Introducción a las ecuaciones diferenciales
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Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales de primer orden. Explica que las ecuaciones diferenciales surgen de modelos matemáticos que describen fenómenos físicos. Define formalmente una ecuación diferencial y clasifica las ecuaciones diferenciales ordinarias por su orden y linealidad. También proporciona ejemplos de aplicaciones de ecuaciones diferenciales en circuitos eléctricos, astrofísica y psicología.
Introducción a las ecuaciones diferenciales
- 1. Universidad Autónoma de Baja California UABC Facultad de Ingeniería Mexicali Curso 4352 Ecuaciones Diferenciales UNIDAD I Ecuaciones diferenciales de primer orden 1.1 Introducción y Definiciones Básicas En el estudio de las ciencias e ingeniería se desarrollan modelos matemáticos para ayudar a comprender fenómenos físicos. Estos modelos a menudo dan lugar a una ecuación que contiene ciertas derivadas de una función incógnita. A una ecuación de este tipo se le denomina ecuación diferencial. Desde los primeros pasos en el cálculo diferencial, de todos es conocido que, dada una función y = f (x) , su derivada dy = f ′( x) = y ′ es también una función que se puede dx encontrar mediante ciertas reglas. Por ejemplo: − x3 dy 3 dy si y = e , entonces = −3 x 2 e − x o, lo que es mismo, = −3 x 2 y dx dx El problema al que nos enfrentamos ahora no es el de calcular derivadas de funciones; más bien, el problema consiste en que si se da una ecuación como dy = −3 x 2 y , dx debemos encontrar de alguna manera una función y = f (x) que satisfaga dicha ecuación. En una palabra, se desea resolver ecuaciones diferenciales. Obviamente la forma de ecuación diferencial más sencilla que puede pensarse es dy = f (x) , ya que resolverla consistiría en encontrar una función cuya derivada sea dx f (x) , es decir, encontrar las integrales indefinidas de f (x) . Por tanto, podemos decir que los métodos de resolución de ecuaciones diferenciales constituyen una generalización del cálculo de integrales indefinidas. Tomando en cuenta lo anterior, podemos formular dos conceptos de una ecuación diferencial. Curso Ecuaciones Diferenciales
- 2. Universidad Autónoma de Baja California UABC Facultad de Ingeniería Mexicali Concepto 1. Ecuación Diferencial Llamamos ecuación diferencial (E.D.) a una ecuación que relaciona una función (o variable dependiente), su variable o variables (variables independientes), y sus derivadas. Concepto 2. Ecuación Diferencial Una ecuación que contiene las derivadas de uno o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes es una ecuación diferencial. Las ecuaciones diferenciales surgen en diversas áreas del conocimiento, que incluyen no sólo las ciencias físicas, sino también campos diversos tales como la economía, medicina, psicología e investigación de operaciones. Hacer una lista de todos los casos sería una labor muy ardua, así que nos limitaremos al análisis de unos cuantos ejemplos específicos. 1.- Una aplicación clásica de las ecuaciones diferenciales se presenta en el estudio de un circuito eléctrico que consiste en resistores, inductores y capacitares, al cual se aplica una fuerza electromotriz. En este caso, una aplicación de las leyes de Kirchhoff conduce a la ecuación: d 2q dq 1 (1) L 2 +R + q = E (t ) dt dt C donde L es la inductancia, R la resistencia, C la capacitancia, E(t) la fuerza electromotriz, q(t) la carga y t el tiempo. 2.- En el estudio del equilibrio gravitacional de una estrella, una aplicación de la ley de Newton de la gravedad y la de Stefan-Boltzmann para los gases da lugar a la ecuación de equilibrio: 1 d ⎛ r 2 dP ⎞ (2) ⎜ ⎟ = −4πG r 2 dr ⎜ ρ dr ⎟ ⎝ ⎠ donde P es la suma de la presión cinética del gas y la presión de radiación, r es la distancia desde el centro de la estrella, ρ es la densidad de la materia, y G es la constante gravitacional. 3.- En psicología, en un modelo del aprendizaje de una tarea interviene la ecuación dy dt 2p (3) 3 = 3 y (1 − y ) 2 2 n Curso Ecuaciones Diferenciales
- 3. Universidad Autónoma de Baja California UABC Facultad de Ingeniería Mexicali Aquí la variable y representa el estado del estudiante o su nivel de habilidad como una función del tiempo t. las constantes p y n dependen del individuo considerado y de la naturaleza de la tarea. Para iniciar el estudio de las ecuaciones diferenciales se requiere de una terminología común que nos permita identificarlas y clasificarlas. Si una ecuación contiene la derivada de una variable con respecto a otra, entonces la primera se llama variable dependiente y la segunda es una variable independiente. De esta manera en la ecuación: d 2x dx (4) 2 + a + kx = 0 dt dt t es la variable independiente y x es la variable dependiente. Las constantes a y k presentes en la ecuación anterior se denominan parámetros o coeficientes. En la siguiente ecuación ∂u ∂u (5) − = x − 2y ∂x ∂y x y y son las variables independientes, y u es una variable dependiente. ∂u Nota: recordar que el la simbología representa una derivada parcial. ∂x Clasificación de las ED’s de acuerdo a su tipo Una ecuación diferencial que contiene derivadas ordinarias con respecto a una variable independiente se denomina ecuación diferencial ordinaria (llamaremos a este tipo de ecuaciones EDO’s). Una ecuación diferencial que contiene derivadas parciales con respecto a más de una variable independiente es una ecuación diferencial parcial. Obsérvese que la ecuación (4) es una ecuación diferencial ordinaria, mientras que la ecuación (5) es clasificada como una diferencial parcial. Es importante señalar que a lo largo de este curso nos enfocaremos solo sobre las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Clasificación de las ED’s según el orden El orden de una ecuación diferencial es el correspondiente a las derivadas mayores presentes en la ecuación. La ecuación (4) es de segundo orden, ya que existe un segunda derivada en esa ecuación y es la derivada de mayor orden presente. La ecuación (6) es de primer orden, ya que solamente ocurren derivadas parciales de primer orden. Curso Ecuaciones Diferenciales
- 4. Universidad Autónoma de Baja California UABC Facultad de Ingeniería Mexicali Clasificación de las EDO’s de acuerdo a su linealidad Resultará útil clasificar las ecuaciones diferenciales ordinarias como lineales o no lineales. Una ecuación diferencial lineal es aquella que se puede expresar en la forma: dny d n −1 y dy (6) a n ( x) n + a n −1 ( x) n −1 + ... + a1 ( x) + a 0 ( x) y = F ( x) dx dx dx donde an(x),an-1(x),…,a0(x) y F(x) dependen sólo de la variable independientes, y no de y. Si una ecuación diferencial ordinaria no es lineal, entonces se llama no lineal. Por ejemplo: d2y (7) 2 + y = x2 dx es una ecuación diferencial lineal ordinaria de segundo orden, mientras que: d2y (8) + sen( y ) = 0 d 2x es una ecuación diferencial no lineal, debido al término sen (y). Esta ecuación también es de segundo orden. Curso Ecuaciones Diferenciales