![2. FUNCIÓN DERIVADA
5DERIVADAS
2.2. REGLAS DE DERIVACIÓN
1.DERIVADA DE UNA CONSTANTE 𝑓 𝑥 = 𝐾 → 𝑓´ 𝑥 = 0, 𝑐𝑜𝑛 𝐾 ∈ ℝ
2. DERIVADA DE PRODUCTO POR
CONSTANTE
𝑓 𝐾 · 𝑥 ´ = 𝐾 · 𝑓´ 𝑥 , 𝑐𝑜𝑛 𝐾 ∈ ℝ
3. DERIVADA DE LA SUMA/RESTA 𝑓 ± 𝑔 ´ 𝑥 = 𝑓´ 𝑥 ± 𝑔´(𝑥)
4. DERIVADA DE UNA PRODUCTO 𝑓 · 𝑔 ´ 𝑥 = 𝑓´ 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 · 𝑔´(𝑥)
5. DERIVADA DE UNA COCIENTE
𝑓
𝑔
´ 𝑥 =
𝑓´ 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 · 𝑔´(𝑥)
[𝑔 𝑥 ]2
6. DERIVADA DE LA COMPOSICIÓN 𝑓 𝑔 𝑥 ´ = 𝑓 ´ 𝑔 𝑥 · 𝑔´(𝑥)](https://image.slidesharecdn.com/ud5derivadas-171116174743/85/Ud-5-derivadas-19-320.jpg)
![2. FUNCIÓN DERIVADA
5DERIVADAS
2.3. DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA
La función inversa de la función 𝑓 es otra que de denota 𝑓−1 y que
cumple que:
𝑓 ∘ 𝑓−1
𝑥 = 𝑥 ; 𝑓−1
∘ 𝑓 𝑥 = 𝑥
Se cumple entonces que:
𝑓−1 ´ 𝑥 =
1
𝑓 ´ (𝑓−1 𝑥 )
EJEMPLOS
a) y = 𝑥𝑛
→
Su inversa es 𝑦−1
= 𝑥 𝑛
, ya que
y ∘ 𝑦−1
= x ó y 𝑦−1
x = x, derivando esta expresión:
[ 𝑥𝑛 𝑛
]´ = 1 → n · 𝑥𝑛 𝑛−1
𝑥𝑛
´ = 1 → 𝑥𝑛
´ =
1
𝑛 𝑥 𝑛−1𝑛
b) y = 2𝑥5
+ 3𝑥 − 1](https://image.slidesharecdn.com/ud5derivadas-171116174743/85/Ud-5-derivadas-21-320.jpg)
Ud 5 derivadas
- 1. UD 5: DERIVADAS PROF: ALFONSO NAVARRO MATEMÁTICAS II
- 2. ÍNDICE 0. INTRODUCCIÓN 1. CONCEPTO DERIVADA 1.1. Tasa de variación media e instantánea. Derivada de una función en un punto. 1.2. Derivabilidad y continuidad. 2. FUNCIÓN DERIVADA 2.1. Definición de función derivada. 2.2. Reglas de derivación. 2.3. Derivada de función elementales.
- 3. 0. INTRODUCCIÓN RESEÑA HISTÓRICA Fueron Newton y Leibniz quienes, de manera simultánea, comenzaron a estudiar el concepto de derivada en el siglo XVII. 5DERIVADAS
- 4. 0. INTRODUCCIÓN 5DERIVADAS APLICACIONES a = v ´ (t) Optimización Monotonía y curvatura Representación gráfica de funciones
- 5. 1. CONCEPTO DE DERIVADA 5DERIVADAS 1.1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA (TVM) Denominamos TVM de una función f entre dos valores a y b a la expresión: Representa la pendiente de la recta que une los puntos A(a,f(a)) y B(b, f(b)). 𝑇𝑉𝑀 𝑎, 𝑏 = 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎) 𝑏 − 𝑎
- 6. 1. CONCEPTO DE DERIVADA 5DERIVADAS TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA (TVI) Denominamos TVI de una función f en un punto 𝑥 𝑜 como: Representa la pendiente de la recta tangente de la función f en el punto 𝑥 𝑜. 𝑇𝑉𝐼 𝑥 𝑜 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥 𝑜 + − 𝑓(𝑥 𝑜)
- 7. 1. CONCEPTO DE DERIVADA 5DERIVADAS
- 8. 1. CONCEPTO DE DERIVADA 5DERIVADAS CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Denominamos derivada de una función 𝑓: 𝑋 → ℝ, en un punto 𝑥 ∈ 𝑋 (siendo X un intervalo abierto) y lo denotamos por 𝑓 ´ 𝑥 a la expresión: Representa la pendiente de la recta en el punto de abscisa x (en la imagen x=a ; m = tg𝛽) 𝑓 ´ 𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥 + − 𝑓(𝑥)
- 9. 1. CONCEPTO DE DERIVADA 5DERIVADAS ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE La derivada nos permite determinar la pendiente de la recta tangente a la función en un determinado punto. Para ello podemos emplear la siguiente expresión:
- 10. 1. CONCEPTO DE DERIVADA 5DERIVADAS EJERCICIO Dada la siguiente función: a) Encuentra su función derivada. b) Representa gráficamente la función. c) Encuentra la ecuación de la recta tangente a la función en el punto de abscisa x = - 3. y = x2 − 9
- 11. 1. CONCEPTO DE DERIVADA 5DERIVADAS 1.2. DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD Si una función f es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto. Continuidad no implica derivabilidad, pero es una condición necesaria. Resumiendo: Si una función es continua, puede ser: - Derivable. - No derivable. Si una función es derivable seguro que es continua.
- 12. 1. CONCEPTO DE DERIVADA 5DERIVADAS FUNCIÓN 𝑓(𝑥) CONTINUA 1. ∃𝑓(𝑎) 2. ∃ lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 3. 𝑓 𝑎 = lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) DERIVABLE 𝑓 ´ 𝑎+ = 𝑓 ´ (𝑎− ) NO DERIVABLE 𝑓 ´ 𝑎+ ≠ 𝑓 ´ (𝑎− ) DISCONTINUA NO DERIVABLE
- 13. 2. FUNCIÓN DERIVADA 5DERIVADAS 2.1. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN DERIVADA Denominamos función derivada a aquella función f: 𝑓: ℝ → ℝ x → 𝑓 ´ (𝑥) que a cada x, donde es derivable, le asocia su función derivada. Si volvemos a calcular la derivada de una derivada obtenemos la derivada segunda, que representamos de este modo: 𝑓 ´´ 𝑥 Este proceso se puede repetir indefinidamente (siempre que la función lo admita)
- 14. 2. FUNCIÓN DERIVADA 5DERIVADAS DERIVADAS LATERALES Llamamos derivada lateral por la izquierda de la función f en el punto x, y lo denotamos por 𝑓 ´ (𝑥+ ) a la siguiente expresión: 𝑓 ´ 𝑥+ = lim ℎ→0+ 𝑓 𝑥+ + − 𝑓(𝑥+ ) Llamamos derivada lateral por la derecha de la función f en el punto x, y lo denotamos por 𝑓 ´ (𝑥− ) a la siguiente expresión: 𝑓 ´ 𝑥− = lim ℎ→0− 𝑓 𝑥− + − 𝑓(𝑥− ) Una función f es derivable en el punto x si y solo si: 𝑓 ´ 𝑥+ = 𝑓 ´ (𝑥−)
- 15. 2. FUNCIÓN DERIVADA 5DERIVADAS EJERCICIO 1 Estudia la derivabilidad de la función f en el punto x = 0.
- 16. 2. FUNCIÓN DERIVADA 5DERIVADAS EJERCICIO 2 Estudia la derivabilidad de la función f en x=-2, x=0, x=2. 𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 < −2 −4 𝑥 + 1 𝑠𝑖 − 2 < 𝑥 ≤ 0 3𝑥2 − 4 𝑠𝑖 0 < 𝑥 ≤ 2 12𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 > 2 SOLUCIÓN Para que una función pueda ser derivable en un punto primero tiene que ser continua. 1º Estudiamos la continuidad en los puntos que nos solicitan: - Continuidad en x = -2. Como no existe f(-2) f no es continua en x = -2. No puede ser derivable. - Continuidad en x = 0. * 𝑓 0 = −4 0 + 1 = −4 * lim 0− 𝑓 𝑥 = −4 ; lim 0+ 𝑓 𝑥 = −4 Concluimos entonces que es continua en x=0. Puede ser derivable.
- 17. 2. FUNCIÓN DERIVADA 5DERIVADAS - Continuidad en x = 2. * 𝑓 2 = 3 · 22 − 4 = 12 − 4 = 8 * lim 2− 𝑓 𝑥 = 8 ; lim 2+ 𝑓 𝑥 = 25 Concluimos entonces no es continua en x=-2, por presentar una discontinuidad inevitable. No puede ser derivable. 2º Estudiamos la posible derivabilidad en el punto x=0. Para ser derivable tiene que cumplir que: 𝑓 ´ 0+ = 𝑓 ´ (0−) 𝑓 ´ 0+ = −4 𝑦 𝑓 ´ 0− = 0 → 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛 𝑓 𝑥 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑥 = 0. 𝑓 ´ 𝑥 = 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < −2 −4 𝑠𝑖 − 2 < 𝑥 ≤ 0 6𝑥 𝑠𝑖 0 < 𝑥 ≤ 2 12 𝑠𝑖 𝑥 > 2
- 19. 2. FUNCIÓN DERIVADA 5DERIVADAS 2.2. REGLAS DE DERIVACIÓN 1.DERIVADA DE UNA CONSTANTE 𝑓 𝑥 = 𝐾 → 𝑓´ 𝑥 = 0, 𝑐𝑜𝑛 𝐾 ∈ ℝ 2. DERIVADA DE PRODUCTO POR CONSTANTE 𝑓 𝐾 · 𝑥 ´ = 𝐾 · 𝑓´ 𝑥 , 𝑐𝑜𝑛 𝐾 ∈ ℝ 3. DERIVADA DE LA SUMA/RESTA 𝑓 ± 𝑔 ´ 𝑥 = 𝑓´ 𝑥 ± 𝑔´(𝑥) 4. DERIVADA DE UNA PRODUCTO 𝑓 · 𝑔 ´ 𝑥 = 𝑓´ 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 · 𝑔´(𝑥) 5. DERIVADA DE UNA COCIENTE 𝑓 𝑔 ´ 𝑥 = 𝑓´ 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 · 𝑔´(𝑥) [𝑔 𝑥 ]2 6. DERIVADA DE LA COMPOSICIÓN 𝑓 𝑔 𝑥 ´ = 𝑓 ´ 𝑔 𝑥 · 𝑔´(𝑥)
- 20. 2. FUNCIÓN DERIVADA 5DERIVADAS EJERCICIO Calcula la derivada de las siguientes funciones: 1. f x = e 2. f x = 16 · lnx 3. f x = x + senx − 5x 4. f x = x3 · cosx 5. f x = x−4 −x2 6. f x = sen2 5x
- 21. 2. FUNCIÓN DERIVADA 5DERIVADAS 2.3. DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA La función inversa de la función 𝑓 es otra que de denota 𝑓−1 y que cumple que: 𝑓 ∘ 𝑓−1 𝑥 = 𝑥 ; 𝑓−1 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑥 Se cumple entonces que: 𝑓−1 ´ 𝑥 = 1 𝑓 ´ (𝑓−1 𝑥 ) EJEMPLOS a) y = 𝑥𝑛 → Su inversa es 𝑦−1 = 𝑥 𝑛 , ya que y ∘ 𝑦−1 = x ó y 𝑦−1 x = x, derivando esta expresión: [ 𝑥𝑛 𝑛 ]´ = 1 → n · 𝑥𝑛 𝑛−1 𝑥𝑛 ´ = 1 → 𝑥𝑛 ´ = 1 𝑛 𝑥 𝑛−1𝑛 b) y = 2𝑥5 + 3𝑥 − 1
- 22. 2. FUNCIÓN DERIVADA 5DERIVADAS 2.4. DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES Derivada de la función potencial 𝐲 = 𝒙 𝒏 ; 𝒄𝒐𝒏 𝒏 ∈ ℝ Sea una función y = xn se cumple que su derivada es la función: y´ = n · xn−1 Generalizando: 𝐲 = 𝒙 𝐟(𝐱) → 𝐲 ´ = 𝐟´ 𝒙 · 𝒙 𝒇 𝒙 −𝟏 EJEMPLOS a) y = x3 → y´ = 3x2 b) y = 4x2 → y´ = 8x c) y = −x4 → y´ = −4x3 d) y = 7 → y´ = 0 e) y = 3 𝑥 = 3𝑥−1 → y´ = −3x−2= −3 𝑥2 f) y = 𝑥 = 𝑥1/2 → y ´ = 1 2 x 1 2 −1 = 1 2 x −1 2 = 1 2 𝑥 g) y = 𝑥25 = 𝑥2/5 → y ´ = 2 5 x 2 5 −1 = 2 5 x −3 5 = 2 5 𝑥35
- 23. 2. FUNCIÓN DERIVADA 5DERIVADAS Derivada de la función exponencial 𝐲 = 𝒂 𝒙 ; 𝒄𝒐𝒏 𝒂 ∈ ℝ+ Sea una función y = ax se cumple que su derivada es la función: y´ = ax · ln(a) Caso particular y = ex → y´ = ex Generalizando: y = af(x) → y ´ = f´ 𝑥 · 𝑎 𝑓 𝑥 · ln(𝑎) 𝐲 = 𝐞 𝐟(𝐱) → 𝐲 ´ = 𝒇´ 𝒙 · 𝒆 𝒇 𝒙 EJEMPLOS a) y = 5x → y´ = 5x · 𝑙𝑛5 b) y = 2x → y ´ = 2x · 𝑙𝑛2 c) y = 37x → y ´ = 7 · 37𝑥 · 𝑙𝑛3 d) y = e 𝑥2 → y ´ = 2𝑥 · 𝑒 𝑥2
- 24. 2. FUNCIÓN DERIVADA 5DERIVADAS Derivada de la función logarítmica 𝐲 = 𝒍𝒏𝒙 ; 𝒄𝒐𝒏 𝒙 ∈ ℝ+ Sea una función y = lnx se cumple que su derivada es la función: y´ = 1 𝑥 Caso y = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 → y´ = 1 𝑥·𝑙𝑛𝑎 Generalizando: 𝐲 = 𝐥𝐧 𝒇 𝒙 → 𝐲 ´ = 𝒇 ´ 𝒙 𝒇 𝒙 y = 𝑙𝑜𝑔 𝑎(𝑓 𝑥 ) → y´ = 𝑓 ´(𝑥) 𝑓 𝑥 · ln 𝑎 EJEMPLOS a) y = ln 5𝑥 → y´ = 5 5𝑥 = 1 𝑥 b) y = ln −𝑥3 → y´ = 3𝑥2 −𝑥3 = −3 𝑥 c) y = l𝑜𝑔 5𝑥 + 6 → y´ = 5 5𝑥+6 ·ln 10
- 25. 2. FUNCIÓN DERIVADA 5DERIVADAS Derivada de la función logarítmica 𝐲 = 𝒍𝒏𝒙 ; 𝒄𝒐𝒏 𝒙 ∈ ℝ+ Sea una función y = lnx se cumple que su derivada es la función: y´ = 1 𝑥 Caso y = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 → y´ = 1 𝑥·𝑙𝑛𝑎 Generalizando: 𝐲 = 𝐥𝐧 𝒇 𝒙 → 𝐲 ´ = 𝒇 ´ 𝒙 𝒇 𝒙 y = 𝑙𝑜𝑔 𝑎(𝑓 𝑥 ) → y´ = 𝑓 ´(𝑥) 𝑓 𝑥 · ln 𝑎 EJEMPLOS a) y = ln 5𝑥 → y´ = 5 5𝑥 = 1 𝑥 b) y = ln −𝑥3 → y´ = 3𝑥2 −𝑥3 = −3 𝑥 c) y = l𝑜𝑔 5𝑥 + 6 → y´ = 5 5𝑥+6 ·ln 10
- 26. 2. FUNCIÓN DERIVADA 5DERIVADAS Derivadas de las funciones trigonométricas 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 → 𝑦 ´ = cos 𝑥 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 → 𝑦 ´ = −senx 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 → 𝑦 ´ = 1 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 Generalizando: 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑓 𝑥 → 𝑦 ´ = f ´ x · cos 𝑓 𝑥 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑓 𝑥 → 𝑦 ´ = −f ´ x · sen 𝑓 𝑥 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛 𝑓 𝑥 → 𝑦 ´ = f ´ x 𝑐𝑜𝑠2 𝑓 𝑥 = 𝑓´ 𝑥 · (1 + 𝑡𝑎𝑛2 (𝑓 𝑥 ) EJEMPLOS a) y = sen 5𝑥 → y´ = b) y = cos(−𝑥3 ) → y´ = c) y = tan 5𝑥 + 6 → y´ =
- 27. 2. FUNCIÓN DERIVADA 5DERIVADAS Derivadas de las funciones trigonométricas inversas 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 → 𝑦 ´ = 1 1 − 𝑥2 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 → 𝑦 ´ = −1 1 − 𝑥2 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 → 𝑦 ´ = 1 1 + 𝑥2 Generalizando: 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑓 𝑥 → 𝑦 ´ = f ´ x 1 − (𝑓 𝑥 )2 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑓 𝑥 → 𝑦 ´ = −f ´ x 1 − (𝑓 𝑥 )2 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑓 𝑥 → 𝑦 ´ = f ´ x 1 + (𝑓 𝑥 )2