Cap1
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1) Se define una ecuación diferencial (E.D.) como una ecuación que contiene derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. 2) Se distinguen las E.D. ordinarias (E.D.O.), que contienen derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, de las ecuaciones en derivadas parciales, que contienen derivadas parciales. 3) Se presentan ejemplos de E.D.O. lineales y no lineales,
![1.1. CAMPO DE DIRECCIONES
1.1. CAMPO DE DIRECCIONES
Dada la E.D. y = f (x, y) y sabiendo que la primera derivada representa
una direcci´n en el plano XY , podemos por lo tanto asociar a cada punto
o
(x, y) una direcci´n. A este conjunto de direcciones lo llamamos el campo de
o
direcciones o campo pendiente de la E.D. y = f (x, y). Este campo de di-
recciones nos permite inferir propiedades cualitativas de las soluciones, como
por ejemplo si son asint´ticas a una recta, si son cerradas o abiertas, etc..
o
Con el paquete Maple haremos un ejemplo.
as
Ejemplo 14. Hallar el campo de direcciones de la E.D. y = −2x2 + y 2 y
atic
cuatro curvas soluci´n de la E.D. que pasan por los puntos (0, 2), (0, 0), (0, 1),
o
(0, −1) respectivamente.
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> with(DEtools):
eM
DEplot (diff(y(x),x)=-2*x^2+y(x)^2,y(x),x=-2..2,color=black,
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Figura 1.1
5](https://image.slidesharecdn.com/cap1-100711180528-phpapp02/85/Cap1-5-320.jpg)
Cap1
- 1. CAP´ ITULO 1 INTRODUCCION as atic atem eM Definici´n 1.1 . Si una ecuaci´n contiene las derivadas o las diferenciales o o de una o m´s variables dependientes con respecto a una o m´s variables a a o. d independientes, se dice que es una ecuaci´n diferencial (E.D.). o o ept Si la ecuaci´n contiene derivadas ordinarias de una o m´s variables dependi- a entes con respecto a una sola variable independiente entonces la ecuaci´n se o ,D dice que es una ecuaci´n diferencial ordinaria (E.D.O.). o uia dy Ejemplo 1. 3 dx + 4y = 5 tioq Ejemplo 2. (x2 − y)dx + 5 sen y dy = 0 An Ejemplo 3. u du + v dx = x dv de dx ad Si la ecuaci´n contiene derivadas parciales de una o m´s variables depen- o a rsid dientes con respecto a una o m´s variables independientes, se dice que es una a ecuaci´n en derivadas parciales. o ive ∂u ∂v Ejemplo 4. = − ∂x Un ∂y ∂2u Ejemplo 5. ∂x∂y =y−x Definici´n 1.2 (Orden). La derivada o la diferencial de m´s alto orden o a 1
- 2. CAP´ ITULO 1. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE, PROF.JAIME ESCOBAR A. determina el orden de la E.D. d3 y 2 Ejemplo 6. dx3 + x2 dxy + x dx = ln x, es de orden 3. d 2 dy dy y Ejemplo 7. xdy − ydx = 0 =⇒ dx = x , la cual es de orden 1. Definici´n 1.3 (E.D.O. lineal) Una E.D. es lineal si tiene la forma: o as d yn d y n−1 dy an (x) dxn + an−1 (x) dxn−1 + . . . + a1 (x) dx + a0 (x)y = g(x) atic Es decir, la variable dependiente y y todas sus derivadas tienen exponente atem uno y cada coeficiente a0 (x), a1 (x), . . . , an (x), g(x), depende solo de x. Si no se cumple lo anterior se dice que la E.D. no es lineal. eM 3 2 Ejemplo 8. x2 dxy + cos x dxy + sen x dx + x2 y = ex es lineal de orden 3. d d dy o. d 3 2 3 Ejemplo 9. sen x dxy + xy 2 = 0 no es lineal. d 3 ept ,D 2 Ejemplo 10. y 2 dxy + y dx + xy = x no es lineal. d 2 dy uia tioq Definici´n 1.4 . Se dice que una funci´n f con dominio en un intervalo I o o es soluci´n a una E.D. en el intervalo I, si la funci´n satisface la E.D. en el o o An intervalo I. de ad Ejemplo 11. x = y ln(cy) es soluci´n de y (x + y) = y o rsid dy 1 dy En efecto, derivando impl´ ıcitamente: 1 = dx ln(cy) + y cy c dx ive dy dy 1 1= (ln(cy) + 1), luego = Un dx dx ln(cy)+1 Sustituyendo en la ecuaci´n diferencial: o y ln(cy) + y y(ln (cy) + 1) = = y, ln (cy) + 1 ln (cy) + 1 2
- 3. luego y = y por tanto x = y ln (cy) es soluci´n. o Una E.D. acompa˜ada de unas condiciones iniciales se le llama un pro- n blema de valor inicial (P.V.I.). Con frecuencia es importante saber si un pro- blema de valor inicial tiene soluci´n y tambi´n deseamos saber si esta soluci´n o e o es unica, aunque no podamos conseguir explcitamente la soluci´n. El si- ´ o guiente teorema nos responde las inquietudes que acabamos de plantear.Este teorema lo enunciamos y demostramos con m´s profundidad en el Ap´ndice a e as al final del texto. atic Teorema 1.1 (Picard) atem Sea R una regi´n rectangular en el plano XY definida por o a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d que contiene al punto (x0 , y0 ) en su interior. Si f (x, y) y ∂f son continuas en R, entonces existe un intervalo I con cen- eM ∂y tro en x0 y una unica funci´n y(x) definida en I que satisface el problema ´ o o. d de valor inicial y = f (x, y), y(x0 ) = y0 . Ejemplo 12. Para la E.D. y = x2 + y 2 , se tiene que f (x, y) = x2 + y 2 y ept ∂f = 2y son continuas en todo el plano XY , por lo tanto por cualquier punto ,D ∂y (x0 , y0 ) del plano XY pasa una y solo una soluci´n de la E.D. anterior. Es o uia importante anotar que para esta E.D. es imposible hallar una soluci´n expl- o cita; slo con m´todos num´ricos se puede hallar la soluci´n. e e o tioq Ejercicio 1. Demostrar que y = c1 cos 5x es soluci´n de y + 25y = 0. o An 2 x t2 2 Ejercicio 2. Demostrar que y = e−x e dt + c1 e−x es soluci´n de o de 0 y + 2xy = 1. ad x sen t rsid Ejercicio 3. Demostrar que y = x 0 t dt es soluci´n de o xy = y + x sen x. ive x Ejercicio 4. Demostrar que y = e− 2 es soluci´n de 2y + y = 0, tambi´n o e Un y = 0 es soluci´n. o Nota: si todas las soluciones de la E.D. F (x, y, y , . . . , y (n) ) = 0 en un in- tervalo I pueden obtenerse de G(x, y, C1 , . . . , Cn ) mediante valores apropia- dos de Ci , entonces a G se le llama la soluci´n general; una soluci´n que no o o contenga los par´metros Ci se le llama la soluci´n particular; una soluci´n a o o 3
- 4. CAP´ ITULO 1. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE, PROF.JAIME ESCOBAR A. que no pueda obtenerse a partir de la soluci´n general se le llama soluci´n o o singular. Veremos m´s adelante que la soluci´n general a una E.D. lineal de orden n a o tiene n par´metros. En las E.D. no lineales a veces no es posible obtener a explcitamente una soluci´n general. o Ejemplo 13. y = Cx4 es soluci´n general de xy − 4y = 0. o Con C = 1 entonces la soluci´n particular es y = x4 . o as Tambi´n e atic x4 x≥0 f (x) = −x4 x<0 atem es una soluci´n singular, porque no se puede obtener a partir de la soluci´n o o eM general. o. d 1 Ejercicio 5. Si y − xy 2 = 0, demostrar 2 a). y = ( x + C)2 es soluci´n general. 4 o ept ,D x4 b). Si C = 0 mostrar que y = 16 es soluci´n particular. o uia c). Explicar porqu y = 0 es soluci´n singular. o tioq Ejercicio 6. Si y = y 2 − 1, demostrar An 1+Ce2x a). y = 1−Ce2x es soluci´n general. o de b). Explicar porqu y = −1 es soluci´n singular. o ad Ejercicio 7. Si xy + 1 = ey , comprobar que e−y − Cx = 1 es soluci´n o rsid general. ive Ejercicio 8. Si 2xy dx + (x2 + 2y) dy = 0, comprobar que x2 y + y 2 = C1 es soluci´n general. o Un Ejercicio 9. Si (x2 + y 2 ) dx + (x2 − xy) dy = 0, comprobar que y C1 (x + y)2 = xe x , es soluci´n general. o Ejercicio 10. Si xy + 1 = ey , comprobar que e−y − Cx = 1 es soluci´n o general. 4
- 5. 1.1. CAMPO DE DIRECCIONES 1.1. CAMPO DE DIRECCIONES Dada la E.D. y = f (x, y) y sabiendo que la primera derivada representa una direcci´n en el plano XY , podemos por lo tanto asociar a cada punto o (x, y) una direcci´n. A este conjunto de direcciones lo llamamos el campo de o direcciones o campo pendiente de la E.D. y = f (x, y). Este campo de di- recciones nos permite inferir propiedades cualitativas de las soluciones, como por ejemplo si son asint´ticas a una recta, si son cerradas o abiertas, etc.. o Con el paquete Maple haremos un ejemplo. as Ejemplo 14. Hallar el campo de direcciones de la E.D. y = −2x2 + y 2 y atic cuatro curvas soluci´n de la E.D. que pasan por los puntos (0, 2), (0, 0), (0, 1), o (0, −1) respectivamente. atem > with(DEtools): eM DEplot (diff(y(x),x)=-2*x^2+y(x)^2,y(x),x=-2..2,color=black, {[0,2],[0,0],[0,1],[0,-1]},y=-2..2,linecolor=black); o. d ept ,D 2 uia tioq 1 An de y(x)0 -2 -1 0 1 2 ad x rsid -1 ive Un -2 Figura 1.1 5
- 6. CAP´ ITULO 1. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE, PROF.JAIME ESCOBAR A. 1.2. ´ ECUACION DE CONTINUIDAD Para finalizar este Cap´ ıtulo, es importante hacer un corto comentario so- bre la ecuaci´n de continuidad; con ella se construyen modelos de fen´menos o o en diferentes areas del conocimiento que dependen del tiempo, dando como ´ resultado una o varias Ecuaciones Diferenciales. La ecuaci´n de continuidad o nos dice que la tasa de acumulaci´n de una variable x en un recipiente (el o cual puede ser un tanque, un organo humano, una persona, una ciudad, un ´ banco, una universidad, un sistema ecol´gico, etc.) es igual a su tasa de en- o as trada menos su tasa de salida; tanto la tasa de entrada como la tasa de salida atic pueden ser constantes o variables. atem Si la variable es x y la tasa de entrada es E(t) y la tasa de salida es S(t) entonces la tasa de acumulaci´n es o eM dx = E(t) − S(t). dt o. d Ejemplo 15. La concentraci´n de glucosa en la sangre aumenta por ingesta o ept de comidas ricas en azucares, si se suministra glucosa a una raz´n constante o R (en mg/minuto). Al mismo tiempo, la glucosa se transforma y se elimina ,D a una tasa proporcional a la concentraci´n presente de glucosa. Si C(t) re- o uia presenta la concentraci´n de glucosa en un instante t, entonces E(t) = R y o S(t) = kC(t), entonces por la ecuaci´n de continuidad, la Ecuaci´n Diferen- o o tioq cial que rige este fen´meno es o An dC(t) = E(t) − S(t) = R − kC(t). dt de ad rsid ive Un 6