Presentacion matrices y determinantes
- 1. Republica Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación I.P “Santiago Mariño” Algebra Lineal – Sección :EV Alumno: Andrio Mendoza C.I:26355203 Profesor: Ramón Aray
- 2. Una matriz es un arreglo bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula(A,B..) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b...), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.
- 3. Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en: Matrices cuadradas Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n x n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada. Ejemplo: Sean las matrices A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.
- 4. Matriz identidad Sea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann. La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales. La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A, A· I = I ·A = A. Matrices triangulares Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4
- 5. Matrices diagonales Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22, ...,dnn ). Por ejemplo, son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por diag(3,-1,7) diag(4,-3) y diag(2,6,0,-1). Traspuesta de una matriz La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT. Así, la traspuesta de
- 6. Matrices simétricas Se dice que la matriz real es simétrica, si AT = A; y que es anti simétrica, si AT = -A. Ejemplo: Consideremos las siguientes matrices: Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica. Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es anti simétrica. A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni anti simétrica.
- 7. Matrices ortogonales Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT. Consideremos una matriz 3 3 arbitraria: Si A es ortogonal, entonces: Matrices normales Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = ATA. Obviamente, si A es simétrica, anti simétrica u ortogonal, es necesariamente normal. Ejemplo: Puesto que AAT = ATA, la matriz es normal
- 8. Suma y Resta de matrices Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 x 2 y otra de 3 x 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices. Ejemplo:
- 9. A cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), | A | o Una tabla ordenada n x n de escalares situada entre dos líneas verticales, llamada determinante de orden n, no es una matriz. La función determinante apareció por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtención de éstas.
- 10. Determinantes de orden uno y dos Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue: = a11 Así, el determinante de una matriz 1 x 1 A = (a11) es el propio escalar a11, es decir, det (A) = |a11| = a11. Ejemplos: a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar, tenemos det (24) = 24, det(-3) = -3, det (3x+5) = 3x+5. b)
- 11. Determinantes de orden tres Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria A = (ai j ). El determinante de A se define como sigue: a12a21a33 - a32a23a11 Obsérvese que hay seis productos, cada uno formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo). Para calcular los determinantes de orden tres, el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos:
- 12. Las propiedades básicas del determinante son las siguientes: 1. El determinante de una matriz A y el de su traspuesta AT son iguales, es decir, 2. Sea A una matriz cuadrada, Si A posee dos filas (columnas) iguales, necesariamente = 0. Si A es triangular, esto es, A sólo tiene ceros por encima o por debajo de la diagonal principal, entonces es igual al producto de los elementos de la diagonal. 3. Supongamos que B se ha obtenido de A mediante una operación elemental entre filas o columnas, Si se han intercambiado dos filas (columnas) de A, |B| = - |A|. Si se ha sumado un múltiplo de una fila (columna) a otra, entonces |B| = |A|. Si se ha multiplicado una fila (columna) de A por un escalar k, |B| = k|A|. 4. Sea A cualquier matriz n-cuadrada, son equivalentes los siguientes principios: A es invertible, es decir, A tiene inversa A-1. AX = 0 tiene solamente la solución trivial. El determinante de A no es nulo: |A| 0. 5. El determinante es una función multiplicativa. Es decir, el determinante del producto de matrices A y B es el producto de los determinantes: |AB| = |A| |B|. 6. Supongamos que A y B son matrices similares, entonces: |A| = |B|.
- 13. Determinantes de orden arbitrario Sea A = (ann) una matriz de orden arbitrario n n (siendo n un número par). Para calcular el det (A) se procede de la siguiente manera: Los signos se van alternando según la posición que ocupen las entradas del determinante. Es decir: