Cap3 lec2
- 1. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS PRIMERA UNIDAD: CÁLCULO VECTORIAL CAPÍTULO TRES: SISTEMAS DE COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES. LECCIÓN OCHO. Gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano en coordenadas curvilíneas ortogonales. Una de las principales ventajas de expresar una ecuación que gobierna determinado fenómeno, en términos del gradiente, la divergencia, el rotacional o el laplaciano, es que un cambio en el sistema de coordenadas no modifica la forma de la ecuación en cuestión. Por ejemplo, en un sistema cartesiano una ley dada se expresa por & la ecuación, div(q ) 0 , esta ecuación será invariante para cualquier sistema de coordenadas sea cartesiano o & curvilíneo. Lo que puede cambiar es la forma de la expresión de div(q ) . Así, es de mucha importancia el conocimiento de las ecuaciones que expresan el gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano en sistemas de coordenadas curvilíneas. De ecuaciones ya vistas en el curso se puede obtener: * Para el gradiente de una función escalar M M([ 1 , [ 2 , [ 3 ) : & a i wM ’M suma en i, i 1,2,3 h i w[ i Donde el componente i de grad(M) es: 1 wM (’M) i no es suma en i h i w[ i & & *Para la divergencia de una función vectorial V V([ 1 , [ 2 , [ 3 ) : w§ 1 2 3 i h · h h h V & ¨ ¸ ª w( h 2 h 3 Vi ) w( h 1 h 3 Vi ) w( h 1 h 2 Vi ) º ’V 1 © i¹ 1 « » h 1h 2 h 3 w[ i h 1h 2 h 3 ¬ w[ 1 w[ 2 w[ 3 ¼ * Para el rotacional de una función vectorial V V([ 1 , [ 2 , [ 3 ) : ’ u V
- 2. 1 h 1h 2 h 3 a i h i H ijk w( h k Vk ) w[ j suma en i, j y k de 1 a 3. O escribiendo solamente el componente i del rotacional: ’uV i
- 3. 1 h 1h 2 h 3 h i H ijk w( h k Vk ) w[ j suma en j y k de 1 a 3, pero no suma en i * Para el operador laplaciano: 1 w § h 1h 2 h 3 w · ¨ ¸ ’ ˜’ ’2 suma en i de 1 a 3 h 1 h 2 h 3 w[ i ¨ h i2 © w[ i ¸ ¹ 1 ª w § h2h3 w · w § h 1h 3 w · w § h 1 h 2 w ·º ’2 « ¨ ¨ h ¸ ¨ ¨ h w[ ¸ w[ ¨ ¸» h 1h 2 h 3 « w[ 1 ¬ © 1 w[ 1 ¸ w[ 2 ¹ © 2 ¸ 2 ¹ 3 ¨ h © 3 w[ 3 ¹» ¸ ¼ 1