1 4 Variables Separables
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Este documento describe el método para resolver ecuaciones diferenciales separables. Explica que una ecuación es separable si se puede escribir como dy/dx = g(x)p(y), donde g(x) depende solo de x y p(y) depende solo de y. Luego, detalla los pasos para integrar ambos lados y obtener la solución en forma implícita H(y)=G(x)+C. Proporciona ejemplos resueltos para ilustrar el método.
1 4 Variables Separables
- 1. Universidad Autónoma de Baja California UABC Facultad de Ingeniería Mexicali 1.4 Variables Separables Una clase sencilla de ecuaciones diferenciales que se pueden resolver utilizando integración es la de las ecuaciones separables. Este método es considerado por muchos el más sencillo, sin embargo, la sencillez lleva sus limitantes, veamos un concepto importante. DEFINICION Ecuación separable Si el segundo miembro de una ecuación expresada de la forma dy = f ( x, y ) dx se puede expresar como una función que depende solamente de x, multiplicada por una función que depende solamente de y; entonces, la ecuación diferencial se llama separable. De acuerdo a lo anterior, una ecuación diferencial es separable solo si se puede escribir en la siguiente forma dy = g ( x) p( y ) dx Por ejemplo, veamos la ecuación dy 2 x + xy = 2 dx y +1 es separable ya que factorizando el numerador, podemos obtener lo siguiente: 2 x + xy ⎛ 2+ y ⎞ = (x )⎜ 2 ⎜ y + 1 ⎟ = g ( x) p( y ) ⎟ y +1 2 ⎝ ⎠ Sin embargo, la ecuación dy = 1 + xy dx no admite tal factorización en el segundo miembro y , por consiguiente, no es separable. Método para resolver ecuaciones separables Para resolver una ecuación diferencial de la forma: dy = g ( x) p( y ) dx Pasamos el término p(y) al primer miembro de la ecuación de tal manera que nos queda así: 1 dy = g ( x) p ( y ) dx 1 Por conveniencia expresaremos el término como h(y); lo que nos queda así: p( y) Curso Ecuaciones Diferenciales
- 2. Universidad Autónoma de Baja California UABC Facultad de Ingeniería Mexicali dy h( y ) = g ( x) dx Ahora procedemos a hacer un particular paso; la terminología de la primera derivada la separaremos en dos entidades diferentes, dy y dx, de tal manera que separándolas nuestra ecuación queda de la siguiente manera: h( y )dy = g ( x)dx Luego se integran ambos miembros ∫ h( y)dy = ∫ g ( x)dx para finalmente obtener lo siguiente: H ( y ) = G ( x) + C La ecuación obtenida es generalmente una solución implícita. Notas importantes: 1) Observe claramente que se distingue entre h(y) y H(y), indicando la letra mayúscula la función ya integrada. 2) A pesar que el separar la terminología de la primera derivada en dos entidades diferentes no tiene sentido alguno, este paso es necesario para indicar la etapa de integración en el método. 3) No olvide la constante de integración al finalizar la resolución de la ecuación diferencial Ejemplos: Resolver: 1 dy x – 5 ⎛ 3x 2 ⎞ 3 = 2 Solución: y = ⎜ ⎜ 2 – 15 x + 3C ⎟ ⎟ dx y ⎝ ⎠ Resolver: dy y – 1 = Solución: y = 1 + C ( x + 3) dx x + 3 Resolver: dy 6 x 5 – 2 x + 1 = Solución: seny + e y = x 6 – x 2 + x + C dx cos y + e y Curso Ecuaciones Diferenciales