (x).

7. Es base para a = 0 y a2 = 2. Para a = 2, v = − 1 , 0, 2
2
3
B
.

8. p = 2 − 3x + x2 + 2x3 = (2, −5, 7, −2)B .

9. p = a + bx + cx2 = (a − 3b + 9c, b − 6c, c)B .

10. u ∈ L ({v1 , v2 , v3 }), siendo u = −v1 + v2 , y w ∈ L ({v1 , v2 , v3 }).

11. a = −1 y b = 11.

12. L(A) = L(B) = L ({(1, 0, −1), (0, 1, 1)}) = S, y L(C) = S porque (1, −1, 0) ∈ S.

13. B = {(3, 2, 0, 5), (0, 2, 9, −7), (0, 0, 3, −4)}.

14. Si a = 0: dim S = 1 y B = {(1, 1, 1, 1)}.
Si a = −4: dim S = 3 y B = {(1, 1, 1, −3), (0, 1, 0, −1), (0, 0, 1, −1)}.
Si a = 0 y a = −4: dim S = 4, es decir S = R4 , y una base es la canńica.o
1 2 0 3
15. dim M = 2 y B = E1 = , E2 = .
−1 1 −1 −1
16. (a) S´ es un subespacio vectorial de dimensiń 2 y base {(−1, 1, 0, 0), (0, 0, −1, 1)}.
ı, o
(b) No es un subespacio vectorial.

17. Un sistema generadores y base es {(1, 1, 1, 1, 0), (1, −1, 2, 0, 1)}. Su dimensiń es 2.
o
      
 1 0 0 0 1 0 0 0 1 
18. La dimensiń es 3, y la base I = 0 1 0 , B = 0 0 1 , C = 0 0 0
o
 
0 0 1 0 0 0 0 0 0
19. (b) BS = {(1, 0, −1), (0, 1, 0)} y u = (a, b, −a) = (a, b)BS .
(c) (−2, 1, −1) = (−1, 2)BT

 x1 = α


x2 = β
20. S + T : , α, β, γ ∈ R; x1 + x2 − x4 = 0;
 x3 = α + γ


x4 = α + β
y BS+T  {(1, 0, 1, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0)}.
=
 x1 = 3α 

  x1 + 2x2 − x3 = 0
x2 = −α
S ∩ T: , α ∈ R; x2 − x3 + x4 = 0 ; y BS∩T = {(3, −1, 1, 2)}.
 x3 = α
 
 2x3 − x4 = 0
x4 = 2α

´
a 6

21. (b) Representando p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 = (a0 , a1 , a2 , a3 ), respecto de la
base usual en P3 (R), entonces

 a0 = α − β + γ


a1 = α
S: , α, β, γ ∈ R; a0 − a1 + a2 − a3 = 0;
 a2 = β


a3 = γ
y BS = (1, 1, 0, 0) = 1 + x, (−1, 0, 1, 0) = −1 + x2 , (1, 0, 0, 1) = 1 + x3 .

 a0 = 2β


a1 = α + β a0 − 2a2 = 0
T: , α, β ∈ R; ;
 a2 = β
 a1 − a2 − a3 = 0

a3 = α
y BT = (0, 1, 0, 1) = x + x3 , (2, 1, 1, 0) = 2 + x + x2 .

 a0 = 2α 

  a0 − a1 + a2 − a3 = 0
a1 = 2α
(c) S ∩ T : , α ∈ R; a0 − 2a2 = 0 ;
 a2 = α
 
 a1 − a2 − a3 = 0
a3 = α
y BS∩T = (2, 2, 1, 1) = 2 + 2x + x2 + x3 .
S + T = P3 (R).
1 0 0 1
22. dim V1 = 2, y BV1 = , .
0 1 −1 0
1 0 0 1 0 0
dim V2 = 3, y BV2 = , , .
0 −1 0 0 1 0
dim (V1 + V2 ) = 4, luego V1 + V2 = M2×2 (R) y una base es la usual.
0 −1
dim (V1 ∩ V2 ) = 1, y BV1 ∩V2 = .
1 0
23. dim S = 2, y BS = {(1, 0, −1, 0), (0, 1, 0, −1)}.
dim T = 2, y BT = {(2, 1, 0, 3), (−1, 0, 1, 0)}.
dim(S + T ) = 3, y BS+T = {(1, 0, −1, 0), (0, 1, 0, −1), (0, 0, 1, 2)}.
dim(S ∩ T ) = 1, y BS∩T = {(1, 0, −1, 0)}.

24. BU = {(1, 0, −1, 0, 0), (0, 1, 2, 1, −1)}.
BW = {(1, −1, 1, −1, 1), (0, 1, 2, 1, −1), (0, 0, 2, 0, 1)}.
BU +W = {(1, 0, −1, 0, 0), (0, 1, 2, 1, −1), (0, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1)}.
BU ∩W = {(0, 1, 2, 1, −1)}.

25. dim U = 2, y BU = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}.
dim W = 2, y BW = {(2, 0, 1), (0, 1, 1)}.
dim(U + W ) = 3, luego U + W = R3 y BU +W = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.
dim(U ∩ W ) = 1, y BU ∩W = {(2, −1, 0)}.

26. dim S = 2, dim T = 3, y dim(S + T ) = 3, de donde dim(S ∩ T ) = 2. Por lo tanto
S + T = T y S ∩ T = S, es decir S ⊂ T .

27. R3 = U ⊕ V = V ⊕ W , y la suma U + W no es directa.

28. U = L ({(0, 0, 1)}).

29. La suma S1 + S2 no es directa. BS1 +S2 = {(1, 0, 1, 0), (0, 1, −2, 2), (0, 0, 1, −1)}.

´
a 7

30. a = −1 y b = 5. R4 = S ⊕ T , con T = L ({(0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}).

31. W ⊂ V , y V = W ⊕ U con U = L 3x2 − 2x3 .

32. (a) V ∩ W = {0} y V + W = P3 (R), luego V y W son suplementarios.
(b) BW ∩T = x3 . Las ecuaciones impl´
ıcitas de V + T son a = 0.

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