Liapunov
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1) El documento presenta el método de Liapunov para analizar la estabilidad de puntos críticos en sistemas autónomos. 2) Define una función de Liapunov como una función continua y derivable cuya derivada a lo largo de las trayectorias del sistema es semidefinida negativa. 3) Establece que si existe una función de Liapunov para el sistema, el punto crítico es estable, y si es estricta es asintóticamente estable.
Liapunov
- 1. 8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV 309 8.4. CRITERIO DE ESTABILIDAD POR EL METODO DIRECTO DE LIAPUNOV Consideremos el sistema aut´onomo dx dt = F(x, y) dy dt = G(x, y), (8.32) y supongamos que tiene un punto cr´ıtico aislado; sea (0, 0) dicho punto cr´ıtico (un punto cr´ıtico (x0, y0) se puede llevar al or´ıgen mediante la traslaci´on de coordenadas x = u − x0, y = v − y0). Sea Γ(x(t), y(t)) una trayectoria de (8.32) y consideremos la funci´on E(x, y) continua y con primeras derivadas parciales continuas en una re- gi´on que contiene a la trayectoria. Si un punto (x, y) se mueve a lo largo de las trayectorias de acuerdo a las ecuaciones x = x(t) y y = y(t), entonces E(x, y) = E(x(t), y(t)) = E(t) es una funci´on de t sobre Γ , su raz´on de cambio es E (x, y) = dE dt = ∂E ∂x dx dt + ∂E ∂y dy dt = ∂E ∂x F + ∂E ∂y G (8.33) Esta f´ormula es la idea principal de Liapunov. Definici´on 8.5. Supongamos que E(x, y) es continua y tiene primeras derivadas parciales continuas en una regi´on que contiene al origen. Si E(0, 0) = 0 y i. Si E(x, y) > 0 para todo (x, y) = (0, 0), decimos que E es definida positiva. ii. Si E(x, y) < 0 para todo (x, y) = (0, 0), decimos que E es definida negativa. iii. Si E(x, y) ≥ 0 para todo (x, y) = (0, 0), decimos que E es semidefinida positiva.
- 2. 310 CAP´ITULO 8. INTROD. A LA TEORIA DE ESTABIL. iv. Si E(x, y) ≤ 0 para todo (x, y) = (0, 0), decimos que E es semidefinida negativa. Nota: E(x, y) = ax2m + by2n con a > 0, b > 0 y m, n enteros positivos, es definida positiva. E(x, y) es definida negativa si y solo si −E(x, y) es definida positiva. E(x, y) = ax2m + by2n con a < 0 y b < 0 y m, n enteros positivos, es definida negativa. x2m es semidefinida positiva, ya que x2m = 0 para todo (0, y) y x2m > 0 para todo (x, y) = (0, 0). Similarmente se demuestra que y2n , (x − y)2m son semidefinidas posi- tivas. Si E(x, y) es definida positiva, entonces z = E(x, y) es la ecuaci´on de una superficie que podr´ıa parecerse a un parabolo´ıde abierto hacia arriba y tangente al plano XY en el or´ıgen (ver figura 8.18). Definici´on 8.6 (funci´on de Liapunov). Decimos que E(x, y) es una fun- ci´on de Liapunov para el sistema (8.32), si E(x, y) es continua, con primeras derivadas parciales continuas en una regi´on que contiene al or´ıgen. E(x, y) es definida positiva. Existe la derivada de E a lo largo de las trayectorias u ´orbitas del sistema (8.32) y sea menor o igual que cero sobre la trayectoria, es decir, que exista la siguiente derivada, dE dt = ∂E ∂x F + ∂E ∂y G = dE dt (x, y) = E (x(t), y(t)) ≤ 0 (8.34) cuando dE dt = ∂E ∂x F + ∂E ∂y G = dE dt (x, y) = E (x(t), y(t)) < 0, decimos que E(x, y) es una funci´on de Liapunov estricta.
- 3. 8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV 311 x y z Figura 8.18 Nota: Si (8.34) fuera semidefinida negativa impl´ıca que E (x, y) = dE dt = ∂E ∂x F + ∂E ∂y G ≤ 0 y esto impl´ıca que E es no creciente a lo largo de las trayectorias de (8.32) pr´oximas al or´ıgen. Por lo anterior las funciones E generalizan el concepto de energ´ıa total de un sistema f´ısico.
- 4. 312 CAP´ITULO 8. INTROD. A LA TEORIA DE ESTABIL. Teorema 8.4 ( Criterio de Liapunov). a. Si existe una funci´on de Liapunov para el sistema (8.32) entonces el punto cr´ıtico (0, 0) es estable. b. Si existe una funci´on de Liapunov estricta para el sistema (8.32) en- tonces el punto cr´ıtico (0, 0) es asint´oticamente estable. c. Si E (x, y) es definida positiva entonces (0, 0) es un punto cr´ıtico in- estable. Demostraci´on: sea C1 un circunferencia de radio R > 0 centrado en el or´ıgen de tal manera que C1 se halla dentro del dominio de definici´on de la funci´on E. Como E(x, y) es continua y definida positiva, tiene un m´ınimo positivo m en C1. Adem´as, E(x, y) es continua en el or´ıgen y se anula en ´el, luego podemos hallar un n´umero positivo r < R tal que 0 ≤ E(x, y) < m si (x, y) est´a dentro de la circunferencia C2 de radio r (Ver figura 8.19). Sea Γ(x(t), y(t)) cualquier trayectoria que est´e dentro de C2 para t = t0, entonces E(t0) < m y como (8.34) es semidefinida negativa, entonces dE dt = ∂E ∂x F + ∂E ∂y G ≤ 0 lo cual impl´ıca que E(t) ≤ E(t0) < m para todo t > t0, luego la trayectoria Γ nunca puede alcanzar la cirdunferencia C1 en un t > t0 lo cual impl´ıca que hay estabilidad. Probemos la segunda parte del teorema. Probemos que, bajo la hip´otesis adicional (dE dt < 0), E(t) → 0, porque al ser E(x, y) definida positiva, impl´ıca que Γ se aproxima al punto cr´ıtico (0, 0). Como dE dt < 0, entonces E(t) es decreciente y como E(t) est´a acotada inferiormente por 0, entonces E(t) tiene un l´ımite L ≥ 0 cuando t → ∞. Supongamos que L > 0. Sea r < r (ver figura 8.19) tal que E(x, y) < L para (x, y) dentro de la circunferencia C3 de radio r, como la funci´on (8.34) es continua y definida negativa, tiene un m´aximo negativo −k en el anillo limitado por las circunferencias C1 y C3. Este anillo contiene a toda trayectoria Γ para t ≥ t0, luego de la ecuaci´on E(t) = E(t0) + t t0 dE dt dt y dE dt ≤ −k
- 5. 8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV 313 r r t = t0 Γ c3 c2 c1 R x y •• • Figura 8.19 se obtiene la desigualdad: E(t) ≤ E(t0) − k(t − t0) ∀t ≥ t0 Pero el lado derecho de la desigualdad tiende a −∞ cuando t → ∞, es decir, l´ım t→∞ E(t) = −∞, pero E(x, y) ≥ 0 (Absurdo!), luego L = 0. Ejemplo 4. La E.D. de una masa m sujeta a un resorte de constante k, en un medio que ofrece un amortiguamiento de coeficiente C es m d2 x dt2 + C dx dt + kx = 0 donde C ≥ 0, k > 0. Analizar la estabilidad de su punto cr´ıtico. Soluci´on: El sistema aut´onomo equivalente es: dx dt = y; dy dt = − k m x − C m y Su ´unico punto cr´ıtico es (0, 0). La energ´ıa cin´etica es my2 2 y la energ´ıa po- tencial (o energ´ıa almacenada en el muelle) es x 0 kx dx = 1 2 kx2
- 6. 314 CAP´ITULO 8. INTROD. A LA TEORIA DE ESTABIL. Luego la energ´ıa total: E(x, y) = 1 2 my2 + 1 2 kx2 la cual es definida positiva, como ∂E ∂x F + ∂E ∂y G = kxy + my − k m x − C m y = −Cy2 ≤ 0 Luego, E(x, y) es una funci´on Liapunov para el sistema y por tanto (0, 0) es estable. Se sabe que si C > 0 el punto cr´ıtico (0, 0) es asint´oticamente estable, pero la funci´on Liapunov no detecta este hecho. Ejemplo 5. (Resorte no lineal). Este es un ejemplo de una masa m = 1 sujeta a un resorte no lineal, en el cual la fuerza restauradora es una funci´on de la distancia de la masa al origen, sea −f(x) una funci´on no lineal que representa la fuerza restauradora tal que f(0) = 0 y xf(x) > 0 si x = 0; no hay fricci´on. La E.D. de su movimiento es d2 x dt2 + f(x) = 0 Analizar la estabilidad de su punto cr´ıtico. Soluci´on: el sistema aut´onomo equivalente es x = y y = −f(x) Su ´unico punto cr´ıtico es (0, 0). La energ´ıa cin´etica es 1 2 x 2 = 1 2 y2 y la energ´ıa potencial es F(x) = x 0 f(x) dx y la energ´ıa total es E(x, y) = F(x) + y2 2 Como x, f(x) tienen el mismo signo entonces F(x) ≥ 0 y por tanto E(x, y) es definida positiva. Adem´as E (x, y) = F (x)x + yy = f(x)y + y(−f(x)) = 0 es decir, es semidefinida negativa y por el teorema el punto cr´ıtico (0, 0) es estable. Igual que sucede con un resorte lineal, se puede demostrar que este
- 7. 8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV 315 punto cr´ıtico es un centro. Ejemplo 6. Analicemos la estabilidad del punto cr´ıtico del siguiente sistema x = −x − x3 3 − x sen y, y = −y − y3 3 Soluci´on: (0, 0) es el ´unico punto cr´tico. Sea E(x, y) = 1 2 (x2 + y2 ), luego E (x, y) = x(−x− x3 3 −x sen y)+y(−y − y3 3 ) = −x2 − x4 3 −y2 − y4 3 −x2 sen y pero |x2 sen y| ≤ x2 y por tanto x2 + x2 sen y ≥ 0. Entonces E (x, y) = − x4 3 − y2 − y4 3 − (x2 + x2 sen y) ≤ − x4 3 − y2 − y4 3 < 0 para (x, y) = (0, 0), es decir E es definida negativa y por el teorema anterior, parte b., (0, 0) es asint´oticamente estable. Ejemplo 7. Analizar la estabilidad del punto cr´ıtico del siguiente sistema dx dt = −2xy; dy dt = x2 − y3 Soluci´on: (0, 0) es punto cr´ıtico aislado E(x, y) = ax2m + by2n ∂E ∂x F + ∂E ∂y G = 2max2m−1 (−2xy) + 2nby2n−1 (x2 − y3 ) ∂E ∂x F + ∂E ∂y G = (−4max2m y + 2nbx2 y2n−1 ) − 2nby2n+2 Para que el par´entesis se anule, necesitamos que m = 1, n = 1, a = 1, b = 2, ⇒ E(x, y) = x2 + 2y2 la cual es definida positiva y ∂E ∂x F + ∂E ∂y G = −4y4
- 8. 316 CAP´ITULO 8. INTROD. A LA TEORIA DE ESTABIL. que es semidefinida negativa, luego (0, 0) es estable. Teorema 8.5. La funci´on E(x, y) = ax2 + bxy + cy2 es: Definida positiva si y solo si a > 0 y b2 − 4ac < 0. Semidefinida positiva si y solo si a > 0 y b2 − 4ac ≤ 0 Definida negativa si y solo si a < 0 y b2 − 4ac < 0 Semidefinida negativa si y solo si a < 0 y b2 − 4ac ≤ 0 Demostraci´on. Veamos la primera parte. Si y = 0 entonces E(x, 0) = ax2 > 0 si x = 0 y a > 0 Si y = 0 : E(x, y) = y2 a x y 2 + b x y + c y si a > 0, el polinomio cuadr´atico en x y es positivo para todo x y ⇔ b2 − 4ac < 0. Ejercicio 1. Determinar si cada una de las siguientes funciones estan definidas positivas, negativas o semidefinidas positivas o negativas o ninguna de las anteriores. a) x2 − xy − y2 , b) 2x2 − 3xy + 3y2 , c)−2x2 + 3xy − y2 , d) −x2 − 4xy − 5y2 . (Rta.: a) Ninguna de las anteriores, b) Definida positiva, c) Ninguna de las anteriores, d) Definida negativa) Ejercicio 2.Dado el sistema dx dt = xy2 − x3 2 , dy dt = −y3 2 + yx2 5 Mostrar que (0, 0) es asint´oticamente estable (Ayuda: tomar V (x, y) = ax2 + by2 ). Ejercicio 3. Dado el sistema dx dt = −6x2 y, dy dt = −3y3 + 6x3 Mostrar que (0, 0) es estable. Ejercicio 4. Dado el sistema dx dt = −3x3 − y, dy dt = x5 − 2y3 Mostrar que (0, 0) es asint´oticamente estable.
- 9. 8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV 317 Ejercicio 5. Dado el sistema dx dt = −2x + xy3 , dy dt = −x2 y2 − y3 Mostrar que (0, 0) es asint´oticamente estable. Ejercicio 6. Mostrar que (0, 0) es un punto cr´ıtico inestable del sistema x = F(x, y), y = G(x, y), si existe una funci´on E(x, y) con las siguientes propiedades: a) E(x, y) es continua, con primeras derivadas parciales continuas en una regi´on del plano que contiene al origen. b) E(0, 0) = 0. c) Todo c´ırculo centrado en el origen, contiene al menos un punto para el cual E(x, y) es positiva. d) (∂E ∂x )F + (∂E ∂y G) es definida positiva. Ejercicio 7. Utilizando el ejercicio anterior mostrar que (0, 0) es inestable para el sistema dx dt = 2xy + x3 , dy dt = −x2 + y5 Ejercicio 8. Sea f(x) una funci´on tal que f(0) = 0 y xf(x) > 0 para x = 0 (es decir, f(x) > 0 si x > 0 y f(x) < 0 si x < 0) a) Mostrar que E(x, y) = 1 2 y2 + 0 x f(x) dx esta definida positiva. b) Mostrar que (0, 0) es un punto cr´ıtico estable del la E.D. d2x dt2 + f(x) = 0 c) Si g(x) ≥ 0 en un c´ırculo alrededor del origen, mostrar que (0, 0) es un punto cr´ıtico estable del sistema d2 x dt2 + g(x) dx dt + f(x) = 0 Ejercicio: 9. Dado el sistema x = y−xf(x, y), y = −x−yf(x, y), donde f(0, 0) = 0 y f(x, y) tiene un desarrollo en serie de potencias convergente en una regi´on R alrededor del origen. Demostrar que el punto cr´ıtico (0, 0) es estable si f(x, y) ≥ 0 en alguna regi´on alrededor de (0, 0). asint´oticamente estable si f(x, y) es definida positiva en alguna regi´on alrededor de (0, 0). inestable si en toda regi´on alrededor de (0, 0) hay puntos (x, y) tales que f(x, y) < 0. Ejercicio: 10. Mediante el ejercicio anterior determinar la estabilidad de los siguientes sistemas a) x = y − x(y3 sen 2 x), y = −x − y(y3 sen 2 x).
- 10. 318 CAP´ITULO 8. INTROD. A LA TEORIA DE ESTABIL. b) x = y − x(x4 + y6 ), y = −x − y(x4 + y6 ). a) x = y − x( sen 2 y), y = −x − y( sen 2 y). (Rta.: a) Inestable, b) Asint´oticamente estable, c) Estable.) Ejercicio: 11. Considere la ecuaci´on x + f(x, x ) + g(x) = 0 y suponga que f y g tienen primeras derivadas continuas y f(0, 0) = g(0) = 0 y yf(x, y) > 0 cuando y = 0 y xg(x) > 0 cuando x = 0. Trasforme la anteri- or E.D. en un sistema y luego demuestre que el punto cr´ıtico (0, 0) es estable. Ejercicio: 12. Con el resultado del anterior ejercicio, demostrar la esta- bilidad de la E.D. x + (x )3 + x5 = 0