Ud 2 determinantes
- 1. UD 2: DETERMINANTES PROF: ALFONSO NAVARRO MATEMÁTICAS II
- 2. ÍNDICE 1. DETERMINANTE 1.1. Concepto de determinante. 1.2. Determinantes de orden 2 y 3. 2. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 3. CÁLCULO DE DETERMINANTES 3.1. Definiciones. 3.2. Cálculo de determinantes por adjuntos. Regla de Laplace. 3.3. Matriz adjunta. 4. MATRIZ INVERSA POR DETERMINANTES 5. RANGO DE UNA MATRIZ 5.1. Menor de una matriz. 5.2. Rango de una matriz.
- 3. 1. DETERMINANTES 1.1. Concepto de determinante Dada una matriz cuadrada de orden n: se llama determinante de la matriz A y se representa por |A|: a un número real que es igual a: 2DETERMINANTES
- 4. 1. DETERMINANTES Es decir, el determinante de una matriz cuadrada es el número real que se obtiene sumando todos los n factorial (n!) productos posibles de n elementos (orden de la matriz) de la matriz, de forma que en cada producto haya un elemento de cada fila y uno de cada columna, precedido cada producto con el signo + ó – según que la permutación de los subíndices que indican la columna tenga un número de inversiones, respecto del orden natural, que sea par o impar. Esta definición sólo es práctica para resolver los determinantes de orden 2 y 3. Los determinantes de orden superior se resuelven con otros métodos, ya que aplicando la definición sería muy laborioso. 2DETERMINANTES
- 5. 1. DETERMINANTES 1.2. Determinantes de orden 2 y 3 Determinante de orden 2 Dada una matriz de orden 2: se llama determinante de la matriz A: al número: 𝐴 = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21 Es decir, se multiplican los elementos de la diagonal principal y se le resta el producto de los elementos de la diagonal secundaria. 2DETERMINANTES
- 6. 1. DETERMINANTES Ejemplos 2DETERMINANTES Ejercicio 1. Calcula, si se puede, los determinantes de las siguientes matrices:
- 7. 1. DETERMINANTES Determinante de orden 3 Dada una matriz cuadrada de orden 3, se llama determinante de la matriz A al número: 2DETERMINANTES
- 8. 1. DETERMINANTES Este desarrollo procedente de la definición de determinante, puede recordarse fácilmente con este diagrama, conocido como la regla de Sarrus: 2DETERMINANTES
- 9. 1. DETERMINANTES Ejemplo 2DETERMINANTES Ejercicio 2. Calcula los determinantes de las siguientes matrices: Ejercicio 3. Resuelve las siguientes ecuaciones con determinantes:
- 12. 2. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1. El determinante de una matriz A es igual al determinante de su traspuesta. 2DETERMINANTES 𝐴 = 𝐴𝑡 2. Si los elementos de una fila o de una columna se multiplican todos por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número.
- 13. 2. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 3. Si los elementos de una línea se pueden descomponer en suma de dos o más sumandos, el determinante será igual a la suma de dos determinantes (o más) que tienen todas las restantes líneas iguales y en dicha línea tienen los primeros, segundos, etc. sumandos. 2DETERMINANTES 4. Si en un determinante los elemento de una línea son nulos, el determinante es nulo.
- 14. 2. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 5. Si en una matriz se permutan dos filas (o dos columnas), el determinante cambia de signo. 2DETERMINANTES 6. Si un determinante tiene dos líneas paralelas iguales, el determinante es nulo.
- 15. 2. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 7. Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas proporcionales, su determinante es nulo (caso general de la propiedad anterior). 2DETERMINANTES 8. Si los elementos de una línea son combinación lineal de las restantes líneas paralelas, el determinante es nulo.
- 16. 2. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 9. Si a los elementos de una línea se le suma una combinación lineal de las restantes líneas paralelas, el determinante no varía. 2DETERMINANTES 10. El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de las matrices 𝐴 · 𝐵 = 𝐴 · 𝐵
- 17. 2. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 2DETERMINANTES Ejercicio 4. Considera las siguientes matrices y demuestra que |B| = 2·|A| Ejercicio 5. De las siguientes operaciones con determinantes de orden 2x2, señala las que son correctas y, en su caso, enuncia las propiedades que se utilizan:
- 18. 2. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 2DETERMINANTES Ejercicio 6. Comprueba, sin desarrollarlo, que el siguiente determinante es múltiplo de 42: Ejercicio 7. Sea A una matriz cuadrada de orden 3. Si sabemos que el determinante de la matriz 2A es |2A| = 8. ¿Cuánto vale el determinante de A? Escribe la propiedad de los determinantes que hayas usado para obtener este valor.
- 19. 3. CÁLCULO DE DETERMINANTES 3.1. Definiciones Menor complementario Dada una matriz cuadrada A, de orden n, se llama menor complementario del elemento aij, y se representa por aij, al determinante de orden (n – 1) que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j. 2DETERMINANTES Adjunto del elemento Dada una matriz cuadrada A, de orden n, se llama adjunto del elemento aij y se representa por Aij j, al menor complementario aij, precedido del signo + o – según que la suma de los subíndices (i + j) sea par o impar:
- 20. 3. CÁLCULO DE DETERMINANTES 3.2. Cálculo de un determinante por adjuntos. Regla de Laplace El determinante de una matriz es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea (fila o columna) por sus adjuntos correspondientes. 2DETERMINANTES
- 21. 3. CÁLCULO DE DETERMINANTES 2DETERMINANTES Así, el determinante de una matriz A, de orden 3, se podría calcular de seis formas diferentes:
- 22. 3. CÁLCULO DE DETERMINANTES 2DETERMINANTES Ejemplo: 1. Calcula el siguiente determinante por adjuntos de la primera fila 2. Calcula el determinante anterior por adjuntos de la segunda fila
- 23. 3. CÁLCULO DE DETERMINANTES Determinante de una matriz triangular El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. 2DETERMINANTES La demostración es inmediata al desarrollar el determinante por adjuntos. Ejemplo:
- 24. 3. CÁLCULO DE DETERMINANTES 3.3. Matriz adjunta Se llama matriz adjunta de la matriz A a la matriz formada por los adjuntos de la matriz A, y se representa por Adj(A). 2DETERMINANTES Ejercicio 8. Calcula la matriz adjunta de las siguientes:
- 25. 3. CÁLCULO DE DETERMINANTES 2DETERMINANTES
- 26. 4. MATRIZ INVERSA POR DETERMINANTES 4.1. Definición Sea una matriz cuadrada de orden n. Denominamos matriz inversa de la matriz A, y la denotamos por 𝐴−1 , a aquella que cumple: 2DETERMINANTES 𝐴 · 𝐴−1 = 𝐼𝑑 Podemos calcular la matriz inversa mediante la siguiente expresión: 𝐴−1 = 𝐴𝑑𝑗(𝐴) 𝑡 𝐴 Por consecuencia: “La condición necesaria y suficiente para una matriz cuadrada tenga inversa es que su determinante sea distinto de cero”
- 27. 4. MATRIZ INVERSA POR DETERMINANTES Ejemplos. Determina la matriz inversa de las siguientes: 2DETERMINANTES
- 28. 4. MATRIZ INVERSA POR DETERMINANTES 2DETERMINANTES
- 29. 5. RANGO DE UNA MATRIZ 5.1. Menor de una matriz Dada una matriz de dimensión m × n, se llama menor de orden k al determinante formado por la intersección de k filas y k columnas de la matriz. 2DETERMINANTES Ejemplo. En la matriz A:
- 30. 5. RANGO DE UNA MATRIZ 5.2. Rango de una matriz Definimos en su momento el rango de una matriz como el número de filas o columnas linealmente independientes. Existe una definición alternativa, que es la siguiente: Se llama rango de una matriz al orden del menor de mayor orden no nulo. 2DETERMINANTES Ejemplo. Determina el rango de las siguientes matrices:
- 31. 5. RANGO DE UNA MATRIZ 2DETERMINANTES Empezamos por la matriz A. Dicha matriz tiene orden 2 × 3, de manera que su rango puede ser a lo sumo 2. Observamos que es decir, la matriz A contiene un menor de orden 2. Esto nos dice que rg(A)≥ 2. Por otra parte, el rango de A puede ser a lo sumo 2. Por tanto rg(A) = 2. Estudiamos ahora la matriz B. Su orden es 3 × 2, por lo cual su rango puede ser como mucho 2. Utilicemos el método de orlado. Observamos que |a11| = 6 es un menor de orden 1. Calculemos sus menores orlados: Observamos que son todos nulos. Por tanto rg(B) = 1.
- 32. 5. RANGO DE UNA MATRIZ 2DETERMINANTES Trabajamos ahora con la matriz C. Como su orden es 3, tendrá rango a lo sumo 3. Como es una matriz cuadrada conviene empezar calculando el determinante de C. Como el determinante es nulo, buscamos si hay algún menor de orden 2 no nulo. Vemos que es un menor de orden 2 no nulo. Por tanto la matriz tiene rango 2.