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248 CAP´ITULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN
Sea x(t) =
x1(t)
x2(t)
...
xn(t)
, A(t) =
a11(t) · · · a1n(t)
...
...
an1(t) · · · ann(t)
y f(t) =
f1(t)
f2(t)
...
fn(t)
,
entonces el sistema (7.1) se puede escribir:
x ′
(t) = A(t) x(t) + f(t) (7.3)
y la homog´enea asociada (7.2) se puede escribir como
x ′
(t) = A(t) x(t) (7.4)
Consideremos el problema de valor inicial:
x ′
(t) = A(t) x(t) + f(t), x(t0) = x0 (7.5)
donde
x0 =
x10
x20
...
xn0
Decimos que la funci´on vectorial
φ(t) =
φ1(t)
φ2(t)
...
φn(t)
es soluci´on de (7.5) en I, si φ(t) es derivable, satisface la ecuaci´on diferencial
en I y la condici´on inicial dada, es decir, si
φ(t0) =
x10
x20
...
xn0
= x0
Teorema 7.1.
Sean A(t) y f(t) funciones matricial y vectorial respectivamente y continuas
en [a, b], entonces existe una ´unica funci´on vectorial φ(t) que es soluci´on del
problema de valor inicial (7.5) en [a, b].](https://image.slidesharecdn.com/sistemadeeddeprimerorden-160223205540/85/Sistema-de-ed-de-primer-orden-2-320.jpg)
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250 CAP´ITULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN
la E.D. 7.6 es equivalente al sistema 7.7, esto quiere decir que si x(t) es solu-
ci´on de 7.6 entonces x1 = x, x2 = x′
, x3 = x′′
, · · · , xn = x(n−1)
son soluci´on
del sistema 7.7 y rec´ıprocamente, si x1(t), x2(t), · · · , xn(t) son soluci´on del
sistema 7.7 entonces x(t) = x1(t) es soluci´on de la E.D. de orden n 7.6.
Ejemplo 2. Convertir en un sistema la siguiente E.D.:
x′′′
− 6x′′
+ 11x′
− 6x = sen t
Soluci´on: hagamos x1 = x, x2 = x′
, x3 = x′′
y obtenemos el siguiente
sistema
x′
1 = x′
= x2
x′
2 = x′′
= x3
x′
3 = x′′′
= 6x′′
− 11x′
+ 6x + sen t = 6x3 − 11x2 + 6x1 + sen t
= 6x1 − 11x2 + 6x3 + sen t
matricialmente la E.D. queda as´ı
x ′
=
x′
1
x′
2
x′
3
=
0 1 0
0 0 1
6 −11 6
x1
x2
x3
+
0
0
sen t
7.2. CONJUNTOS FUNDAMENTALES Y
SISTEMAS HOMOG´ENEOS
Consideremos el sistema homog´eneo x ′
= A(t) x donde x es un vector de
n componentes y A(t) una matriz de n × n.
Si φ1(t), . . . , φn(t), son n soluciones linealmente independientes del sistema,
entonces decimos que este conjunto es un conjunto fundamental de soluciones;
la matriz
Φ(t) = [φ1(t), . . . , φn(t)] =
φ11(t) · · · φ1n(t)
...
...
φn1(t) · · · φnn(t)
,
o sea, la matriz cuyas columnas son φ1(t), . . . , φn(t) los cuales son linealmen-
te independientes, la llamamos una matriz fundamental y decimos que Φ(t)](https://image.slidesharecdn.com/sistemadeeddeprimerorden-160223205540/85/Sistema-de-ed-de-primer-orden-4-320.jpg)
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7.3. M´ETODO DE LOS VALORES Y VECT. PROPIOS 255
escalonemos la matriz de coeficientes por reducci´on de filas
−2 −1 4
3 −1 −1
2 1 −4
R21(−1)
−−−−→
R31(1)
−2 −1 4
5 0 −5
0 0 0
R2( 1
5
)
−−−→
−2 −1 4
1 0 −1
0 0 0
R12(4)
−−−→
2 −1 0
1 0 −1
0 0 0
luego v2 = 2v1, v3 = v1, v1 = v1, por lo tanto
v =
1
2
1
⇒ x3 = e3t
1
2
1
=
e3t
2e3t
e3t
Las tres soluciones son x1, x2, x3, como los tres valores propios son diferentes
entonces x1, x2, x3 son linealmente independientes, o sea que la matriz
fundamental es
Φ(t) = [x1, x2, x3] =
−et
e−2t
e3t
4et
−e−2t
2e3t
et
−e−2t
e3t
La soluci´on general es
x(t) = C1x1(t) + C2x2(t) + C3x3(t) = Φ(t)
C1
C2
C3
= [x1, x2, x3]
C1
C2
C3
RA´ICES COMPLEJAS.
Si λ = α + iβ es un valor propio o caracter´ıstico de A con vector propio
asociado v = v1 +iv2, entonces x(t) = eλt
v es una soluci´on vectorial compleja
de x ′
= A x.
La soluci´on vectorial compleja da lugar a dos soluciones vectoriales reales,
en efecto:
Lema 7.1.
Sea x(t) = x1(t) + ix2(t) una soluci´on vectorial compleja de x ′
= Ax,
entonces x1(t) y x2(t) son soluciones vectoriales reales de x ′
= Ax.](https://image.slidesharecdn.com/sistemadeeddeprimerorden-160223205540/85/Sistema-de-ed-de-primer-orden-9-320.jpg)
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256 CAP´ITULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN
Demostraci´on: como x(t) es soluci´on de x ′
= A x entonces
x1
′
(t) + ix2
′
(t) = A(x1(t) + ix2(t)) = Ax1(t) + iAx2(t)
e igualando parte Real y parte Imaginaria:
x1
′
= A x1 y x2
′
= A x2,
o sea que x1(t) y x2(t) son soluciones.
Obs´ervese que x1(t) = Re{x(t)} x2(t) = Im{x(t)}
NOTA: si λ = α + iβ es un valor propio complejo y v = v1 + iv2 es un
vector propio complejo asociado a λ entonces
x = eλt
v = e(α+iβ)t
(v1 + iv2) = eαt
(cos βt + i sen βt)(v1 + iv2)
= eαt
[v1 cos βt − v2 sen βt + i(v1 sen βt + v2 cos βt)]
Por tanto si λ = α + iβ es un valor propio de A con vector propio v =
v1 + iv2, entonces
x1 = eαt
(v1 cos βt − v2 sen βt), x2 = eαt
(v1 sen βt + v2 cos βt) (7.12)
son dos soluciones vectoriales reales de x′
(t) = Ax y son linealmente inde-
pendientes.
Ejemplo 3. Hallar dos soluciones vectoriales reales linealmente indepen-
dientes del siguiente sistema: x′
=
12 −17
4 −4
x
Soluci´on: hallemos el polinomio caracter´ıstico
p(λ) =
12 − λ −17
4 −4 − λ
= λ2
− 8λ + 20 = 0
los valores propios son λ1 = 4 + 2i, λ2 = 4 − 2i,por tanto α = 4, β = 2.
Si λ1 = 4 + 2i entonces
8 − 2i −17
4 −8 − 2i
v1
v2
=
0
0
(8 − 2i)v1 − 17v2 = 0 y 4v1 + (−8 − 2i)v2 = 0](https://image.slidesharecdn.com/sistemadeeddeprimerorden-160223205540/85/Sistema-de-ed-de-primer-orden-10-320.jpg)
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7.3. M´ETODO DE LOS VALORES Y VECT. PROPIOS 259
Si v satisface (A − λI)m
v = 0 para alg´un entero m, entonces la serie infinita
de e(A−λI) t
termina despu´es de m t´erminos; en efecto,
(A − λI)m+e
v = (A − λI)e
(A − λI)m
v = 0.
Por tanto
e(A−λI)t
v = I + (A − λI)t + (A − λI)
t2
2!
+ . . . + (A − λI)m−1 tm−1
(m − 1)!
v
= v + t(A − λI)v +
t2
2!
(A − λI)2
v + . . . +
tm−1
(m − 1)!
(A − λI)m−1
v
en (7.14):
eAt
v = eλt
[v + t(A − λI)v
+
t2
2!
(A − λI)2
v + . . . +
tm−1
(m − 1)!
(A − λI)m−1
v] (7.15)
Algoritmo para hallar las n soluciones linealmente independientes
1. Hallar los valores y vectores propios de la matriz A. Si A tiene n vec-
tores propios linealmente independientes entonces x′
= A x tiene n
soluciones linealmente independientes de la forma eλt
v.
2. Si A tiene k < n vectores propios linealmente independientes, entonces
se tienen k soluciones linealmente independientes de la forma eλt
v. Para
encontrar las soluciones adicionales se toma un valor propio λ de A y
se hallan todos los vectores v tales que
(A − λI)2
v = 0 y (A − λI)v = 0.
Para cada uno de estos vectores v
eAt
v = eλt
e(A−λI)t
v = eλt
[v + t(A − λI)v]
es una soluci´on adicional de x ′
= A x. Esto se hace para todos los
valores propios de A.](https://image.slidesharecdn.com/sistemadeeddeprimerorden-160223205540/85/Sistema-de-ed-de-primer-orden-13-320.jpg)
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260 CAP´ITULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN
3. Si a´un en el paso anterior no se han conseguido las n soluciones lineal-
mente independientes, entonces se buscan los vectores v tales que
(A − λI)3
v = 0 y (A − λI)2
v = 0
por lo tanto
eAt
v = eλt
[v + t(A − λI)v +
t2
2
(A − λI)2
v]
es una nueva soluci´on linealmente independiente de x ′
= A x.
4. Se continua de la misma manera hasta completar n soluciones lineal-
mente independientes.
Ejemplo 4. Resolver por el m´etodo anterior el problema de valor inicial
x ′
=
2 1 2
0 2 −1
0 0 2
x x(0) =
1
3
1
Soluci´on: el polinomio caracter´ıstico de
A =
2 1 2
0 2 −1
0 0 2
es p(λ) = (2 − λ)3
luego λ = 2 es un valor propio de A con multiplicidad 3.
Hallemos los vectores propios asociados a λ = 2, estos vectores deben satis-
facer la ecuaci´on
(A − 2I)v =
0 1 2
0 0 −1
0 0 0
v1
v2
v3
=
0
0
0
escalonemos la matriz de coeficientes por reducci´on de filas
0 1 2
0 0 −1
0 0 0
R12(2)
−−−→
0 1 0
0 0 −1
0 0 0
](https://image.slidesharecdn.com/sistemadeeddeprimerorden-160223205540/85/Sistema-de-ed-de-primer-orden-14-320.jpg)
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7.3. M´ETODO DE LOS VALORES Y VECT. PROPIOS 261
luego v2 = 0, v3 = 0 y v1 = v1, por lo tanto el vector propio asociado a λ = 2
es
1
0
0
,
la soluci´on asociada a este vector propio es
x1(t) = e2t
v = e2t
1
0
0
,
luego la dimensi´on del espacio propio asociado al valor propio λ = 2 es uno,
esto quiere decir que debemos hallar un vector v tal que
(A − 2I)2
v = 0 y (A − 2I)v = 0
(A − 2I)2
v =
0 1 2
0 0 −1
0 0 0
0 1 2
0 0 −1
0 0 0
v =
0 0 −1
0 0 0
0 0 0
v1
v2
v3
=
0
0
0
es decir v3 = 0, v1 y v2 son par´ametros; elegimos v1 = 0 y v2 = 1 de tal
manera que el vector v =
0
1
0
sea linealmente independiente con el vector
v =
1
0
0
hallado anteriormente
La soluci´on asociada a v es
x2(t) = eλt
[v + t(A − λI)v] = e2t
[v + t(A − 2I)v]
= e2t
[
0
1
0
+ t
0 1 2
0 0 −1
0 0 0
0
1
0
] = e2t
[
0
1
0
+ t
1
0
0
] = e2t
t
1
0
como (A − 2I)2
v = 0 tiene dos soluciones linealmente independientes
1
0
0
,
0
1
0
](https://image.slidesharecdn.com/sistemadeeddeprimerorden-160223205540/85/Sistema-de-ed-de-primer-orden-15-320.jpg)
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262 CAP´ITULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN
se debe buscar otra soluci´on linealmente independiente con las anteriores,
que cumpla la condici´on
(A − 2I)3
v = 0 y (A − 2I)2
v = 0
(A − 2I)3
v =
0 1 2
0 0 −1
0 0 0
3
v =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
v1
v2
v3
=
0
0
0
luego v1, v2 y v3 son par´ametros, entonces escogemos v =
0
0
1
de tal manera
que sea linealmente independiente con
1
0
0
y
0
1
0
y que adem´as cumpla
(A − 2I)2
v = 0.
Como el sistema es 3 × 3, entonces la ´ultima soluci´on es
x3(t) = eλt
[v+t(A−λI)v+
t2
2
(A−λI)2
v] = e2t
[v+t(A−2I)v+
t2
2
(A−2I)2
v]
= e2t
[
0
0
1
+ t
0 1 2
0 0 −1
0 0 0
0
0
1
+
t2
2
0 1 2
0 0 −1
0 0 0
2
0
0
1
]
= e2t
[
0
0
1
+ t
2
−1
0
+
t2
2
0 0 −1
0 0 0
0 0 0
0
0
1
] = e2t
[
0
0
1
+ t
2
−1
0
+
t2
2
−1
0
0
]
= e2t
2t − t2
2
−t
1
La soluci´on general es
x(t) = C1x1(t)+C2x2(t)+C3x3(t) = C1e2t
1
0
0
+C2e2t
t
1
0
+C3e2t
2t − t2
2
−t
1
en t = 0 se tiene que
x(0) =
1
3
1
= C1
1
0
0
+ C2
0
1
0
+ C3
0
0
1
](https://image.slidesharecdn.com/sistemadeeddeprimerorden-160223205540/85/Sistema-de-ed-de-primer-orden-16-320.jpg)
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264 CAP´ITULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN
dos {v1, v2, . . . , vm} tales que
(A − λI)vm = vm−1
(A − λI)vm−1 = vm−2
...
(A − λI)v2 = v1
(7.16)
Si sustituimos vm−1 en la segunda expresi´on de (7.16) y luego vm−2 en
la tercera expresi´on y as´ı sucesivamente, tenemos que
(A − λI)m−1
vm = v1, (7.17)
y como v1 es un vector propio ordinario, entonces premultiplicando
(7.17) por (A − λI) se llega a que
(A − λI)m
vm = (A − λI)v1 = 0
en general para j = 1, . . . , m − 1 :
(A − λI)j
vm = vm−j (7.18)
Utilizando (7.18) se puede mostrar que la cadena {v1, v2, . . . , vm} es un
conjunto de vectores linealmente independientes, para ello suponemos
que
α1v1 + α2v2 + . . . + αmvm = 0
se premultiplica por (A − λI)m−1
y se llega a que αm = 0, en forma
similar se demuestra que αm−1 = 0 y as´ı sucesivamente hasta mostrar
que α1 = 0
2. Utilizando (7.15) tenemos que
x(t) = eλt
[vm + t(A − λI)vm+
t2
2!
(A − λI)2
vm + . . . +
tm−1
(m − 1)!
(A − λI)m−1
vm] (7.19)
donde vm satisface (A − λI)m
vm = 0 y (A − λI)m−1
vm = v1 = 0 y por
(7.18)
x(t) = eλt
[vm + tvm−1 +
t2
2!
vm−2 + . . . +
tm−1
(m − 1)!
v1] (7.20)](https://image.slidesharecdn.com/sistemadeeddeprimerorden-160223205540/85/Sistema-de-ed-de-primer-orden-18-320.jpg)
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7.3. M´ETODO DE LOS VALORES Y VECT. PROPIOS 265
Algoritmo para una cadena de longitud m
a. Hallar v1 vector propio de A asociado al valor propio λ que satis-
face el sistema: (A − λI)v = 0.
b. Hallar v2 tal que (A − λI)v2 = v1.
c. Hallar vm tal que (A − λI)vm = vm−1.
d. La soluci´on asociada a esta cadena es
x(t) = eλt
[vm + tvm−1 +
t2
2!
vm−2 + . . . +
tm−1
(m − 1)!
v1]
3. Consideremos el sistema
x′
= a1x + b1y
y′
= a2x + b2y
(7.21)
luego su ecuaci´on caracter´ıstica es
p(λ) = det
a1 − λ b1
a2 b2 − λ
= (a1 − λ)(b2 − λ) − a2b1
= λ2
− (a1 + b2)λ + (a1b2 − a2b1) = 0 (7.22)
y supongamos que tiene una ra´ız λ = m con multiplicidad dos.
Supongamos tambi´en que
v1 =
A
B
es el vector propio asociado a λ = m y que
v2 =
A1
B1
es el vector propio generalizado de rango dos, asociado al valor propio
λ = m, es decir
(A − mI)2
v2 = 0 y (A − mI)v2 = v1 = 0
Por tanto las dos soluciones linealmente independientes son
x1(t) = emt
v1 = emt A
B](https://image.slidesharecdn.com/sistemadeeddeprimerorden-160223205540/85/Sistema-de-ed-de-primer-orden-19-320.jpg)
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266 CAP´ITULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN
y por (7.20) la segunda soluci´on es
x2(t) = emt
[v2 + tv1] = emt
[
A1
B1
+ t
A
B
] = emt A1 + At
B1 + Bt
,
la soluci´on general es
x(t) =
x(t)
y(t)
= C1x1(t) + C2x2(t)
= C1emt A
B
+ C2emt A1 + At
B1 + Bt
(7.23)
finalmente
x(t) = C1Aemt
+ C2(A1 + At)emt
y(t) = C1Bemt
+ C2(B1 + Bt)emt (7.24)
Teorema 7.3.
La matriz X(t)n×n es una matriz fundamental de la E.D. vectorial
x ′
= Ax si y solo si satisface la E.D. matricial X′
(t) = AX(t) y adem´as
det X(t0) = 0.
Demostraci´on: sea X(t) = [x1(t), . . . , xn(t)] una matriz fundamental de
x ′
= Ax, entonces
x1(t), x2(t), . . . , xn(t)
son linealmente independientes y por tanto det X(t0) = 0.
Derivando la matriz X(t), tenemos
X′
(t) = [x ′
1(t), x ′
2(t), . . . , x ′
n(t)]
y como
AX(t) = [Ax1(t), Ax2(t), . . . , Axn(t)]
y sabiendo que
Ax1(t) = x ′
1(t), Ax2(t) = x ′
2(t), . . . , Axn(t) = x ′
n(t)
entonces
X′
(t) = [Ax1(t), Ax2(t), . . . , Axn(t)] = AX(t)](https://image.slidesharecdn.com/sistemadeeddeprimerorden-160223205540/85/Sistema-de-ed-de-primer-orden-20-320.jpg)
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7.3. M´ETODO DE LOS VALORES Y VECT. PROPIOS 267
luego X(t) es solucion de la E.D. matricial
X′
= AX
Rec´ıprocamente como x1(t0), . . . , xn(t0) son linealmente independientes, ya
que det X(t0) = 0; entonces por la nota ii. hecha en la p´agina 95 del Cap.
IV, tenemos que
x1(t), x2(t), . . . , xn(t) son linealmente independientes
luego la matriz
X(t) = [x1(t), x2(t), . . . , xn(t)]
es una matriz fundamental.
Teorema 7.4.
La matriz eAt
es una matriz principal de x ′
= Ax.
Demostraci´on: en efecto, eAt
es soluci´on de X′
= AX ya que
d
dt
eAt
= A eAt
y por el teorema anterior eAt
es una matriz fundamental, adem´as,
eAt
= I + At + A2 t2
2
+ . . . ,
y para t = 0 se tiene que eA0
= I.
Teorema 7.5.
Sean X(t) y Y (t) dos matrices fundamentales de x ′
= Ax, entonces existe
una matriz constante Cn×n tal que Y (t) = X(t)C.
Demostraci´on: como
X(t) = [x1(t), . . . , xn(t)] es fundamental
entonces x1, . . . , xn son linealmente independientes. Similarmente como
Y (t) = [y1, . . . , yn] es fundamental](https://image.slidesharecdn.com/sistemadeeddeprimerorden-160223205540/85/Sistema-de-ed-de-primer-orden-21-320.jpg)
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268 CAP´ITULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN
entonces y1, . . . , yn son linealmente independientes.
Como x1, . . . , xn es una base, entonces cada yi se puede expresar como una
combinaci´on lineal de esta base, es decir,
yi = C1i x1 + . . . + Cni xn = [x1(t), . . . , xn(t)]
C1i
C2i
...
Cni
para i = 1, . . . , n, luego
Y (t) = [y1, . . . , yn] = [x1(t), . . . , xn(t)]
C11 · · · C1n
...
...
Cn1 · · · Cnn
= X Cn×n
donde
C =
C11 · · · C1n
...
...
Cn1 · · · Cnn
El siguiente teorema nos permite hallar una matriz exponencial, cono-
ciendo una matriz fundamental.
Teorema 7.6.
Sea X(t) una matriz fundamental de x ′
= Ax entonces
eAt
= X(t) X−1
(0).
Demostraci´on: sea X(t) una matriz fundamental y como eAt
es matriz
fundamental (principal), entonces, existe
Cn×n tal que eAt
= X(t)C
Para t = 0 ⇒ e0t
= I = X(0)C ⇒ C = X−1
(0). Luego eAt
= X(t) X−1
(0).
Ejemplo 5. Hallar eAt
para
x ′
=
1 1 1
0 3 2
0 0 5
x](https://image.slidesharecdn.com/sistemadeeddeprimerorden-160223205540/85/Sistema-de-ed-de-primer-orden-22-320.jpg)
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270 CAP´ITULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN
(Rta.: x(t) = C1
3
4
e4t
+ C2
1
4
e−4t
)
2. A =
12 −15
4 −4
(Rta.: x(t) = C1
3
2
e2t
+ C2
5
2
e6t
)
3. A =
4 5
−4 −4
(Rta.: x(t) = C1[
5
−4
cos 2t−
0
2
sen 2t]+C2[
0
2
cos 2t+
5
−4
sen 2t])
4. A =
1 0 0
2 1 −2
3 2 1
(Rta.: x(t) = C1
2
−3
2
et
+ C2et
[
0
1
0
cos 2t −
0
0
−1
sen 2t]
+ C3et
[
0
0
−1
cos 2t +
0
1
0
sen 2t])
5. x ′
=
−2 1
−1 −4
x
(Rta.: λ = −3(mult.2),vector propio v = [1 − 1]T
, x1(t) = (C1 + C2 +
C2t)e−3t
, x2(t) = (−C1 − C2t)e−3t
)
6. x ′
=
−3 0 −4
−1 −1 −1
1 0 1
x
(Rta.: λ = −1(mult.3) defectuoso, x1(t) = (−2C2+C3−2C3t)e−t
, x2(t) =
(C1 − C2 + C2t − C3t + 1
2
C3t2
)e−t
, x3(t) = (C2 + C3t)e−t
)
7. A =
0 1
−4 4
(Rta.: x(t) = C1
1
2
e2t
+ C2
1 − 2t
−4t
e2t
)](https://image.slidesharecdn.com/sistemadeeddeprimerorden-160223205540/85/Sistema-de-ed-de-primer-orden-24-320.jpg)
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7.4. VARIACI´ON DE PAR´AMETROS 271
7.4. VARIACI´ON DE PAR´AMETROS
En el cap´ıtulo 4. vimos que la soluci´on general de una E.D. lineal no
homog´enea ten´ıa dos partes que eran xh y xp y la soluci´on general era x(t) =
xh + xp. Lo mismo nos sucede cuando tenemos una E.D. lineal vectorial no
homog´enea x ′
= Ax + f(t), su soluci´on general es de la forma x = xh + xp,
donde xh es la soluci´on a la homog´enea asociada x ′
= Ax y esta expresada
por
xh = c1x1 + c2x2 + · · · + cnxn
El objetivo en esta secci´on es hallar la soluci´on particular xp de la ecuaci´on
no homog´enea, para ello utilizamos el m´etodo de varaci´on de par´ametros, de
la misma manera como lo hicimos en el cap´ıtulo 4.
Consideremos la E.D. vectorial no homog´enea:
x ′
= Ax + f(t). (7.25)
Sean x1(t), . . . , xn(t) las soluciones linealmente independientes de la ho-
mog´enea asociada, o sea que
xh(t) = C1x1(t) + . . . + Cnxn(t) = [x1, x2, · · · , xn]
C1
...
Cn
= X(t)C
y variando los par´ametros C1, C2, . . . , Cn tenemos
x(t) = u1(t)x1(t)+. . .+un(t)xn(t) = [x1(t), x2(t), · · · , xn(t)]
u1(t)
...
un(t)
= Xu,
la cual suponemos que es una soluci´on de x ′
= Ax + f(t).
Luego , x(t) = X(t)u(t), donde
X(t) = [x1(t), . . . , xn(t)] y u(t) =
u1(t)
...
un(t)
Como
x ′
(t) =
d
dt
(X(t)u(t)) = X′
(t)u(t) + X(t)u ′
(t),](https://image.slidesharecdn.com/sistemadeeddeprimerorden-160223205540/85/Sistema-de-ed-de-primer-orden-25-320.jpg)
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7.6. ANEXO CON EL PAQUETE MAPLE 279
7.6. ANEXO CON EL PAQUETE Maple
Ejemplo 8. Con el paquete Maple, hallar la soluci´on general y la soluci´on que cum-
ple la condici´on inicial, del sistema:
x′
1 = −4x1 − x2
x′
2 = x1 − 2x2
con x1(0) = 1, x2 = 2
Soluci´on general:
>sys1 :=[diff(x(t),t)=-4*x(t)-y(t), diff(y(t),t)=x(t)-2*y(t)];
sys1 := [x′
= −4 ∗ x − y, y′
= x − 2 ∗ y]
>sol1 := dsolve(sys1);
sol1 := {x (t) = e−3 t
( C1 + C2 t) , y (t) = −e−3 t
( C1 + C2 t + C2)}
La soluci´on que cumple la condici´on inicial:
>dsolve( {diff(x(t),t) =-4*x(t)- y(t), diff(y(t),t) =
x(t)-2*y(t),x(0)=1, y(0)=2},{x(t),y(t)});
La soluci´on es
{y(t) = -exp(-3 t) (-2 - 3 t), x(t) = exp(-3 t) (1 - 3 t)}](https://image.slidesharecdn.com/sistemadeeddeprimerorden-160223205540/85/Sistema-de-ed-de-primer-orden-33-320.jpg)
Sistema de ed de primer orden
- 1. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas CAP´ITULO 7 SISTEMAS LINEALES DE PRIMER ORDEN 7.1. INTRODUCCION Estudiaremos el sistema de n ecuaciones lineales de primer orden: x′ 1 = a11(t) x1 + a12(t) x2 + . . . + a1n(t) xn + f1(t) x′ 2 = a21(t) x1 + a22(t) x2 + . . . + a2n(t) xn + f2(t) ... (7.1) x′ n = an1(t) x1 + an2(t) x2 + . . . + ann(t) xn + fn(t) el cual se denomina no homog´enea si fi = 0 para alg´un i = 1, 2, . . . , n. El sistema homog´eneo asociado al anterior sistema es: x′ 1 = a11(t) x1 + . . . + a1n(t) xn ... (7.2) x′ n = an1(t) x1 + . . . + ann(t) xn 247
- 2. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 248 CAP´ITULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN Sea x(t) = x1(t) x2(t) ... xn(t) , A(t) = a11(t) · · · a1n(t) ... ... an1(t) · · · ann(t) y f(t) = f1(t) f2(t) ... fn(t) , entonces el sistema (7.1) se puede escribir: x ′ (t) = A(t) x(t) + f(t) (7.3) y la homog´enea asociada (7.2) se puede escribir como x ′ (t) = A(t) x(t) (7.4) Consideremos el problema de valor inicial: x ′ (t) = A(t) x(t) + f(t), x(t0) = x0 (7.5) donde x0 = x10 x20 ... xn0 Decimos que la funci´on vectorial φ(t) = φ1(t) φ2(t) ... φn(t) es soluci´on de (7.5) en I, si φ(t) es derivable, satisface la ecuaci´on diferencial en I y la condici´on inicial dada, es decir, si φ(t0) = x10 x20 ... xn0 = x0 Teorema 7.1. Sean A(t) y f(t) funciones matricial y vectorial respectivamente y continuas en [a, b], entonces existe una ´unica funci´on vectorial φ(t) que es soluci´on del problema de valor inicial (7.5) en [a, b].
- 3. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 7.1. INTRODUCCION 249 (Ver la demostraci´on de este teorema en el Ap´endice) Ejemplo 1. Consideremos el sistema lineal x′ 1 = −4x1 − x2 x′ 2 = x1 − 2x2 con x1(0) = 1 y x2(0) = 2. Soluci´on: el sistema puede escribirse como: x′ 1 x′ 2 = −4 −1 1 −2 x1 x2 x0 = x1(0) x2(0) = 1 2 Sus soluciones son de la forma: φ1(t) = e−3t −e−3t , φ2(t) = (1 − t) e−3t t e−3t Tambi´en φ(t) = (1 − 3t) e−3t (2 + 3t) e−3t es un vector soluci´on que satisface la condici´on inicial. Nota: toda E.D. de orden n se puede reducir a un sistema de E.D. de primer orden. En efecto, sea x(n) = f(t, x, x′ , · · · , x(n−1) ) (7.6) una E.D. de orden n (lineal o no lineal), donde t es la variable independiente, haciendo x = x1, x′ = x2, x′′ = x3, · · · , x(n−1) = xn obtenemos el siguiente sistema de primer orden: x′ 1 = x2 x′ 2 = x3 ... (7.7) x′ n = f(t, x, x′ , · · · , x(n−1) )
- 4. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 250 CAP´ITULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN la E.D. 7.6 es equivalente al sistema 7.7, esto quiere decir que si x(t) es solu- ci´on de 7.6 entonces x1 = x, x2 = x′ , x3 = x′′ , · · · , xn = x(n−1) son soluci´on del sistema 7.7 y rec´ıprocamente, si x1(t), x2(t), · · · , xn(t) son soluci´on del sistema 7.7 entonces x(t) = x1(t) es soluci´on de la E.D. de orden n 7.6. Ejemplo 2. Convertir en un sistema la siguiente E.D.: x′′′ − 6x′′ + 11x′ − 6x = sen t Soluci´on: hagamos x1 = x, x2 = x′ , x3 = x′′ y obtenemos el siguiente sistema x′ 1 = x′ = x2 x′ 2 = x′′ = x3 x′ 3 = x′′′ = 6x′′ − 11x′ + 6x + sen t = 6x3 − 11x2 + 6x1 + sen t = 6x1 − 11x2 + 6x3 + sen t matricialmente la E.D. queda as´ı x ′ = x′ 1 x′ 2 x′ 3 = 0 1 0 0 0 1 6 −11 6 x1 x2 x3 + 0 0 sen t 7.2. CONJUNTOS FUNDAMENTALES Y SISTEMAS HOMOG´ENEOS Consideremos el sistema homog´eneo x ′ = A(t) x donde x es un vector de n componentes y A(t) una matriz de n × n. Si φ1(t), . . . , φn(t), son n soluciones linealmente independientes del sistema, entonces decimos que este conjunto es un conjunto fundamental de soluciones; la matriz Φ(t) = [φ1(t), . . . , φn(t)] = φ11(t) · · · φ1n(t) ... ... φn1(t) · · · φnn(t) , o sea, la matriz cuyas columnas son φ1(t), . . . , φn(t) los cuales son linealmen- te independientes, la llamamos una matriz fundamental y decimos que Φ(t)
- 5. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 7.3. M´ETODO DE LOS VALORES Y VECT. PROPIOS 251 es una soluci´on matricial ya que cada una de sus columnas es soluci´on de x ′ = A(t) x. Definici´on 7.1 (Matriz Principal). Decimos que la matriz fundamental ϕ(t) es matriz principal si ϕ(t0) = I = 1 · · · 0 ... ... 0 · · · 1 Nota: esta matriz es ´unica. Definici´on 7.2 ( Wronskiano). Sea Φ(t) una matriz soluci´on (es decir, cada columna es un vector soluci´on) de x ′ = A(t) x, entonces W(t) = det Φ(t) lo llamamos el Wronskiano de Φ(t). Observaci´on: si Φ(t) es una matriz fundamental, entonces W(t) = det Φ(t) = 0 7.3. M´ETODO DE LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS Consideremos el sistema x ′ = Ax (7.8) donde x(t) = x1(t) x2(t) ... xn(t) y A = a11 · · · a1n ... ... an1 · · · ann es una matriz constante El objetivo es hallar n soluciones linealmente independientes: x1(t), . . . , xn(t). Para ello imaginemos la soluci´on del tipo x(t) = eλ t v, donde v es un vector constante, como d dt eλ t v = λeλ t v
- 6. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 252 CAP´ITULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN y A(eλ t v) = eλ t Av, de (7.8) tenemos que: λeλ t v = A(eλ t v) = eλ t A v, luego Av = λv (7.9) Es decir, x(t) = eλ t v es soluci´on de (7.8) si y solo si λ y v satisfacen (7.9). Definici´on 7.3 (Vector y valor propio). Un vector v = 0 que satisface Av = λv se le llama vector propio de A con valor propio λ. NOTA: v = 0 siempre satisface Av = λv para cualquier matriz A, por esto no nos interesa. λ es un valor propio de la matriz A si y solo si Av = λv ⇔ Av − λv = (A − λI)v = 0 (7.10) es decir, v satisface sistema homog´eneo de n ecuaciones con n incognitas (A − λI)v = 0 (7.11) donde I es la matriz identidad. La ecuaci´on (7.11) tiene una soluci´on v = 0 si y solo si det(A−λI) = 0, luego los valores propios de A son las ra´ıces de la ecuaci´on. 0 = det(A − λI) = a11 − λ a12 · · · a1n a21 a22 − λ · · · a2n ... ... ... an1 an2 · · · ann − λ = Polinomio en λ de grado n = p(λ).
- 7. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 7.3. M´ETODO DE LOS VALORES Y VECT. PROPIOS 253 Definici´on 7.4 (Polinomio Caracter´ıstico). . Al polinomio p(λ) de la nota anterior lo llamamos el Polinomio Caracter´ıstico de la matriz A. Como los vectores propios de A son los vectores v = 0 que satisfacen la ecuaci´on vectorial (A − λI)v = 0. y como p(λ) = 0, tiene a lo sumo n ra´ıces, entonces existen a lo sumo n valo- res propios de A y por tanto existen a lo sumo n vectores propios linealmente independientes. El siguiente teorema se demuestra en los cursos de Algebra Lineal. Teorema 7.2. Cualesquiera k vectores propios v1, . . . , vk correspondientes a k valores pro- pios diferentes λ1, . . . , λk respectivamente, son linealmente independientes. Pasos para hallar los valores y vectores propios de A: Hallar p(λ) = det(A − λI) = 0. Hallar las ra´ıces λ1, . . . , λn de p(λ) = 0. Para cada valor propio λi, resolver el sistema homog´eneo (A − λiI) v = 0. Ejemplo 2. Hallar tres soluciones linealmente independientes, una matriz fundamental y la soluci´on general del siguiente sistema: x ′ = 1 −1 4 3 2 −1 2 1 −1 x Soluci´on: el polinomio caracter´ıstico es p(λ) = det(A − λI) = 1 − λ −1 4 3 2 − λ −1 2 1 −1 − λ = −(λ3 − 2λ2 − 5λ + 6) = = −(λ − 1)(λ + 2)(λ − 3) = 0 luego los valores propios son: λ1 = 1, λ2 = −2, λ3 = 3
- 8. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 254 CAP´ITULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN Hallemos los vectores propios: Para λ1 = 1, tenemos que (A−1.I)v = 1 − 1 −1 4 3 2 − 1 −1 2 1 −1 − 1 v1 v2 v3 = 0 −1 4 3 1 −1 2 1 −2 v1 v2 v3 = 0 0 0 escalonemos la matriz de coeficientes por reducci´on de filas 0 −1 4 3 1 −1 2 1 −2 R21(1) −−−→ R31(1) 0 −1 4 3 0 3 2 0 2 R2( 1 3 ) −−−→ R3( 1 2 ) 0 −1 4 1 0 1 1 0 1 R32(−1) −−−−→ 0 −1 4 1 0 1 0 0 0 luego v2 = 4v3, v1 = −v3, v3 = v3, por lo tanto v = −1 4 1 ⇒ x1 = et −1 4 1 = −et 4et et Para λ2 = −2, tenemos que (A+2.I)v = 1 + 2 −1 4 3 2 + 2 −1 2 1 −1 + 2 v1 v2 v3 = 3 −1 4 3 4 −1 2 1 1 v1 v2 v3 = 0 0 0 escalonemos la matriz de coeficientes por reducci´on de filas 3 −1 4 3 4 −1 2 1 1 R21(4) −−−→ R31(1) 3 −1 4 15 0 15 5 0 5 R2( 1 15 ) −−−−→ R3( 1 5 ) 3 −1 4 1 0 1 1 0 1 R12(−4) −−−−→ R32(−1) −1 −1 0 1 0 1 0 0 0 luego v2 = −v1, v3 = −v1, v1 = v1, por lo tanto v = 1 −1 −1 ⇒ x2 = e−2t 1 −1 −1 = e−2t −e−2t −e−2t Para λ2 = 3, tenemos que (A − 3.I)v = 1 − 3 −1 4 3 2 − 3 −1 2 1 −1 − 3 v1 v2 v3 = −2 −1 4 3 −1 −1 2 1 −4 v1 v2 v3 = 0 0 0
- 9. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 7.3. M´ETODO DE LOS VALORES Y VECT. PROPIOS 255 escalonemos la matriz de coeficientes por reducci´on de filas −2 −1 4 3 −1 −1 2 1 −4 R21(−1) −−−−→ R31(1) −2 −1 4 5 0 −5 0 0 0 R2( 1 5 ) −−−→ −2 −1 4 1 0 −1 0 0 0 R12(4) −−−→ 2 −1 0 1 0 −1 0 0 0 luego v2 = 2v1, v3 = v1, v1 = v1, por lo tanto v = 1 2 1 ⇒ x3 = e3t 1 2 1 = e3t 2e3t e3t Las tres soluciones son x1, x2, x3, como los tres valores propios son diferentes entonces x1, x2, x3 son linealmente independientes, o sea que la matriz fundamental es Φ(t) = [x1, x2, x3] = −et e−2t e3t 4et −e−2t 2e3t et −e−2t e3t La soluci´on general es x(t) = C1x1(t) + C2x2(t) + C3x3(t) = Φ(t) C1 C2 C3 = [x1, x2, x3] C1 C2 C3 RA´ICES COMPLEJAS. Si λ = α + iβ es un valor propio o caracter´ıstico de A con vector propio asociado v = v1 +iv2, entonces x(t) = eλt v es una soluci´on vectorial compleja de x ′ = A x. La soluci´on vectorial compleja da lugar a dos soluciones vectoriales reales, en efecto: Lema 7.1. Sea x(t) = x1(t) + ix2(t) una soluci´on vectorial compleja de x ′ = Ax, entonces x1(t) y x2(t) son soluciones vectoriales reales de x ′ = Ax.
- 10. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 256 CAP´ITULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN Demostraci´on: como x(t) es soluci´on de x ′ = A x entonces x1 ′ (t) + ix2 ′ (t) = A(x1(t) + ix2(t)) = Ax1(t) + iAx2(t) e igualando parte Real y parte Imaginaria: x1 ′ = A x1 y x2 ′ = A x2, o sea que x1(t) y x2(t) son soluciones. Obs´ervese que x1(t) = Re{x(t)} x2(t) = Im{x(t)} NOTA: si λ = α + iβ es un valor propio complejo y v = v1 + iv2 es un vector propio complejo asociado a λ entonces x = eλt v = e(α+iβ)t (v1 + iv2) = eαt (cos βt + i sen βt)(v1 + iv2) = eαt [v1 cos βt − v2 sen βt + i(v1 sen βt + v2 cos βt)] Por tanto si λ = α + iβ es un valor propio de A con vector propio v = v1 + iv2, entonces x1 = eαt (v1 cos βt − v2 sen βt), x2 = eαt (v1 sen βt + v2 cos βt) (7.12) son dos soluciones vectoriales reales de x′ (t) = Ax y son linealmente inde- pendientes. Ejemplo 3. Hallar dos soluciones vectoriales reales linealmente indepen- dientes del siguiente sistema: x′ = 12 −17 4 −4 x Soluci´on: hallemos el polinomio caracter´ıstico p(λ) = 12 − λ −17 4 −4 − λ = λ2 − 8λ + 20 = 0 los valores propios son λ1 = 4 + 2i, λ2 = 4 − 2i,por tanto α = 4, β = 2. Si λ1 = 4 + 2i entonces 8 − 2i −17 4 −8 − 2i v1 v2 = 0 0 (8 − 2i)v1 − 17v2 = 0 y 4v1 + (−8 − 2i)v2 = 0
- 11. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 7.3. M´ETODO DE LOS VALORES Y VECT. PROPIOS 257 como estas dos ecuaciones son linealmente dependientes, se toma una cual- quiera de las dos, por ejemplo la primera v2 = 1 17 (8 − 2i)v1, v1 = v1 ⇒ v = 1 1 17 (8 − 2i) v1 tomando v1 = 17 tenemos v = 17 8 − 2i = 17 8 + i 0 −2 escogemos como v1 = 17 8 , v2 = 0 −2 Por lo tanto las dos soluciones vectoriales reales son: x1(t) = eαt (v1 cos βt − v2 sen βt) = e4t 17 8 cos 2t − 0 −2 sen 2t = e4t 17 cos 2t 8 cos 2t + 2 sen 2t y tambi´en x2(t) = eαt (v1 sen βt + v2 cos βt) = e4t 17 8 sen 2t + 0 −2 cos 2t = e2t 17 sen 2t 8 sen 2t − 2 cos 2t Nota: si se utiliza el otro valor propio λ2 = 4 − 2i y se sigue el mismo procedimiento se llega a que x1(t) = e4t 17 cos 2t 8 cos 2t − 2 sen 2t , x2(t) = e4t 17 sen 2t 8 sen 2t + 2 cos 2t que tambi´en son dos soluciones linealmente independientes de la E.D., es de- cir, que de acuerdo a la selecci´on que hagamos ya sea en los valores propios o en las ecuaciones lineales cuando escalonemos la matriz de coeficientes, tendremos respuestas diferentes, esto se debe a que escogemos vectores base v1, v2 diferentes. RA´ICES IGUALES. La matriz eAt que definimos a continuaci´on, cuya existencia esta demostrada en el Ap´endice A.3 .
- 12. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 258 CAP´ITULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN Definici´on 7.5 (Matriz exponencial). Si A es una matriz n × n y cons- tante eAt = I + tA + t2 2! A2 + . . . + tn n! An + . . . Esta serie es convergente para todo t y para toda matriz An×n constante. Derivando formalmente (Ver la demostraci´on de la derivada en el Ap´endice A.4), tenemos d dt eAt = A + A2 t + . . . + tn−1 (n − 1)! An + . . . = A I + At + . . . + tn−1 (n − 1)! An + . . . = AeAt Por tanto, eAt v es una soluci´on de x ′ = Ax, donde v es un vector constante. En efecto d dt (eAt v) x = AeAt v = A (eAt v) x Tambi´en en el Ap´endice se demuestran las siguientes propiedades. Propiedades: i). (eAt )−1 = e−At ii). eA(t+s) = eAt eAs iii). Si AB = BA, donde An×n y Bn×n, entonces eAt+Bt = eAt eBt Observaci´on: eAt v = eAt−λIt+λIt v = e(A−λI)t eλIt v (7.13) Ya que (A − λI)λI = (λI)(A − λI) Pero eλIt v = I + λIt + (λI)2 t2 2! + . . . v = 1 + λt + λ2 t2 2! + . . . Iv = eλt v sustituyendo en (7.13) eAt v = eλt e(A−λI)t v (7.14)
- 13. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 7.3. M´ETODO DE LOS VALORES Y VECT. PROPIOS 259 Si v satisface (A − λI)m v = 0 para alg´un entero m, entonces la serie infinita de e(A−λI) t termina despu´es de m t´erminos; en efecto, (A − λI)m+e v = (A − λI)e (A − λI)m v = 0. Por tanto e(A−λI)t v = I + (A − λI)t + (A − λI) t2 2! + . . . + (A − λI)m−1 tm−1 (m − 1)! v = v + t(A − λI)v + t2 2! (A − λI)2 v + . . . + tm−1 (m − 1)! (A − λI)m−1 v en (7.14): eAt v = eλt [v + t(A − λI)v + t2 2! (A − λI)2 v + . . . + tm−1 (m − 1)! (A − λI)m−1 v] (7.15) Algoritmo para hallar las n soluciones linealmente independientes 1. Hallar los valores y vectores propios de la matriz A. Si A tiene n vec- tores propios linealmente independientes entonces x′ = A x tiene n soluciones linealmente independientes de la forma eλt v. 2. Si A tiene k < n vectores propios linealmente independientes, entonces se tienen k soluciones linealmente independientes de la forma eλt v. Para encontrar las soluciones adicionales se toma un valor propio λ de A y se hallan todos los vectores v tales que (A − λI)2 v = 0 y (A − λI)v = 0. Para cada uno de estos vectores v eAt v = eλt e(A−λI)t v = eλt [v + t(A − λI)v] es una soluci´on adicional de x ′ = A x. Esto se hace para todos los valores propios de A.
- 14. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 260 CAP´ITULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN 3. Si a´un en el paso anterior no se han conseguido las n soluciones lineal- mente independientes, entonces se buscan los vectores v tales que (A − λI)3 v = 0 y (A − λI)2 v = 0 por lo tanto eAt v = eλt [v + t(A − λI)v + t2 2 (A − λI)2 v] es una nueva soluci´on linealmente independiente de x ′ = A x. 4. Se continua de la misma manera hasta completar n soluciones lineal- mente independientes. Ejemplo 4. Resolver por el m´etodo anterior el problema de valor inicial x ′ = 2 1 2 0 2 −1 0 0 2 x x(0) = 1 3 1 Soluci´on: el polinomio caracter´ıstico de A = 2 1 2 0 2 −1 0 0 2 es p(λ) = (2 − λ)3 luego λ = 2 es un valor propio de A con multiplicidad 3. Hallemos los vectores propios asociados a λ = 2, estos vectores deben satis- facer la ecuaci´on (A − 2I)v = 0 1 2 0 0 −1 0 0 0 v1 v2 v3 = 0 0 0 escalonemos la matriz de coeficientes por reducci´on de filas 0 1 2 0 0 −1 0 0 0 R12(2) −−−→ 0 1 0 0 0 −1 0 0 0
- 15. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 7.3. M´ETODO DE LOS VALORES Y VECT. PROPIOS 261 luego v2 = 0, v3 = 0 y v1 = v1, por lo tanto el vector propio asociado a λ = 2 es 1 0 0 , la soluci´on asociada a este vector propio es x1(t) = e2t v = e2t 1 0 0 , luego la dimensi´on del espacio propio asociado al valor propio λ = 2 es uno, esto quiere decir que debemos hallar un vector v tal que (A − 2I)2 v = 0 y (A − 2I)v = 0 (A − 2I)2 v = 0 1 2 0 0 −1 0 0 0 0 1 2 0 0 −1 0 0 0 v = 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 v1 v2 v3 = 0 0 0 es decir v3 = 0, v1 y v2 son par´ametros; elegimos v1 = 0 y v2 = 1 de tal manera que el vector v = 0 1 0 sea linealmente independiente con el vector v = 1 0 0 hallado anteriormente La soluci´on asociada a v es x2(t) = eλt [v + t(A − λI)v] = e2t [v + t(A − 2I)v] = e2t [ 0 1 0 + t 0 1 2 0 0 −1 0 0 0 0 1 0 ] = e2t [ 0 1 0 + t 1 0 0 ] = e2t t 1 0 como (A − 2I)2 v = 0 tiene dos soluciones linealmente independientes 1 0 0 , 0 1 0
- 16. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 262 CAP´ITULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN se debe buscar otra soluci´on linealmente independiente con las anteriores, que cumpla la condici´on (A − 2I)3 v = 0 y (A − 2I)2 v = 0 (A − 2I)3 v = 0 1 2 0 0 −1 0 0 0 3 v = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 v1 v2 v3 = 0 0 0 luego v1, v2 y v3 son par´ametros, entonces escogemos v = 0 0 1 de tal manera que sea linealmente independiente con 1 0 0 y 0 1 0 y que adem´as cumpla (A − 2I)2 v = 0. Como el sistema es 3 × 3, entonces la ´ultima soluci´on es x3(t) = eλt [v+t(A−λI)v+ t2 2 (A−λI)2 v] = e2t [v+t(A−2I)v+ t2 2 (A−2I)2 v] = e2t [ 0 0 1 + t 0 1 2 0 0 −1 0 0 0 0 0 1 + t2 2 0 1 2 0 0 −1 0 0 0 2 0 0 1 ] = e2t [ 0 0 1 + t 2 −1 0 + t2 2 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ] = e2t [ 0 0 1 + t 2 −1 0 + t2 2 −1 0 0 ] = e2t 2t − t2 2 −t 1 La soluci´on general es x(t) = C1x1(t)+C2x2(t)+C3x3(t) = C1e2t 1 0 0 +C2e2t t 1 0 +C3e2t 2t − t2 2 −t 1 en t = 0 se tiene que x(0) = 1 3 1 = C1 1 0 0 + C2 0 1 0 + C3 0 0 1
- 17. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 7.3. M´ETODO DE LOS VALORES Y VECT. PROPIOS 263 luego C1 = 1, C2 = 3 y C3 = 1 La soluci´on particular buscada es x(t) = e2t 1 + 5t − t2 2 3 − t 1 Nota: en algunos casos el valor propio repetido λ de multiplicidad m puede producir m vectores propios, en otros casos (como en el ejemplo anterior) puede producir menos de m vectores propios, teni´endose que completar el resto (hasta completar m) con los que llamaremos vectores propios genera- lizados. Definici´on 7.6 (Valor propio defectuoso). Un valor propio λ de multipli- cidad m > 1 se le llama defectuoso si produce menos de m vectores propios linealmente independientes. Si λ tiene p < m vectores propios linealmente independientes, al n´umero d = m−p de vectores propios faltantes se le llama el defecto del valor propio defectuoso λ En el ejemplo anterior λ = 2 tiene multiplicidad m = 3 y solo produjo p = 1 vector propio, al n´umero d = m − p = 3 − 1 = 2 de vectores propios faltantes se le llama el defecto del valor propio λ = 2, los dos vectores propios faltantes se consiguen con vectores propios generalizados. Observaciones. 1. Si λ es un valor propio de la matriz A, denominamos vector propio generalizado de rango m asociado a λ, al vector v tal que (A − λI)m v = 0 y (A − λI)m−1 v = 0 Cuando m = 1, el vector v es un vector propio generalizado de rango uno y es tambi´en un vector propio ordinario; cuando m = 2, el vector v es un vector propio generalizado de rango dos, pero no es un vector propio ordinario. Una cadena de longitud m de vectores propios generalizados originados en el vector propio v1 es un conjunto de m vectores propios generaliza-
- 18. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 264 CAP´ITULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN dos {v1, v2, . . . , vm} tales que (A − λI)vm = vm−1 (A − λI)vm−1 = vm−2 ... (A − λI)v2 = v1 (7.16) Si sustituimos vm−1 en la segunda expresi´on de (7.16) y luego vm−2 en la tercera expresi´on y as´ı sucesivamente, tenemos que (A − λI)m−1 vm = v1, (7.17) y como v1 es un vector propio ordinario, entonces premultiplicando (7.17) por (A − λI) se llega a que (A − λI)m vm = (A − λI)v1 = 0 en general para j = 1, . . . , m − 1 : (A − λI)j vm = vm−j (7.18) Utilizando (7.18) se puede mostrar que la cadena {v1, v2, . . . , vm} es un conjunto de vectores linealmente independientes, para ello suponemos que α1v1 + α2v2 + . . . + αmvm = 0 se premultiplica por (A − λI)m−1 y se llega a que αm = 0, en forma similar se demuestra que αm−1 = 0 y as´ı sucesivamente hasta mostrar que α1 = 0 2. Utilizando (7.15) tenemos que x(t) = eλt [vm + t(A − λI)vm+ t2 2! (A − λI)2 vm + . . . + tm−1 (m − 1)! (A − λI)m−1 vm] (7.19) donde vm satisface (A − λI)m vm = 0 y (A − λI)m−1 vm = v1 = 0 y por (7.18) x(t) = eλt [vm + tvm−1 + t2 2! vm−2 + . . . + tm−1 (m − 1)! v1] (7.20)
- 19. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 7.3. M´ETODO DE LOS VALORES Y VECT. PROPIOS 265 Algoritmo para una cadena de longitud m a. Hallar v1 vector propio de A asociado al valor propio λ que satis- face el sistema: (A − λI)v = 0. b. Hallar v2 tal que (A − λI)v2 = v1. c. Hallar vm tal que (A − λI)vm = vm−1. d. La soluci´on asociada a esta cadena es x(t) = eλt [vm + tvm−1 + t2 2! vm−2 + . . . + tm−1 (m − 1)! v1] 3. Consideremos el sistema x′ = a1x + b1y y′ = a2x + b2y (7.21) luego su ecuaci´on caracter´ıstica es p(λ) = det a1 − λ b1 a2 b2 − λ = (a1 − λ)(b2 − λ) − a2b1 = λ2 − (a1 + b2)λ + (a1b2 − a2b1) = 0 (7.22) y supongamos que tiene una ra´ız λ = m con multiplicidad dos. Supongamos tambi´en que v1 = A B es el vector propio asociado a λ = m y que v2 = A1 B1 es el vector propio generalizado de rango dos, asociado al valor propio λ = m, es decir (A − mI)2 v2 = 0 y (A − mI)v2 = v1 = 0 Por tanto las dos soluciones linealmente independientes son x1(t) = emt v1 = emt A B
- 20. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 266 CAP´ITULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN y por (7.20) la segunda soluci´on es x2(t) = emt [v2 + tv1] = emt [ A1 B1 + t A B ] = emt A1 + At B1 + Bt , la soluci´on general es x(t) = x(t) y(t) = C1x1(t) + C2x2(t) = C1emt A B + C2emt A1 + At B1 + Bt (7.23) finalmente x(t) = C1Aemt + C2(A1 + At)emt y(t) = C1Bemt + C2(B1 + Bt)emt (7.24) Teorema 7.3. La matriz X(t)n×n es una matriz fundamental de la E.D. vectorial x ′ = Ax si y solo si satisface la E.D. matricial X′ (t) = AX(t) y adem´as det X(t0) = 0. Demostraci´on: sea X(t) = [x1(t), . . . , xn(t)] una matriz fundamental de x ′ = Ax, entonces x1(t), x2(t), . . . , xn(t) son linealmente independientes y por tanto det X(t0) = 0. Derivando la matriz X(t), tenemos X′ (t) = [x ′ 1(t), x ′ 2(t), . . . , x ′ n(t)] y como AX(t) = [Ax1(t), Ax2(t), . . . , Axn(t)] y sabiendo que Ax1(t) = x ′ 1(t), Ax2(t) = x ′ 2(t), . . . , Axn(t) = x ′ n(t) entonces X′ (t) = [Ax1(t), Ax2(t), . . . , Axn(t)] = AX(t)
- 21. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 7.3. M´ETODO DE LOS VALORES Y VECT. PROPIOS 267 luego X(t) es solucion de la E.D. matricial X′ = AX Rec´ıprocamente como x1(t0), . . . , xn(t0) son linealmente independientes, ya que det X(t0) = 0; entonces por la nota ii. hecha en la p´agina 95 del Cap. IV, tenemos que x1(t), x2(t), . . . , xn(t) son linealmente independientes luego la matriz X(t) = [x1(t), x2(t), . . . , xn(t)] es una matriz fundamental. Teorema 7.4. La matriz eAt es una matriz principal de x ′ = Ax. Demostraci´on: en efecto, eAt es soluci´on de X′ = AX ya que d dt eAt = A eAt y por el teorema anterior eAt es una matriz fundamental, adem´as, eAt = I + At + A2 t2 2 + . . . , y para t = 0 se tiene que eA0 = I. Teorema 7.5. Sean X(t) y Y (t) dos matrices fundamentales de x ′ = Ax, entonces existe una matriz constante Cn×n tal que Y (t) = X(t)C. Demostraci´on: como X(t) = [x1(t), . . . , xn(t)] es fundamental entonces x1, . . . , xn son linealmente independientes. Similarmente como Y (t) = [y1, . . . , yn] es fundamental
- 22. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 268 CAP´ITULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN entonces y1, . . . , yn son linealmente independientes. Como x1, . . . , xn es una base, entonces cada yi se puede expresar como una combinaci´on lineal de esta base, es decir, yi = C1i x1 + . . . + Cni xn = [x1(t), . . . , xn(t)] C1i C2i ... Cni para i = 1, . . . , n, luego Y (t) = [y1, . . . , yn] = [x1(t), . . . , xn(t)] C11 · · · C1n ... ... Cn1 · · · Cnn = X Cn×n donde C = C11 · · · C1n ... ... Cn1 · · · Cnn El siguiente teorema nos permite hallar una matriz exponencial, cono- ciendo una matriz fundamental. Teorema 7.6. Sea X(t) una matriz fundamental de x ′ = Ax entonces eAt = X(t) X−1 (0). Demostraci´on: sea X(t) una matriz fundamental y como eAt es matriz fundamental (principal), entonces, existe Cn×n tal que eAt = X(t)C Para t = 0 ⇒ e0t = I = X(0)C ⇒ C = X−1 (0). Luego eAt = X(t) X−1 (0). Ejemplo 5. Hallar eAt para x ′ = 1 1 1 0 3 2 0 0 5 x
- 23. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 7.3. M´ETODO DE LOS VALORES Y VECT. PROPIOS 269 Soluci´on: Hallamos los valores propios, que en este caso son: λ = 1, λ = 3, λ = 5 Para λ = 1 ⇒ v1 = 1 0 0 ⇒ x1(t) = et 1 0 0 = et 0 0 Para λ = 3 ⇒ v2 = 1 2 0 ⇒ x2(t) = e3t 1 2 0 = e3t 2e3t 0 Para λ = 5 ⇒ v3 = 1 2 2 ⇒ x3(t) = e5t 1 2 2 = e5t 2e5t 2e5t y por Teorema 7.2 x1(t), x2(t), x3(t) son linealmente independientes. Luego X(t) = et e3t e5t 0 2e3t 2e5t 0 0 2e5t es la matriz fundamental. Luego X(0) = 1 1 1 0 2 2 0 0 2 ⇒ X−1 (0) = 1 −1 2 0 0 1 2 −1 2 0 0 1 2 Luego eAt = X(t) X−1 (0) = et e3t e5t 0 2e3t 2e5t 0 0 2e5t 1 −1 2 0 0 1 2 −1 2 0 0 1 2 = et −et 2 + e3t 2 −e3t 2 + e5t 2 0 e3t −e3t + e5t 0 0 e5t Ejercicios. En los siguientes ejercicios, hallar la soluci´on general para x ′ = A x y con el Wronskiano comprobar que los vectores soluci´on son linealmente independientes. 1. A = 8 −3 16 −8
- 24. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 270 CAP´ITULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN (Rta.: x(t) = C1 3 4 e4t + C2 1 4 e−4t ) 2. A = 12 −15 4 −4 (Rta.: x(t) = C1 3 2 e2t + C2 5 2 e6t ) 3. A = 4 5 −4 −4 (Rta.: x(t) = C1[ 5 −4 cos 2t− 0 2 sen 2t]+C2[ 0 2 cos 2t+ 5 −4 sen 2t]) 4. A = 1 0 0 2 1 −2 3 2 1 (Rta.: x(t) = C1 2 −3 2 et + C2et [ 0 1 0 cos 2t − 0 0 −1 sen 2t] + C3et [ 0 0 −1 cos 2t + 0 1 0 sen 2t]) 5. x ′ = −2 1 −1 −4 x (Rta.: λ = −3(mult.2),vector propio v = [1 − 1]T , x1(t) = (C1 + C2 + C2t)e−3t , x2(t) = (−C1 − C2t)e−3t ) 6. x ′ = −3 0 −4 −1 −1 −1 1 0 1 x (Rta.: λ = −1(mult.3) defectuoso, x1(t) = (−2C2+C3−2C3t)e−t , x2(t) = (C1 − C2 + C2t − C3t + 1 2 C3t2 )e−t , x3(t) = (C2 + C3t)e−t ) 7. A = 0 1 −4 4 (Rta.: x(t) = C1 1 2 e2t + C2 1 − 2t −4t e2t )
- 25. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 7.4. VARIACI´ON DE PAR´AMETROS 271 7.4. VARIACI´ON DE PAR´AMETROS En el cap´ıtulo 4. vimos que la soluci´on general de una E.D. lineal no homog´enea ten´ıa dos partes que eran xh y xp y la soluci´on general era x(t) = xh + xp. Lo mismo nos sucede cuando tenemos una E.D. lineal vectorial no homog´enea x ′ = Ax + f(t), su soluci´on general es de la forma x = xh + xp, donde xh es la soluci´on a la homog´enea asociada x ′ = Ax y esta expresada por xh = c1x1 + c2x2 + · · · + cnxn El objetivo en esta secci´on es hallar la soluci´on particular xp de la ecuaci´on no homog´enea, para ello utilizamos el m´etodo de varaci´on de par´ametros, de la misma manera como lo hicimos en el cap´ıtulo 4. Consideremos la E.D. vectorial no homog´enea: x ′ = Ax + f(t). (7.25) Sean x1(t), . . . , xn(t) las soluciones linealmente independientes de la ho- mog´enea asociada, o sea que xh(t) = C1x1(t) + . . . + Cnxn(t) = [x1, x2, · · · , xn] C1 ... Cn = X(t)C y variando los par´ametros C1, C2, . . . , Cn tenemos x(t) = u1(t)x1(t)+. . .+un(t)xn(t) = [x1(t), x2(t), · · · , xn(t)] u1(t) ... un(t) = Xu, la cual suponemos que es una soluci´on de x ′ = Ax + f(t). Luego , x(t) = X(t)u(t), donde X(t) = [x1(t), . . . , xn(t)] y u(t) = u1(t) ... un(t) Como x ′ (t) = d dt (X(t)u(t)) = X′ (t)u(t) + X(t)u ′ (t),
- 26. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 272 CAP´ITULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN Ax + f(t) = AX(t) X′ u(t) + f(t) = X′ (t)u(t) + f(t) Sustituimos en (7.25) y cancelando, obtenemos: X(t)u ′ (t) = f(t) Premultiplicando por X−1 (t) : u ′ (t) = X−1 (t)f(t) u(t) = X−1 (t) f(t) dt + C, donde C = C1 ... Cn (7.26) luego x(t) = Xu = X(t) X−1 (t) f(t) dt + C = X(t) X−1 (t) f(t) dt + X(t)C como xh(t) = X(t)C, entonces xp = X(t) X−1 (t) f(t) dt y la soluci´on gene- ral es x = xh + xp = X(t)C + X(t) X−1 (t) f(t) dt, (7.27) Para resolver el problema de valor inicial: x′ (t) = Ax(t) + f(t) con x(t0) = x0, como x(t0) = x0 = X(t0)C + X(t0) X−1 (t) f(t) dt t=t0 despejando C = X−1 (t0)x0 − X−1 (t) f(t) dt t=t0 y sustituyendo en la solu- ci´on general x = X(t) X−1 (t0)x0 − X−1 (t) f(t) dt t=t0 + X(t) X−1 (t) f(t) dt = X(t)X−1 (t0)x0 − X(t) X−1 (t) f(t) dt t=t0 + X(t) X−1 (t) f(t) dt t = = X(t)X−1 (t0)x0 + X(t) t t0 X−1 (s) f(s) ds
- 27. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 7.4. VARIACI´ON DE PAR´AMETROS 273 en resumen, la soluci´on al problema de valor inicial es x(t) = X(t) X−1 (t0) x0 + X(t) t t0 X−1 (s) f(s) ds (7.28) En particular si X(t) = eAt ⇒ X−1 (t) = e−At ⇒ X−1 (t0) = e−At0 entonces x(t) = eAt e−At0 x0 + eAt t t0 e−As f(s) ds o sea que x(t) = eA(t−t0) x0 + t t0 eA(t−s) f(s) ds (7.29) Ejemplo 6. Utilizar (7.28) para resolver el sistema: x ′ = 6 −3 2 1 x + e5t 4 , x(0) = 9 4 Soluci´on: para resolver este ejercicio, utilizaremos el siguiente resultado del ´algebra lineal: a b c d −1 = 1 ad−bc d −b −c a . Los valores propios de la matriz A son: λ = 3, λ = 4 Los vectores propios linealmente independientes son: v1 = 1 1 , v2 = 3 2 Las soluciones vectoriales linealmente independientes son: x1(t) = e3t 1 1 = e3t e3t , x2(t) = e4t v2 = e4t 3 2 = 3e4t 2e4t Luego la matriz fundamental y su inversa en t´erminos de s son: X(t) = e3t 3e4t e3t 2e4t , X−1 (s) = −2e−3s 3e−3s e−4s −e−4s
- 28. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 274 CAP´ITULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN Pasos: a) hallemos: X(t) t t0=0 X−1 (s) f(s) ds = e3t 3e4t e3t 2e4t t 0 −2e−3s 3e−3s e−4s −e−4s e5s 4 ds = e3t 3e4t e3t 2e4t t 0 −2e2s + 12e−3s es − 4e−4s ds = e3t 3e4t e3t 2e4t −e2t − 4e−3t + 5 et + e−4t − 2 = 2e5t − 1 + 5e3t − 6e4t e5t − 2 + 5e3t − 4e4t = 5 e3t e3t − 2 3e4t 2e4t + 2e5t − 1 e5t − 2 = 5x1(t) − 2x2(t) + xp Luego la soluci´on particular es xp = 2e5t − 1 e5t − 2 b) Hallemos X(t) X−1 (0)x0 e3t 3e4t e3t 2e4t −2 3 1 −1 9 4 = e3t 3e4t e3t 2e4t −6 5 = −6e3t + 15e4t −6e3t + 10e4t De a) y b): x(t) = X(t) X−1 (0) x0 + X(t) t 0 X−1 (s) f(s) ds = = −6e3t + 15e4t −6e3t + 10e4t + 2e5t − 1 + 5e3t − 6e4t e5t − 2 + 5e3t − 4e4t = −e3t + 9e4t + 2e5t − 1 −e3t + 6e4t + e5t − 2
- 29. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 7.4. VARIACI´ON DE PAR´AMETROS 275 Ejercicios. 1. Hallar la soluci´on particular del siguiente sistema: x ′ = 6 −7 1 −2 x + 2t 3 . (Rta.: x(t) = 1 150 666 − 120t − 575e−t − 91e5t 588 − 60t − 575e−t − 13e5t ) 2. Hallar la soluci´on particular del siguiente sistema: x ′ = 3 −2 2 3 x + 0 e3t cos 2t . (Rta.:x(t) = 1 4 e3t −2t sen 2t sen 2t + 2t cos 2t ) 3. Hallar la soluci´on general del siguiente sistema: x′ = 4y + 1, y′ = −x + 2 (Ayuda: utilizar el resultado 7.27) (Rta.: x = −2C1 cos 2t+2C2 sen 2t+2; y = C2 cos 2t+C1 sen 2t− 1 4 ) 4. Hallar la soluci´on general del siguiente sistema: x′ = −y + t, y′ = x − t (Ayuda: utilizar el resultado 7.27) (Rta.: x = C1 cos t − C2 sen t + 1 + t; y = C2 cos t + C1 sen t − 1 + t) 5. Sean ϕ1(t) una soluci´on de x ′ = Ax + b1(t), ϕ2(t) una soluci´on de x ′ = Ax+b2(t), · · · , ϕn(t) una soluci´on de x ′ = Ax+bn(t). Demostrar que ϕ1(t) + ϕ2(t) + · · · + ϕn(t) es una soluci´on de x ′ = Ax + b1(t) + b2(t) + · · · + bn(t). A este resultado tambi´en se le llama principio de superposici´on. 6. Sea b(t) = m k=1 bkeiβkt . (o sea una suma finita de entradas peri´odicas). Suponga que iβk no es ra´ız de la ecuaci´on caracter´ıstica de A para k = 1, 2, · · · , m. Usar el principio de superposici´on del ejercicio anterior para mostrar que la soluci´on x(t) de la ecuaci´on x ′ = Ax+b(t) se puede escribir en la forma x(t) = m k=1 xkeiβkt .
- 30. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 276 CAP´ITULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN 7. Si las ecuaciones del movimiento de una part´ıcula de masa m que se mueve en el plano XY son m d2 x dt2 = f(t, x, y), m d2 y dt2 = g(t, x, y) donde f y g son las componentes en x y y de la fuerza que act´ua sobre la part´ıcula. Reemplazar este sistema de dos ecuaciones de segundo orden por un sistema de cuatro ecuaciones de primer orden. (Sugerencia: haga x = x, y = y, x′ = vx, y′ = vy, donde vx y vy son las componentes en x y en y de la velocidad). 7.5. TRANSFORMADA DE LAPLACE PA- RA SISTEMAS Definici´on 7.7. Si x(t) = x1(t) ... xn(t) ⇒ £{x(t)}(s) def. = X(s) = ∞ 0 e−st x1(t) dt ... ∞ 0 e−st xn(t) dt Y si f(t) = f1(t) ... fn(t) ⇒ F(s) = £{f(t)}(s) = F1(s) ... Fn(s) = ∞ 0 e−st f1(t) dt ... ∞ 0 e−st fn(t) dt Sea el P.V.I. x ′ (t) = Ax(t) + f(t), x(0) = x0. Luego £{x ′ (t)}(s) = £{Ax(t) + f(t)} = A£{x(t)}(s) + £{f(t)}(s) = AX(s) + F(s) (7.30) Pero £{x ′ (t)} = £{x1 ′ }(s) ... £{xn ′ }(s) = sX1(s) − x1(0) ... sXn(s) − xn(0) = sX(s) − x(0) en (7.30): sX(s) − x(0) = AX(s) + F(s) Luego (sI − A) X(s) = x(0) + F(s) = x0 + F(s)
- 31. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 7.5. TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA SISTEMAS277 Ejemplo 7. Resolver el problema de valor inicial. x ′ = 1 4 1 1 x + 1 1 et , x(0) = 2 1 £{x ′ }(s) = 1 4 1 1 £{x}(s) + 1 1 £{et }(s) sX(s) − x(0) = 1 4 1 1 X(s) + 1 s − 1 1 1 sI − 1 4 1 1 X(s) = x(0) + 1 s − 1 1 1 = 2 1 + 1 s − 1 1 1 s − 1 −4 −1 s − 1 X1(s) X2(s) = 2 + 1 s−1 1 + 1 s−1 ⇒ (s − 1)X1(s) − 4X2(s) = 2 + 1 s − 1 −X1(s) + (s − 1)X2(s) = 1 + 1 s − 1 Resolviendo el anterior sistema para X1(s), X2(s): X1(s) = − 1 s − 1 + 11 4 1 s − 3 + 1 4 1 s + 1 X2(s) = − 1 4 1 s − 1 + 11 8 1 s − 3 − 1 8 1 s + 1 x1(t) = £−1 {X1(s)} = −£−1 1 s − 1 + 11 4 £−1 1 s − 3 + 1 4 £−1 1 s + 1 = −et + 11 4 e3t + 1 4 e−t x2(t) = £−1 {X2(s)} = − 1 4 £−1 1 s − 1 + 11 8 £−1 1 s − 3 − 1 8 £−1 1 s + 1)
- 32. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 278 CAP´ITULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN = − 1 4 et + 11 8 e3t − 1 8 e−t Usar la transformada de Laplace para resolver los siguientes sistemas de E.D. 1. dx dt = −x + y dy dt = 2x, x(0) = 0, y(0) = 1 (Rta.: x(t) = −1 3 e−2t + 1 3 et , y(t) = 1 3 e−2t + 2 3 et ) 2. dx dt = 2y + et dy dt = 8x − t, x(0) = 1, y(0) = 1 (Rta.: x = 173 192 e4t + t 8 − et 15 + 53 320 e−4t , y = 1 16 − 53 160 e−4t − 8 15 et + 173 96 e4t ) 3. dx dt = x − 2y dy dt = 5x − y, x(0) = −1, y(0) = 2 (Rta.: x = − cos 3t − 5 3 sen 3t, y = 2 cos 3t − 7 3 sen 3t) 4. Dos pesos de 96 libras y 64 libras se mueven horizontalmente en una superficie lisa, cada resorte tiene k = k1 = k2 = 600. En t = 0 los resortes est´an sin estirar y el de peso 96 tiene una velocidad de 600 pies/seg. alej´andose del muro y el otro esta en reposo. Encontrar las E.D. del movimiento y la posici´on en el tiempo t. (Ver Cap´ıtulo 4 figura 4.16) (Rta.: m1 d2x dt2 = −k1x + k2(y − x), m2 d2y dt2 = −k2(y − x) x = 24 sen 10t + 6 √ 6 sen √ 600t, y = 36 sen 10t − 6 √ 6 sen √ 600t) Ejercicio 5. Hallar las E.D. del sistema de resortes acoplados con constantes k1 y k2 y masas m1 y m2 respectivamente, como se muestra en la figura 4.14; resolverla con k1 = k2 = k3 = 1, m1 = m2 = 1 y x(0) = 0, y(0) = 0, x′ (0) = −1, y′ (0) = 1 (Rta.: x = −1 2 et + 1 2 e−t , y = 1 2 et − 1 2 e−t )
- 33. UniversidaddeAntioquia,InstitutodeMatematicas 7.6. ANEXO CON EL PAQUETE MAPLE 279 7.6. ANEXO CON EL PAQUETE Maple Ejemplo 8. Con el paquete Maple, hallar la soluci´on general y la soluci´on que cum- ple la condici´on inicial, del sistema: x′ 1 = −4x1 − x2 x′ 2 = x1 − 2x2 con x1(0) = 1, x2 = 2 Soluci´on general: >sys1 :=[diff(x(t),t)=-4*x(t)-y(t), diff(y(t),t)=x(t)-2*y(t)]; sys1 := [x′ = −4 ∗ x − y, y′ = x − 2 ∗ y] >sol1 := dsolve(sys1); sol1 := {x (t) = e−3 t ( C1 + C2 t) , y (t) = −e−3 t ( C1 + C2 t + C2)} La soluci´on que cumple la condici´on inicial: >dsolve( {diff(x(t),t) =-4*x(t)- y(t), diff(y(t),t) = x(t)-2*y(t),x(0)=1, y(0)=2},{x(t),y(t)}); La soluci´on es {y(t) = -exp(-3 t) (-2 - 3 t), x(t) = exp(-3 t) (1 - 3 t)}