Al ap 01
- 1. ´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM a 1 1 Matrices y Sistemas lineales de ecuaciones Sea Mn×m = Mn×m (R) el espacio vectorial de las matrices reales con n filas y m columnas. 1.1 Operaciones elementales por filas En una matriz, se consideran operaciones elementales por filas a las siguientes: 1. Intercambiar dos filas. 2. Multiplicar una fila por un n´mero real no nulo. u 3. Sustituir una fila por la suma de ella misma con el producto de otra por un n´mero real. u Ejemplo 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 f ↔f3 −− 2f2 →f2 1 2 −1 −1− → 1 2 −1 − − − 2 4 −2 −2 −f3− → 0 3 −2 − −→ f −−− − →f2 0 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 1.2 Matrices elementales Se llaman matrices elementales a aquellas matrices cuadradas que resultan de aplicar una operaci´n elemental a la matriz identidad. o Ejemplo 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 f ↔f2 −2f3 →f3 I= 0 1 0 −1− → E = 1 −− 0 0 ; I = 0 1 0 − − − → E = 0 1 0 −−− 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 −2 1 0 0 1 0 0 f3 −2f2 →f3 I = 0 1 0 − − − − E = 0 1 0 − − −→ 0 0 1 0 −2 1 1.3 Relaci´n entre operaciones y matrices elementales o El resultado de hacer una operaci´n elemental a una matriz A ∈ Mn×m coincide con el resultado o de multiplicar la matriz elemental E ∈ Mn×n , asociada a dicha operaci´n elemental, por A. o Ejemplo 1 2 −1 1 1 2 −1 1 1 0 0 f2 −2f1 →f2 A = 2 −1 1 0 − − − − 0 − − −→ −5 3 −2 = −2 1 0 · A 1 0 3 −2 1 0 3 −2 0 0 1 1 2 −1 1 1 0 3 −2 0 0 1 f1 ↔f3 A = 2 −1 1 0 − − → 0 −− −5 3 −2 = 0 1 0 · A 1 0 3 −2 1 2 −1 1 1 0 0
- 2. ´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM a 2 1 2 −1 1 1 2 −1 1 1 0 0 −f3 →f3 A = 2 −1 1 0 − − − 2 −1 1 0 = 0 1 0 · A − −→ 1 0 3 −2 −1 0 −3 2 0 0 −1 1.4 Formas escalonada y can´nica de una matriz. Rango o Se llama matriz escalonada o reducida de A ∈ Mn×m a cualquier matriz Ar ∈ Mn×m que se obtiene a partir de A mediante operaciones elementales, y en la que el primer elemento no nulo de cada fila se encuentra a la derecha del primer elemento no nulo de la fila anterior. Las filas nulas, si las hay, en una matriz escalonada deben estar al final. Se llama rango de A al n´mero de filas no nulas de una matriz escalonada de A. u Se llama matriz can´nica por filas de A ∈ Mn×m a la matriz Ac ∈ Mn×m , que se obtiene o a partir de A mediante operaciones elementales, en la que el primer elemento no nulo de cada fila es un uno, se encuentra a la derecha del primer elemento no nulo de la fila anterior, y por encima de ´l todos los elementos son nulos. e Observa que si B se obtiene a partir de A ∈ Mn×m despu´s de p operaciones elementales, e entonces B = Ep · Ep−1 · . . . · E2 · E1 · A donde Ei es la matriz elemental asociada a la operaci´n i-´sima. Adem´s, si I ∈ Mn×n es la o e a matriz identidad de orden n, se tiene que operaciones elementales (A | I) − − − − − − − → (B | E) −−−−−−− con B =E·A donde E = Ep · Ep−1 · . . . · E2 · E1 se llama matriz de paso de A a B. Ejemplo Si se quiere hallar una matriz escalonada, y la matriz de paso asociada, de la matriz 1 1 0 1 1 2 −1 3 1 3 A= 1 −1 2 1 1 1 1 0 0 2 se hacen las operaciones elementales necesarias ados´ndole la matriz identidad: a f −2f →f 1 1 0 1 1 1 0 0 0 2 1 f3 −f1 →f3 2 2 −1 3 1 3 0 1 0 0 f4 −f1 →f4 (A | I) = 1 −1 2 1 1 −− − − − − −→ 0 0 1 0 1 1 0 0 2 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 −3 3 −1 1 −2 1 0 0 f2 ↔f3 0 −2 2 0 0 −1 0 1 0 −−→ −− 0 −2 2 0 0 −1 0 1 0 0 −3 3 −1 1 −2 1 0 0 0 0 0 −1 1 −1 0 0 1 0 0 0 −1 1 −1 0 0 1 −1 f →f2 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 f →f3 2 2 2 3 3f2 −2f3 →f3 0 1 −1 0 0 1/2 0 −1/2 0 2f4 +f3 →f4 −− − −→ −−−− −− − − − − −→ 0 0 0 2 −2 1 −2 3 0 0 0 0 −1 1 −1 0 0 1
- 3. ´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM a 3 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 −1 0 0 1/2 0 −1/2 0 = (Ar | E r ) con Ar = E r · A 0 0 0 1 −1 1/2 −1 3/2 0 0 0 0 0 0 −1 −2 3 2 Puesto que la matriz escalonada tiene tres filas no nulas, su rango es tres: rg A = 3 Para hallar la matriz can´nica por filas, y la matriz de paso asociada, se contin´an las operaciones o u elementales: 1 0 1 1 1 1/2 0 1/2 0 f1 −f2 →f1 0 1 −1 0 0 1/2 0 −1/2 0 (A | I) → (Ar | E) − − − → −−− 0 0 0 1 −1 1/2 −1 3/2 0 0 0 0 0 0 −1 −2 3 2 1 0 1 0 2 0 1 −1 0 f1 −f3 →f1 0 1 −1 0 0 1/2 0 −1/2 0 −−−→ −−− = (Ae | E e ) con Ae = E e · A 0 0 0 1 −1 1/2 −1 3/2 0 0 0 0 0 0 −1 −2 3 2 1.5 Matriz inversa Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada A ∈ Mn×n a otra matriz A−1 ∈ Mn×n tal que A · A−1 = A−1 · A = I No todas las matrices cuadradas tienen inversa. Una matriz cuadrada A se llama regular si tiene matriz inversa, y se llama singular si no la tiene. Es f´cil observar que todas las matrices elementales tienen inversa: a 1. La matriz inversa de la matriz elemental asociada a intercambiar dos filas es ella misma. 2. La matriz inversa de la matriz elemental asociada a multiplicar una fila por un n´mero, u distinto de cero, es la asociada a multiplicar la misma fila por su inverso. 3. La matriz inversa de la matriz elemental asociada a sustituir una fila por ella misma m´s a otra multiplicada por un n´mero es la asociada a la misma operaci´n pero multiplicando u o la fila por el n´mero opuesto. u Es conocido que la existencia de matriz inversa se puede caracterizar, en t´rminos de deter- e minantes, como A ∈ Mn×n tiene inversa (es regular) ⇐⇒ |A| = 0 Tambi´n se puede caracterizar, en t´rminos de operaciones elementales, por el siguiente teorema: e e Teorema Una matriz cuadrada es regular si y s´lo si se puede reducir a la matriz identidad por operaciones o elementales de filas. Adem´s, si a operaciones elementales (A | I) − − − − − − − → (I | E) −−−−−−− con I =E·A se tiene que A−1 = E.
- 4. ´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM a 4 Algoritmo para el c´lculo de la matriz inversa a Para hallar la matriz inversa de una matriz cuadrada A se procede as´ ı: 1. Se considera la matriz (A | I). 2. Se obtiene una forma escalonada (Ar | E r ). 3. Si Ar tiene alg´n cero en la diagonal principal, entonces la matriz A es singular (no es u invertible). 4. Si Ar no tiene ceros en la diagonal principal, entonces A es regular (es invertible) y se siguen haciendo operaciones elementales hasta llegar a (I | E). 5. La matriz inversa es A−1 = E. Ejemplo Halla, si existe, la matriz inversa de: 1 −1 1 A = 2 1 −1 1 1 1 1 −1 1 1 0 0 f2 −2f1 →f2 1 −1 1 1 0 0 f2 /3→f2 f3 −f1 →f3 f3 −2f2 /3→f3 (A | I) = 2 1 −1 0 1 0 − − − − 0 3 −3 −2 1 0 − − − − → − − −→ −−−− 1 1 1 0 0 1 0 2 0 −1 0 1 f3 /2→f3 1 −1 1 1 0 0 f2 +f3 /2→f2 1 −1 0 5/6 1/3 −1/2 f1 −f3 /2→f1 0 1 −1 −2/3 1/3 0 − − − − → 0 1 0 −1/2 −−−− 0 1/2 0 0 2 1/3 −2/3 1 0 0 1 1/6 −1/3 1/2 1 0 0 1/3 1/3 0 f1 +f2 →f1 −−−→ −−− 0 1 0 −1/2 0 1/2 = I | A−1 0 0 1 1/6 −1/3 1/2 de donde 1/3 1/3 0 2 2 0 1 A−1 = −1/2 0 1/2 = −3 0 3 6 1/6 −1/3 1/2 1 −2 3 1.6 Sistemas lineales Un sistema lineal de m ecuaciones con n inc´gnitas es o a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 . . . am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
- 5. ´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM a 5 con aij , bi ∈ R, que se puede expresar en forma matricial como a11 a12 . . . a1n x1 b1 a21 a22 . . . a2n x2 b2 . . . · . = . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn xn bm o tambi´n como e Ax = b con A ∈ Mm×n , x ∈ Mn×1 , y b ∈ Mm×1 Las matrices A ∈ Mm×n y A = (A | b) ∈ Mm×(n+1) se llaman, respectivamente, matriz de coeficientes y matriz ampliada. Cuando b = 0 el sistema se llama homog´neo. e Se llama soluci´n del sistema Ax = b a cualquier vector x0 = (x0 , x0 , . . . , x0 )t ∈ Mn×1 tal o 1 2 n que Ax0 = b. Resolver un sistema es hallar todas sus soluciones. Dos sistemas se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones. Teorema Si un sistema Ax = b tiene m´s de una soluci´n entonces tiene infinitas soluciones. a o Demostraci´n: Si x0 , x1 ∈ Mn×1 son dos soluciones distintas del sistema, entonces, para o cualesquiera α, β ∈ R con α + β = 1, se cumple que x = αx0 + βx1 ∈ Mn×1 es tambi´n soluci´n: e o Ax = A αx0 + βx1 = αAx0 + βAx1 = αb + βb = (α + β)b = b Luego si el sistema tiene dos soluciones distintas, entonces tiene infinitas soluciones. Clasificaci´n de sistemas lineales o Seg´n el n´mero de soluciones, los sistemas se clasifican en u u Sistema incompatible ⇐⇒ No tiene soluciones Sistema compatible determinado ⇐⇒ Tiene soluci´n unica o ´ Sistema compatible indeterminado ⇐⇒ Tiene infinitas soluciones Teorema Si (A | b ) es la matriz que se obtiene despu´s de aplicar un n´mero finito de operaciones e u elementales a la matriz (A | b), los sistemas Ax = b y A x = b son equivalentes. Demostraci´n: Sea (A | b ) = Er · . . . · E2 · E1 · (A | b), es decir o A = Er · . . . · E2 · E1 · A y b = Er · . . . · E2 · E1 · b Entonces: x0 es soluci´n de A x = b ⇐⇒ A x0 = b ⇐⇒ Er . . . E2 E1 Ax0 = Er . . . E2 E1 b o −1 −1 −1 −1 ⇐⇒ E1 E2 . . . Er Er . . . E2 E1 Ax0 = E1 E2 . . . Er Er . . . E2 E1 b −1 −1 ⇐⇒ IAx0 = Ib ⇐⇒ Ax0 = b ⇐⇒ x0 es soluci´n de Ax = b o Es decir, los sistemas Ax = b y A x = b son equivalentes.
- 6. ´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM a 6 1.7 M´todo de Gauss e Todo sistema lineal Ax = b de n ecuaciones con n inc´gnitas y |A| = 0 (o rg A = n) es o compatible determinado. Se puede resolver por el m´todo de Gauss: e 1. Se considera la matriz ampliada (A | b). 2. Se obtiene una matriz escalonada (Ar | br ). 3. Se resuelve el sistema equivalente Ar x = br por el m´todo de ascenso. e Ejemplo Para resolver el sistema x−y+z =4 2x + y − z = −1 x + 2y − z = −3 por el m´todo de Gauss, se procede as´ e ı: 1 −1 1 4 f2 −2f1 →f2 1 −1 1 4 f3 −f2 →f3 1 −1 1 4 f −f1 →f3 f /3→f 2 1 −1 −1 −3− − − 0 3 −3 −9 − 2− − 2 0 1 −1 −3 − − −→ −−− → 1 2 −1 −3 0 3 −2 −7 0 0 1 2 y se resuelve, por el m´todo de ascenso, el sistema equivalente: e x−y+z = 4 x=1 y − z = −3 =⇒ y = −1 z= 2 z=2 1.8 Teorema de Rouch´-Frobenius e Si Ax = b es un sistema de m ecuaciones con n inc´gnitas, entonces: o 1. Si rg A = rg (A | b), el sistema es incompatible. 2. Si rg A = rg (A | b) = n, el sistema es compatible determinado. 3. Si rg A = rg (A | b) = k < n, el sistema es compatible indeterminado, y su soluci´n depende o de n − k par´metros. a 1.9 Resoluci´n de sistemas lineales por el m´todo de Gauss o e Para resolver el sistema lineal Ax = b, de m ecuaciones con n inc´gnitas, se procede como sigue: o 1. Se considera la matriz ampliada (A | b). 2. Se obtiene una matriz escalonada (Ar | br ). 3. Entonces, se pueden presentar los siguientes casos: (a) Si rg Ar = rg (Ar | br ), el sistema es incompatible. No hay soluciones.
- 7. ´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM a 7 (b) Si rg Ar = rg (Ar | br ) = n, el sistema es compatible determinado. Sus unica soluci´n ´ o se obtiene resolviendo por el m´todo de Gauss el sistema resultante despu´s de elimi- e e nar las ecuaciones nulas (si las hay). (c) Si rg Ar = rg (Ar | br ) = k < n, el sistema es compatible indeterminado. Su soluci´n o se obtiene resolviendo por el m´todo de ascenso el sistema que se obtiene al pasar al e segundo miembro, como par´metros, las n−k inc´gnitas que no son comienzo (primer a o elemento no nulo) de alguna fila de Ar . Ejemplo Para resolver el sistema de 3 ecuaciones con 5 inc´gnitas: o x1 + x2 + x4 = −1 x1 + x2 + x3 + 2x4 + x5 = 0 x1 + x2 + x4 + x5 = −1 se obtiene, en primer lugar, la matriz reducida de la ampliada: 1 1 0 1 0 −1 f2 −f1 →f2 1 1 0 1 0 −1 f3 −f1 →f3 (A | b) = 1 1 1 2 1 0 − − − → 0 0 1 1 1 1 = (Ar | br ) −−− 1 1 0 1 1 −1 0 0 0 0 1 0 Puesto que rg Ar = rg (Ar | br ) = 3 < 5 el sistema es compatible indeterminado. Sus soluciones se obtienen pasando al segundo miembro, como par´metros, las inc´gnitas que no son comienzo a o de alguna ecuaci´n, x2 = λ y x4 = µ, y resolviendo el sistema resultante por el m´todo de o e ascenso: x1 = −1 − λ − µ x1 = −1 − λ − µ x2 = λ x2 + x5 = 1 − µ =⇒ x3 = 1 − µ , λ, µ ∈ R x4 = µ x5 = 0 x5 = 0 1.10 Sistemas lineales homog´neos e Puesto que rg A = rg (A | 0), el sistema lineal homog´neo Ax = 0, de m ecuaciones con n e inc´gnitas, siempre es compatible: o 1. Si rg A = n, el sistema homog´neo es compatible determinado, y la unica soluci´n es la e ´ o soluci´n trivial x1 = x2 = . . . = xn = 0. o 2. Si rg A = k < n, el sistema homog´neo es compatible indeterminado, y su soluci´n depende e o de n − k par´metros. a Ejemplo Para resolver el sistema lineal homog´neo e 2x + 3y − z = 0 x− y+ z =0 x + 9y − 5z = 0
- 8. ´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM a 8 se calcula una matriz escalonada de la matriz de coeficientes (no es necesario considerar la columna de los t´rminos independientes pues son siempre nulos): e 2 3 −1 1 −1 1 f2 −2f1 →f2 1 −1 1 1 −1 1 1 −1 1 −1− → 2 3 −1 −3− − − 0 5 −3 −3 − −→f3 0 5 −3 f ↔f2 −− f −f1 →f3 − − −→ f −2f2 − − −→− 1 9 −5 1 9 −5 0 10 −6 0 0 0 Puesto que rg A = 2, el sistema es compatible indeterminado con soluci´n dependiente de o 3 − 2 = 1 par´metro. Pasando x3 = λ al segundo miembro, y resolviendo el sistema resultante a por el m´todo de ascenso, se obtiene la soluci´n: e o x = −2λ 5 x = −2λ x − y = −λ 3λ =⇒ y= 5 =⇒ y = 3λ , λ∈R 5y = 3λ z=λ z = 5λ 1.11 Eliminaci´n de par´metros o a Eliminar par´metros en a x1 = b1 + a11 λ1 + a12 λ2 + . . . + a1r λr x2 = b2 + a21 λ1 + a22 λ2 + . . . + a2r λr . . . xn = bn + an1 λ1 + an2 λ2 + . . . + anr λr es equivalente a encontrar un sistema del que sea soluci´n, y ´sto es equivalente a obtener los o e valores (x1 , x2 , . . . , xn ) para los que el sistema a11 λ1 + a12 λ2 + . . . + a1r λr = x1 − b1 a21 λ1 + a22 λ2 + . . . + a2r λr = x2 − b2 . . . an1 λ1 + an2 λ2 + . . . + anr λr = xn − bn es compatible, es decir que se verifica: a11 a12 . . . a1r a11 a12 . . . a1r x1 − b1 a21 a22 . . . a2r a21 a22 . . . a2r x2 − b2 rg . . . = rg . . . .. . . . . .. . . . . an1 an2 . . . anr an1 an2 . . . anr xn − bn Ejemplo Para eliminar los par´metros a, b ∈ R en la expresi´n: a o x1 = a + 2b x2 = a − b x3 = 1 + b x4 = a + b − 1
- 9. ´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM a 9 se impone la condici´n de que el sistema o a + 2b = x1 a − b = x2 b = x3 − 1 a + b = x4 + 1 tiene soluci´n (es compatible), para lo que se necesita que: o 1 2 1 2 x1 1 −1 1 −1 x2 rg 0 1 = rg 0 1 x3 − 1 1 1 1 1 x4 + 1 Para imponer esta condici´n, se busca una matriz escalonada de ambas matrices, lo que se hace o simult´neamente considerando la segunda matriz: a 1 2 x1 f2 −f1 →f2 1 2 x1 1 −1 x2 f4 −f1 →f4 0 −3 x2 − x1 −−− 0 1 x3 − 1 − − − → 0 1 x3 − 1 1 1 x4 + 1 0 −1 x4 − x1 + 1 3f3 +f2 →f3 1 2 x1 3f4 −f2 →f4 0 −3 x2 − x1 −− − − − − −→ 0 0 3(x3 − 1) + (x2 − x1 ) 0 0 3(x4 − x1 + 1) − (x2 − x1 ) Para que las dos matrices tengan el mismo rango, es necesario que en la tercera columna los elementos de las filas tercera y cuarta sean nulos, es decir que: 3(x3 − 1) + (x2 − x1 ) = 0 3(x4 − x1 + 1) − (x2 − x1 ) = 0 con lo que se tiene la condici´n: o x1 − x2 − 3x3 = −3 2x1 + x2 − 3x4 = 3