Matriz inversa
- 1. U Universidad abierta y NAD Nacional a distancia 7.3.2. Metodo de la Inversa de una Matriz Un sistema lineal SEL y el álgebra lineal tienen estrecha relación. Sea el sistema, a11x1 + a12x2 + .... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + .... + a2nxn = b2 …. (7.4) an1x1 + an2x2 + .... + annxn = bn este mismo sistema puede representarse de la forma Ax = B, donde: a 11 a 12 .... a 1n x1 b1 a a 22 .... a 2n x A = 21 , x = 2 , B = b 2 . (7.5) .... ..... .... .... .... .... a n 1 a n 2 .... a nn x n b n Si A es una matriz no singular entonces se garantiza que la solución del sistema dada por x se puede escribir como x = inv(A)*B donde inv denota la operación de la inversa de una matriz. Este último método no es tan recomendado ya que el número de operaciones por realizar par el cálculo de la inversa matricial es muy alto comparado con el método Gaussiano. 7.3.3. Metodo del Determinante de una Matriz El método de mejor desempeño del álgebra lineal para la solución de un SEL n*n es el método del determinante. Si A es un matriz de n*n y representa un SEL entonces: • el menor Mij es el determinante de la submatriz de (n-1)*(n-1) de una matriz A obtenido suprimiendo el i-ésimo renglón y la j-ésima columna. • cofactor Aij, asociado con Mij se define como Aij=(-1)i+jMij. • determinante de una matriz A de n*n donde n>1 esta dada ya sea por: n det A = ∑ a ij Aij para cualquier i=1,2,....,n j =1 n det A = ∑ a ij Aij para cualquier j=1,2,....,n i =1 77
- 2. U Universidad abierta y NAD Nacional a distancia Si la matriz A es no singular entonces su deterinanate cumple que det A ≠ 0. El métod del determinante aplica elconcepto dela REGLA DE CRAMER. Esta regla realiza una sustitución especial talque un sistema Ax=B puede resolver como: .a 11 .... b1 .... a 1n a .... b2 ....a 2n 1 x i = det 21 (7.6) D .... .... .... .... .... .a n 1 ... .... bn ....a nn donde D = det A y para cada solución Xi, se realiza una sustitución de la i-ésima columna por el vector columna B. Este método requiere de n! multiplicaciones/divisiones y de n!-1 sumas/restas, un número de operaciones muy inferior al número de operaciones usuales de una inversa. 7.4. SISTEMAS NO LINEALES DE ECUACIONES La forma más general de representar un sistema de ecuaciones no lineales es: f1(x1,....,xn)=0 f2(x1,....,xn)=0 .... (7.7) fn(x1,....,xn)=0 donde cada función fi puede interpretarse como un mapeo de un vector x = (x1,x2,....,xn)t del espacio n-dimensional Rn en la recta real R. De este modo el sistema puede representarse como F tal que: F(x1,....xn) = (f1(x1,....xn), f2(x1,….xn),...., fn(x1,....,xn))t ó, F(x)=0, ó x 1,1 X 1, 2 .... x 1,n x F = 2,1 x 2, 2 .... x 2,n (7.8) .... .... .... .... x n ,1 x n , 2 ..... x n ,n El índice fila representa la ecuación a la cual pertenece la x j-ésima variable mientras el índice columna representa la variable en la i-ésima ecuación. Un sistema de ecuaciones son lineales puede ser resuelto por métodos numéricos que por lo general son generalización del método de newton para solución de ecuaciones de una variable. 78