Matrices y Propiedades
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El documento aborda el concepto de matrices, incluyendo su definición, notación y tipos, como matrices cuadradas, triangulares, identidad, transpuestas y simétricas. Además, se explican las operaciones básicas entre matrices, como la suma y el producto, destacando sus definiciones, requisitos y ejemplos. Se enfatiza la importancia de realizar ejercicios diarios para dominar el manejo de matrices.
Matrices y Propiedades
- 2. MATRICES Y PROPIEDADES Braian Moreno Cifuentes Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica Universidad de La Sabana
- 3. En esta presentaci´on se busca contextualizar al estudiante con respecto al con- cepto de matriz, como armar una matriz, identificar posiciones de elementos y revisar como se hacen operaciones entre matrices.
- 4. DEFINICI ´ON DE MATRIZ ¿QU ´E ES UNA MATRIZ? DEFINICI ´ON Una matriz es un arreglo rectangular de mn n´umeros dispuestos en m filas (renglones) y n columnas. NOTA Las matrices se representan por medio de letras may´usculas (A, B, C), y en la mayor´ıa de los casos, las entradas (los n´umero que forman a la matriz) son n´umeros pertenecientes a los reales {aij ∈ R; 1 ≤ i ≤ m; 1 ≤ j ≤ n}.
- 5. DEFINICI ´ON DE MATRIZ ¿QU ´E ES UNA MATRIZ? La notaci´on de una matriz A de tama˜no m × n es: A = a11 a12 a13 · · · a1n a21 a22 a23 · · · a2n a31 a32 a33 · · · a3n ... ... ... ... ... am1 am2 am3 · · · amn m×n Donde m × n muestra el tama˜no de la matriz tratada y cada uno de las entradas (n´umeros) aij con 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n representa la posici´on en la matriz.
- 6. DEFINICI ´ON DE MATRIZ ¿QU ´E ES UNA MATRIZ? EJEMPLO La matriz A = −4 5 12 −2 4 −1 8 12 15 2 0 −8 4×3 tiene 4 filas y 3 columnas; es decir, A es de tama˜no 4 × 3 y el n´umero 4 est´a en la fila 2 y en la columna 2. tambi´en se puede deducir que el n´umero 0 est´a en la fila 4 y en la columna 2.
- 7. TIPOS DE MATRICES ALGUNOS TIPOS DE MATRICES MATRIZ CUADRADA El n´umero de filas y columnas es el mismo. B = 2 4 3 −8 6 8 4 −6 12 3×3 es una matriz cuadrada ya que es de tama˜no 3 × 3.
- 8. TIPOS DE MATRICES ALGUNOS TIPOS DE MATRICES MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR Matriz donde todas las entradas debajo de la diagonal principal son 0. U = 1 2 4 5 0 −2 4 −7 0 0 12 81 0 0 0 16 4×4 V = 3 3 6 7 −2 0 2 7 12 4 0 0 8 44 43 3×5 Donde los n´umeros en rojo forman la diagonal principal de las matrices U y V . No es necesario que la matriz sea cuadrada.
- 9. TIPOS DE MATRICES ALGUNOS TIPOS DE MATRICES MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR Matriz donde todas las entradas encima de la diagonal principal son 0. L = 1 0 0 0 3 −2 0 0 4 0 12 0 6 10 3 16 4×4 P = 3 0 0 0 0 10 2 0 0 0 20 32 8 0 0 3×5 Donde los n´umeros en rojo forman la diagonal principal de las matrices L y P. No es necesario que la matriz sea cuadrada.
- 10. TIPOS DE MATRICES ALGUNOS TIPOS DE MATRICES MATRIZ IDENTIDAD Matriz donde todos los elementos encima y debajo de la diagonal principal son 0. Adem´as, la diagonal principal est´a formada con entradas 1. I3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3×3
- 11. TIPOS DE MATRICES ALGUNOS TIPOS DE MATRICES MATRIZ TRANSPUESTA Matriz donde se intercambian las filas por las columnas y viceversa. No es necesario que la matriz sea cuadrada. A = 6 7 8 12 4 8 −9 3 2×4 AT = 6 4 7 8 8 −9 12 3 4×2 MATRIZ SIM ´ETRICA Matriz donde se intercambian las filas por las columnas y viceversa resultando la mista matriz. A = 1 2 3 2 8 −9 3 −9 5 3×3 AT = 1 2 3 2 8 −9 3 −9 5 3×3
- 12. TIPOS DE MATRICES ALGUNOS TIPOS DE MATRICES Existen otros tipos de matrices como: Matriz idempotente. Matriz de Valdermonde. Matriz de Valores Propios. Matriz semejante. Que ser´an estudiadas a lo largo del curso.
- 13. OPERACIONES ENTRE MATRICES Una vez se conozca la forma de construir matrices, se hace necesario aprender a hacer operaciones entre matrices, ya que la idea es entender la matriz como un arreglo que puede ser operada con otras matrices de su mismo tipo. Es as´ı como se introducen los conceptos de suma de matrices y de producto matricial para ver la forma de operaci´on de ´estas.
- 14. OPERACIONES ENTRE MATRICES SUMA DE MATRICES SUMA DE MATRICES DEFINICI ´ON Sean A y B dos matrices de tama˜no m × n. La suma de A y B, notada por A + B est´a dada por: A + B = = a11 a12 a13 · · · a1n a21 a22 a23 · · · a2n a31 a32 a33 · · · a3n . . . . . . . . . . . . . . . am1 am2 am3 · · · amn m×n + b11 b12 b13 · · · b1n b21 b22 b23 · · · b2n b31 b32 b33 · · · b3n . . . . . . . . . . . . . . . bm1 bm2 bm3 · · · bmn m×n = a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 · · · a1n + b1n a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 · · · a2n + b2n a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33 · · · a3n + b3n . . . . . . . . . .. . . . . am1 + bm1 am2 + bm2 am3 + bm3 · · · amn + bmn m×n
- 15. OPERACIONES ENTRE MATRICES SUMA DE MATRICES PARA TENER EN CUENTA NOTA Es importante tener en cuenta que solo se puede efectuar suma de matrices s´ı y s´olo s´ı son del mismo tama˜no. Por ejemplo, A2×3 + B2×3 = (A + B)2×3; mientra que A2×3 + B3×2 no se pueden sumar.
- 16. OPERACIONES ENTRE MATRICES SUMA DE MATRICES EJEMPLO EJEMPLO DE SUMA Sean A = 1 2 3 4 7 −2 2×3 B = −4 −6 7 2 10 7 2×3 La suma A + B est´a dada por: A + B = 1 2 3 4 7 −2 2×3 + −4 −6 7 2 10 7 2×3 = −3 −4 10 6 17 5 2×3
- 17. OPERACIONES ENTRE MATRICES PRODUCTO ENTRE MATRICES PRODUCTOS A diferencia de los n´umeros reales, las matrices tienen dos tipos de productos: El producto por escalar y el producto matricial. Se debe tener en cuenta que ambos son totalmente diferentes.
- 18. OPERACIONES ENTRE MATRICES PRODUCTO ENTRE MATRICES PRODUCTO POR ESCALAR Es el primero de los dos productos y consiste en multiplicar todas las entradas de la matriz por un mismo n´umero (llamado escalar). DEFINICI ´ON Sea A una matriz de m × n y α un escalar. El producto del escalar α por la matriz A, notado por αA est´a dado por: αA = α a11 a12 a13 · · · a1n a21 a22 a23 · · · a2n a31 a32 a33 · · · a3n . . . . . . . . . .. . . . . am1 am2 am3 · · · amn m×n = αa11 αa12 αa13 · · · αa1n αa21 αa22 αa23 · · · αa2n αa31 αa32 αa33 · · · αa3n . . . . . . . . . . . . . . . αam1 αam2 αam3 · · · αamn m×n
- 19. OPERACIONES ENTRE MATRICES PRODUCTO ENTRE MATRICES OBSERVACI ´ON NOTA El producto por escalar se puede hacer para cualquier matriz, sin restricci´on con respecto al tama˜no.
- 20. OPERACIONES ENTRE MATRICES PRODUCTO ENTRE MATRICES EJEMPLO EJEMPLO PRODUCTO POR ESCALAR Sea A = 12 −7 8 5 4 5 −9 12 1 −2 3 −4 12 21 12 0 4×4 Si α = 2, entonces 2A es igual a: A = 24 −14 16 10 8 10 −18 24 2 −4 6 −8 24 42 24 0 4×4 De igual forma, si α = −3, entonces −3A es igual a: A = −36 21 −24 −15 −12 −15 27 −36 −3 6 −9 12 −36 −63 −36 0 4×4
- 21. OPERACIONES ENTRE MATRICES PRODUCTO ENTRE MATRICES PRODUCTO MATRICIAL Es otra operaci´on definida entre matrices que, como se ver´a en la definici´on, es totalmente diferente a la forma de multiplicar dos n´umeros reales. Es aqu´ı donde aparece cierta dificultad a la hora de operar. DEFINICI ´ON Sea A una matriz de m × n y B una matriz de n × m. El producto matricial de A y B, notado por AB est´a dado por: AB = a11 a12 a13 · · · a1n a21 a22 a23 · · · a2n a31 a32 a33 · · · a3n . . . . . . . . . .. . . . . am1 am2 am3 · · · amn m×n b11 b12 b13 · · · b1m b21 b22 b23 · · · b2m b31 b32 b33 · · · b3m . . . . . . . . . . . . . . . bn1 bn2 bn3 · · · bnm n×m = a11b11 + a12b21 + · · · + a1nbn1 · · · a11b1m + a12b2m + · · · + a1nbnm . . . . . . . . . am1b11 + am2b21 + · · · + amnbn1 · · · am1b1m + am2b2m + · · · + amnbnm m×m
- 22. OPERACIONES ENTRE MATRICES PRODUCTO ENTRE MATRICES OBSERVACI ´ON Al inicio, el producto matricial resulta algo complicado de realizar por la cantidad de cuentas que se deben hacer. NOTA El producto matricial NO ES CONMUTATIVO; es decir, AB = BA. Es ac´a donde se presenta la diferencia entre operar n´umeros reales y operar matrices.
- 23. OPERACIONES ENTRE MATRICES PRODUCTO ENTRE MATRICES EJEMPLO EJEMPLO PRODUCTO MATRICIAL Sean A = 12 5 7 −4 8 −3 2×3 B = 3 0 8 −1 −5 7 3×2 El producto matricial AB est´a dado por: AB = 12 5 7 −4 8 −3 2×3 3 0 8 −1 −5 7 3×2 = (12 ∗ 3) + (5 ∗ 8) + (7 ∗ (−5)) (12 ∗ 0) + (5 ∗ (−1)) + (7 ∗ 7) ((−4) ∗ 3) + (8 ∗ 8) + ((−3) ∗ (−5)) ((−4) ∗ 0) + (8 ∗ (−1)) + ((−3) ∗ 7) = 41 44 67 −29 2×2
- 24. OPERACIONES ENTRE MATRICES PRODUCTO ENTRE MATRICES EJEMPLO EJEMPLO PRODUCTO MATRICIAL Sean A = 12 5 7 −4 8 −3 2×3 B = 3 0 8 −1 −5 7 3×2 El producto matricial BA est´a dado por: BA = 3 0 8 −1 −5 7 3×2 12 5 7 −4 8 −3 2×3 = (3 ∗ 12) + (0 ∗ (−4)) (3 ∗ 5) + (0 ∗ 8) (3 ∗ 7) + (0 ∗ (−3)) (8 ∗ 12) + ((−1) ∗ (−4)) (8 ∗ 5) + ((−1) ∗ 8) (8 ∗ 7) + ((−1) ∗ (−3)) ((−5) ∗ 12) + (7 ∗ (−4)) ((−5) ∗ 5) + (7 ∗ 8) ((−5) ∗ 7) + (7 ∗ (−3)) = 36 15 21 100 32 59 −88 31 −56
- 25. OPERACIONES ENTRE MATRICES PRODUCTO ENTRE MATRICES PARA TENER EN CUENTA NOTA Una forma ´util de concluir si se puede hacer el producto matricial es observar que el n´umero de columnas de la primera matriz a multiplicar es igual al n´umer de filas de la segunda matriz a multiplicar. El resultado final es una matriz con el tama˜no de filas correspondiente a la primera matriz por las columnas de la segunda matriz. NOTA Es importante tener en cuenta que la forma m´as sencilla de hacer operaciones entre matrices es realizando ejercicios a diario para comprender y ”mecanizar”las cuentas hechas en cada una de ellas.