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- 1. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS PRIMERA UNIDAD: CÁLCULO VECTORIAL CAPÍTULO DOS: CÁLCULO VECTORIAL LECCIÓN SEIS. Tensores de segundo orden En esta lección se presentarán nociones elementales de tensores de segundo orden y de los cálculos que involucran estas cantidades, con miras a la comprensión de textos de mecánica de fluidos y te fenómenos de transporte en general. Un tensor de segundo orden, en una definición sencilla es la multiplicación de dos vectores. Representación de un tensor de segundo orden. & & & & Sean dos vectores V Vi e i y W Wj e j , descritos en coordenadas cartesianas. Efectuando la multiplicación simple de estos vectores se obtiene: & & & & & & & & & & & & VW V1 W1 e 1 e 1 V1 W2 e 1 e 2 V1 W3 e 1 e 3 V2 W1 e 2 e 1 Vi Wj e i e j V2 W2 e 2 e 2 V2 W3 e 2 e 3 V3 W1 e 3 e 1 V3 W2 e 3 e 2 V3 W3 e 3 e 3 Observe que el resultado de la multiplicación no es ni un escalar ni un vector sino muna entidad con nueve términos compuestos de factores del tipo vector unitario € y del tipo escalar (V,W), con i y j variando de 1 a 3. Los factores e i e j se denominan díadas y Vi Vj se llaman coeficientes numéricos. El producto resultante de la multiplicación es denominado representación diádica de un tensor de segundo orden. Entonces, un tensor de segundo orden puede ser denotado con dos flechas de vector, de la siguiente manera: W W ij e i e j W 11 e 1 e 1 W 12 e 1 e 2 W 13 e 1 e 3 W 21 e 2 e 1 W 22 e 2 e 2 W 23 e 2 e 3 W 31 e 1 e 3 W 23 e 2 e 3 W 33 e 3 e 3 Las díadas e i e j , donde i y j varían de 1 a 3, constituyen la base de la representación diádica de un tensor de segundo orden. Dos tensores V y W son iguales solamente si V ij W ij para todos los pares ij, con i y j variando de a 3. La multiplicación que representa VW ó V … W se denomina producto tensorial de dos vectores. Para algunas finalidades es conveniente escribir el tensor de segundo orden en forma de una matriz de 3x3 como sigue: §W W 12 W 13 · ¨ 11 ¸ W ¨ W 21 W 22 W 23 ¸ ¨W W 32 W 33 ¸ © 31 ¹ Definiciones. Un tensor transpuesto de W denotado por W T es también un tensor: § W 11 W 21 W 31 · T ¨ ¸ W ¨ W 12 W 22 W 32 ¸ ¨W ¸ © 13 W 23 W 33 ¹ Un tensor es denominado simétrico si W ij W ji y antisimétrico si W ij W ji Un tensor unitario es por definición un tensor de la siguiente forma: 1
- 2. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS §1 0 0· ¨ ¸ 1 ¨0 1 0¸ ¨ 0 0 1¸ © ¹ De forma similar, una díada unitaria puede ser por ejemplo: §1 0 0· §0 0 0· ¨ ¸ ¨ ¸ e 1e 1 ¨ 0 0 0 ¸ e2e2 ¨0 1 0¸ ¨0 0 0¸ ¨0 0 0¸ © ¹ © ¹ §0 1 0· §0 0 0· ¨ ¸ ¨ ¸ e 1e 2 ¨0 0 0¸ e 3e 2 ¨0 0 0¸ ¨0 0 0¸ ¨0 1 0¸ © ¹ © ¹ Operaciones con tensores de segundo orden. La adición de dos tensores de segundo orden es: § V W 11 V 12 W 12 V 13 W 13 · ¨ 11 ¸ V W ¨ V 21 W 21 V 22 W 22 V 23 W 23 ¸ ¨V W V 32 W 32 V 33 W 33 ¸ © 31 31 ¹ La multiplicación de un tensor de segundo orden por un escalar, aW es un tensor de segundo orden cuyos componentes son multiplicados por a. La multiplicación escalar de díadas o contracción de díadas: ya que e i e j G ij donde G ij es el delta de Konecker: e i e j ˜ e k e i G jk e i ˜ e j e k e k G ij e i e j ˜ e k e l e i e l G jk e i e j : e k e l G il G jk La multiplicación escalar de un tensor de segundo orden por un vector: * * Wv W ij Vj e i vW Vi W ij e j La multiplicación escalar de dos tensores de segundo orden es: V ˜ W ( V ij e i e j ) ˜ ( W kl e k e l ) V ij W kl e i e l G jk V il W kl e i e l V ˜ W ( V ij e i e j ) : ( W kl e k e l ) V ij W kl G il G jk V ij W ji Aplicaciones del operador nabla sobre vectores y tensores de segundo orden. Sobre un vector (gradiente de un vector) § w · wVj gradV ’V ¨ ei ¨ wx ¸( Vj e j ) wx e i e j ¸ © i ¹ i Sobre un tensor de segundo orden (divergencia del tensor de segundo orden) § w · wW jk divW ’W ¨ ei ¨ wx ¸ ˜ ( W jk e j e k ) wx G ij e k ¸ © i ¹ i Teorema de la divergencia para un tensor de segundo orden: ³³³ divWdV ³³ n ˜ WdA : 6( : ) 2
- 3. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS Representación gráfica del tensor de segundo orden: En mecánica de fluidos, la fuerza de superficie es descrita en términos de un tensor de tensiones de fuerzas por unidad de área. Los índices son característicos de la siguiente forma: el primero corresponde al índice el eje coordenado donde la componente de fuerza es normal a la superficie; y el segundo corresponde al eje coordenado al cual la componente de fuerza es paralela a la superficie. W33 W32 W31 X3 W23 W22 W21 X2 W13 X1 W12 W11 3