Algebra matricial
- 1. Profesor: Mayira Bravo República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria Universidad Bicentenaria de Aragua Centro Regional de Apoyo Tecnológico Valles del Tuy (CREATEC) Alumno: John reyes
- 2. Matriz Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma: La matriz suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Ejemplo: fila columna
- 3. TIPOS DE MATRICES o Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1 x n. o Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m x 1. Según el aspecto de las matrices, estas pueden clasificarse en:
- 4. Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n x n.Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria. o Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.
- 5. Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji " i, j. o Matriz nula: Es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0La matrizes una matriz nula de orden 3 es una matriz nula de orden 2 x 4 o Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji " i, j.
- 6. o Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos. o Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales o Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.
- 7. Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos: Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 " i < j. Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 " j < i.matriz triangular inferiormatriz triangular superior
- 8. Las propiedades básicas del determinante son las siguientes: Propiedades de los determinantes 1. El determinante de una matriz A y el de su traspuesta AT son iguales, es decir 2. Sea A una matriz cuadrada, Si A posee dos filas (columnas) iguales, necesariamente = 0. Si A es triangular, esto es, A sólo tiene ceros por encima o por debajo de la diagonal principal, entonces es igual al producto de los elementos de la diagonal. 3. Supongamos que B se ha obtenido de A mediante una operación elemental entre filas o columnas, Si se han intercambiado dos filas (columnas) de A, |B| = - |A|. Si se ha sumado un múltiplo de una fila (columna) a otra, entonces |B| = |A|. Si se ha multiplicado una fila (columna) de A por un escalar k, |B| = k|A|
- 9. 4. Sea A cualquier matriz n-cuadrada, son equivalentes los siguientes principios: A es invertible, es decir, A tiene inversa A-1. AX = 0 tiene solamente la solución trivial. El determinante de A no es nulo: |A| 0. 5. El determinante es una función multiplicativa. Es decir, el determinante del producto de matrices A y B es el producto de los determinantes: |AB| = |A| |B|. 6. Supongamos que A y B son matrices similares, entonces: |A| = |B|.
- 10. Determinantes de orden arbitrario Sea A = (ann) una matriz de orden arbitrario n n (siendo n un número par). Para calcular el det (A) se procede de la siguiente manera: Los signos se van alternando según la posición que ocupen las entradas del determinante. Es decir: