Matrices Y Determinantes

ÁLGEBRA SUPERIOR MATRICES Y DETERMINANTES ELABORADO Y REVISADO POR LOS PROFESORES DE LA MATERIA EN EL 2007 Martha G. Canales Leyva Roc ío Patricia Rivas Llanas Leticia Lizette Espinosa Fahl Joaquín Gilberto Treviño Dávila José Santos García Claudio Hiram Carmona Jurado Abraham Leonel López León Carlos Alfonso Gameros Morales Kluis Roberto Fernández Guillén Arturo Córdova González

MATRICES Y DETERMINANTES Antecedentes de conocimientos, actitudes o habilidades Lectura comprensiva Operaciones con quebrados Cálculo de determinante de matrices de 2do y 3er orden Números Complejos Cálculo de permutaciones

MATRICES Y DETERMINANTES 5.1. Generalidades Definición: Es un arreglo de elementos dispuestos en “m” filas y “n” columnas. El nombre de la matriz se escribe con letra mayúscula entre paréntesis rectangulares (corchetes). La cantidad de las filas y de columnasde una matriz, se indican como subíndice despúes del nombre de la matriz. El primer índice corresponde a las filas y el segundo a las columnas. Ejemplo : [B] m,n Los elementos de una matriz también se presentan entre paréntesis rectangulares (corchetes). [B] 4,3 =

MATRICES Y DETERMINANTES 5.1. Generalidades Orden de una matriz Es la cantidad de filas y columnas de la matriz . Se lee: matriz de orden m por n Ejemplo: [B] m,n Matriz de 4 por 3 [B] 4,3 =

MATRICES Y DETERMINANTES 5.1. Generalidades Matriz Cuadrada Es aquella matriz cuyo número de filas es igual al número de columnas. Ejemplo [B] 3,3 1 -4 5 -2 4 0 4 5 2 Se lee matriz de tercer orden

MATRICES Y DETERMINANTES 5.1. Generalidades Matriz Rectangular Es aquella matriz cuyo número de filas es diferente al número de columnas. Ejemplo [B] 3,4 1 -4 5 3 -2 4 0 -2 4 5 2 6

MATRICES Y DETERMINANTES 5.1. Generalidades Diagonal Principal Es la línea en que quedan ubicados los elementos a 11 , a 22 ,a 33 ,a 44 ... (número de columna = número de la fila) de la matriz. La Diagonal principal. Ejemplos: Elementos de la diagonal principal: 5, -7 y 7

MATRICES Y DETERMINANTES 5.1. Generalidades Diagonal Secundaria Cualquier diagonal de una matriz, que no sea la Diagonal Principal. Ejemplo: Elementos de la diagonal secundaria indicada: 0, 8, -4

MATRICES Y DETERMINANTES 5.1. Generalidades Traza De una matriz cuadrada, es la suma algebraica de los valores de los elementos de la diagonal principal. Ejemplo: La traza de la matriz es traza = 5 –7 +7 = 5

MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices Suma de dos matrices Sean dos matrices conformables para la suma (mismo orden), se define la suma como: [C] m,n = [A] m,n + [B] m,n La matriz [C] tendrá el mismo o rden de [A] ó [B]. Cada elemento de C es la suma del correspondiente elemento de [A] y [B] c i,j = a i,j + b i,j Para i = 1,2 .....m y j = 1,2 ......n + =

MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices Resta de dos matrices Sean dos matrices conformables para la resta (mismo orden), se define la resta como: [C] m,n = [A] m,n - [B] m,n La matriz [C] tendrá el mismo o rden de [A] ó [B]. Cada elemento de C es la resta algebraica de los correspondientes elementos de [A] y [B] c i,j = a i,j - b i,j Para i = 1,2 .....m y j = 1,2 ......n Ejemplo - =

MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices Propiedades de la Suma y Resta Matricial Sean tres matrices conformables para la suma y k un escalar [A] m,n , [B] m,n , [C] m,n [A] + [B] = [B] + [A] Ley Conmutativa [A] +( [B] + [C] ) = ( [A] + [B] )+ [C] Ley Asociativa k ( [A] + [B] ) = k [A] + k [B] = ( [A] + [B] )k Ley Distributiva de un escalar por la izquierda o derecha en la suma Existe una matriz [C] tal que [A] + [C] = [B]

MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices Producto de una matriz por un escalar Sea k un escalar y la matriz [A] m,n, se define la muliplicación de una matriz por un escalar como [C] m,n = k [A] m,n En donde c i,j = k a i,j (i=1,2,3....m; j=1,2,3...n) Ejemplo [C] = 3 [A] 3 =

MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices Producto de dos matrices Dos matrices se dice ser conformables para la multiplicación si: [A] ma,na [B] mb,nb El número de columnas de [A] es igual al número de filas de [B] El producto de dos matrices es [C] ma,nb = [A] ma,n x [B] mb,nb Con c i,j =  k=1 a i,k x b k,j (i=1,2,3....ma; j=1,2,3...na) = na

MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices x = Ejemplo [C] ma,nb = [A] ma,na x [B] mb,nb Son conformables para la multiplicación ya que na = mb

MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices Leyes de la suma y la Multiplicación Sean tres matrices [A] [B] [C] conformables para la suma y multiplicación Primera Ley Distributiva [A]( [B] + [C] ) = [A] [B] + [A] [C] Segunda Ley Distributiva ([A] + [B]) [C] = [A] [C] + [B] [C] Ley Asociativa [A] ( [B] [C] ) = ( [A] [B] ) [C] En general 1) [A] [B] [B] [A] 2) [A] [B] = [0] No necesariamente [A] = [0] o [B] = [0] 3) [A] [B] = [A] [C] No necesariamente [B] = [C]

MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices Matriz Transpuesta Sea la matriz [A] ma,na , la matriz transpuesta se define como: [A] mb,nb en donde a i, j = a j, i Para i = 1,2 .....ma j = 1,2 ......na mb = na y nb = ma También se denotar como [A]’ [A] = [A] = T T T

MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices Propiedades de la Matriz Transpuesta Sean las matrices [A] [B] con sus respectivas transpuestas [A]’ [B]’ y k un escalar i) [A’]’= [A] ii) (k [A])’ = k [A]’ La transpuesta de la suma de dos matrices es la suma de sus transpuestas ( [A]+ [B] )’ = [A]’ + [B]’ La transpuesta del producto de dos matrices es el producto en orden inverso de sus transpuestas. ( [A] [B] )’ = [B]’ [A]’

MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales Matriz Identidad [  ] o Unidad Es una matriz cuadrada cuyo valor de los elementos de la diagonal principal es uno y valor cero en todos los demás elementos. [   ] =

MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales Matriz Cero o Nula Es una matriz cuadrada en la cual el valor de todos los elementos es cero . Ejemplo [ 0 ] = [ 0 ] =

MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales Matriz Opuesta o Negativa. - [A] Se obtiene de la matriz [A] multiplicando cada elemento por el escalar -1 Ejemplo Sea la matriz [A] = -1 [A] =

MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales Matrices Iguales Son aquellas que tienen el mismo orden y cada elemento de una es igual al correspondiente elemento de la otra. [A] = [B] a i,j = b i,j para i =1,2,3.... m j =1, 2,3... n Ejemplo =

MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales Matrices Conmutativas Son aquellas matrices para las cuales se cumple : Sean [A] y [B] matrices cuadradas tales que [A] x [B] = [B] x [A] =

MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales Matriz Diagonal Es una matriz cuadrada en la cual el valor de todos los elementos son cero excepto en la diagonal. [ F ] = B

MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales Matriz Escalar Es una matriz cuadrada en la cual el valor de todos los elementos son cero excepto en la diagonal principal, que tienen el mismo valor. a 11 =a 22 =a 33 =a 44 = k donde k es un escalar B= B B = -4 [ I ]

MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales Matriz Triangular Superior Es una matriz cuadrada cuyos elementos en la parte superior de la diagonal principal y en ella, el valor es diferente de cero. El valor de los elementos abajo de la diagonal principal es cero a i j = 0 para i > j Ejemplo

MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales Ejemplo Matriz Triangular Inferior Es una matriz cuadrada cuyos elementos en la parte inferior de la diagonal principal y en ella, el valor es diferente de cero. El valor de los elementos arriba de la diagonal principal es cero. a i j = 0 para i < j

MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales Matrices simétricas Aquellas que cumplen con: [A]’ = [A]. Propiedad Si [A] es una matriz cuadrada [A] + [A]’ es simétrica Ejemplo: la matriz [A] es simétrica ya que: [A] ’ = [A] =

MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales Matriz Antisimétrica o Hemisimétrica Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta (o negativa) de su transpuesta. Necesariamente los elementos de la diagonal principal tienen el valor de cero. [A] = - 1 [A]’ Ejemplo La matriz [A] es antisim étrica ya que: -1 [A] ’ = [A] =

MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales Matriz Periódica Aquella matriz [A] para la cual [A] k+1 = [A] Donde k es un entero positivo Se dice que la matriz es de un periodo k [A]x [A] = [A ] [A] = Ejemplo: [A] es peri ó dica, con periodo 1

MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales Matriz Idempotente Es una matriz Periódica con período 1 Ejemplo [A]x [A] = [A ] [A] =

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante Conceptos generales Las matrices cuadradas tienen un valor asociado denominado determinante. Se denota por |A| ó  El valor del determinante se puede calcular por medio de varios m étodos.

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante Permutación de n elementos P= n! Permutaciones de los elementos 1 y 2 P = 2! = 2 y son 12, 21 Permutaciones de los elementos 1, 2 y 3 P = 3!= 6 y son 123 132 213 231 312 321 Permutaciones de los elementos 1,2,3 y 4 P= 4! = 24 considerar las siguientes 1234 2134 3124 4123 1324 2314 3214 4213

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante Inversión En una disposición cualquier cantidad de dígitos, es una inversión cuando un dígito se encuentra a la izquierda de otro dígito menor. Inversion par, es cuando la cantidad de las inversiones es un número par, de otra forma de llama inversión impar. Ejemplo: De la siguiente disposición de dígitos se tiene que hay 6 inversiones 4 3 1 6 2 El 4 es mayor que 3 1 y 2 El 3 es mayor que 1 y 2 El 6 es mayor que el 2

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante Definición de determinante usando las inversiones de una permutación |A | =  r  j1 j2 ...... Jn a 1 j1 a 2 j2 ..... a n jn Es la suma de las Permutaciones r= n! j1 j2 ...... Jn de los enteros 1,2,3 .... N  j1 j2 ...... Jn = +1 o bien –1 según la permutación tenga inversion par o impar a 1 j1 a 2 j2 ..... a n jn es un producto de n de los elementos elegidos de manera que solo exista un elemento de cada fila y de cada columna

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante Definición de determinante de segundo orden usando las inversiones de una permutación |A| =  12 a 11 a 22 +  21 a 12 a 21  21 permutacion impar  12 permutacion par = a 11 a 22 - a 12 a 21 a 11 a 12 a 21 a 22

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante Definición de determinante de tercer orden usando las inversiones de una permutación..... |A| =  123 a 11 a 22 a 33 +  132 a 11 a 23 a 32 +  213 a 12 a 21 a 33 +  231 a 12 a 23 a 31 +  312 a 13 a 21 a 32 +  321 a 13 a 22 a 31 Permutaciones par  123  231  312 Permutaciones impares  132  213  321 Re acomodando queda |A| =a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 -( a 13 a 22 a 31 + a 23 a 32 a 11 +a 33 a 12 a 21 ) a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante Definición de determinante de tercer orden usando las inversiones de una permutación Y también queda: |A| = a 11 (a 22 a 33 - a 23 a 32 ) - a 12 (a 21 a 33 - a 23 a 31 ) + a 13 (a 21 a 32 - a 22 a 31 ) = a 11 - a 12 +a 13

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante Menor De un elemento de una Matriz de orden n, es el valor del determinante de orden n-1 formado al suprimir la fila y la columna de ese elemento . Se representa por | M i j | Ejemplo: Sea la matriz El menor del elemento a 11 |M 11 | = = - 9 +8 =-1

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4.Determinante Matriz de Menores Es la matriz cuadrada cuyos elementos con los menores de cada uno de los elementos. Ejemplo [ M ] = [ M ] = =

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante Cofactor Es un valor asociado a cada elemento de una matriz cuadrada y es:  i,j = ( - 1 ) i+j |M| i,j Donde | M i,j | es el menor del elemento a i,j Y el signo dependerá de la suma de i +j: será + si la suma es par ó - si la suma es impar Signos por el lugar que ocupa el elemento + - + - + - . . . . . - + - + - . . . . . + - + - + - . . . . - + - + - . . . . .

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes Matriz de Cofactores Es la matriz cuadrada formada por los cofactores de cada uno de sus elementos. Ejemplo [ A ] = - Con [M] = Aplicando los signos correspondientes a cada elemento: Cofactores [A] =

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes Propiedades.... 1 Si se intercambian las filas por las columnas en un determinante, el valor del determinante no se modifica. Por lo anterior se hará la referencia como línea la fila o columna.

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes Propiedades.... 2 Si el valor de todos los elementos de una línea son nulos, el determinante vale cero.

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes Propiedades.... 3 Si se permutan dos líneas, el valor del determinante cambia de signo.

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes Propiedades.... 4 Si un determinante tiene dos líneas iguales, el valor del determinante es cero.

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes Propiedades.... 5 Si todos los elementos de una línea se multiplican por un mismo número “q”, el valor del determinante resultará multiplicado por “q”.

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes Propiedades.... 6. Si todos los elementos de una línea son la suma de dos (o más) términos el determinante es igual a la suma de dos (o mas) determinantes.

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes Propiedades 7. Si todos los elementos de una línea se suman con los elementos correspondientes de otra línea multiplicados por un numero k, el valor del determinante no varía.

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes Cálculo de determinantes de orden superior, empleando cofactores Es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea multiplicados cada uno por su respectivo adjunto. Sea un determinante de orden n: 1 Seleccionar una línea 2 Multiplicar cada elemento de la línea seleccionada, por su correspondiente cofactor. 3 Se realizar las operaciones, y se reduce debido al paso 1, el orden del determinante a n-1 4 Aplicar repetitivamente los pasos 1 y 2 hasta reducir en un determinante de segundo orden.

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes Cálculo de determinantes de orden superior, empleando cofactores Ejemplo: C alcular |G| de la matriz [G] = 1.- Seleccionar una línea, tercera columna 2.- Multiplicar cada elemento de la línea seleccionada, por su correspondiente cofactor. = 3 - 0 +5 = 3(-72) –0 + 5(14) = -2 3.- Se realizar las operaciones, y se reduce debido al paso 1, el orden del determinante a n-1 |G| = -2

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante Determinante de la matriz Identidad El valor del determinante de la matriz Idenidad tiene el valor de 1.     Calcular el determinante de:   

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante Determinante de la matriz Cero o Nula El valor del determinante de la matriz Cero o Nula tiene el valor de 0. |0| =    Calcular el determinante de:  |0| 

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante Determinante de la matriz Diagonal El valor del determinante de la matriz Diagonal es el valor del producto algebraico de los valores de los elementos de la diagonal principal. |H| =  H  h 11 h 22 h 33 h 44...... Calcular el determinante de:  H ] =  |H| =  H 

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante Determinante de la matriz Escalar El valor del determinante de la matriz Escalar es igual a (k) n donde n es el orden de la matriz Escalar y k el valor de la diagonal principal. Calcular el determinante de: [S ] = |S| =  S  (2) n = (2) 3 = 8

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante Determinante de la matriz Triangular Superior El valor del determinante de la matriz Triangular Superior es igual al producto algebraico de los valores de los elementos de su diagonal principal. |K| =  K  k 11 k 22 k 33 k 44...... Calcular el determinante de:  [K ] =  |K| =  k 

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante Determinante de la matriz Triangular Inferior El valor del determinante de la matriz Triangular Inferior es igual al producto algebraico de los valores de los elementos de su diagonal principal. |K| =  K  k 11 k 22 k 33 k 44...... Calcular el determinante de:  [K ] =  |K| =  k 

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante Rango r de una matriz Para matrices cuadradas que [A]  [0] Es el orden del determinante de valor diferente de cero, el orden de ese determinante debe ser el de mayor orden de la matriz  A] La matriz cero [0] tiene r = 0 Ejemplo [A] = r= 3 ya que |A| 0

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante Rango r de una matriz Ejemplo: Calcular el rango de El rango r no es 3 (orden de [A]) ya que |A| = 0 Entonces se procede a revisar si por lo menos uno de los 9 determiantes de segundo orden tiene valor diferente a cero. Y el menor de a 11 = = -32 y el orden es 2 Por lo tanto el rango de  A]  es r =2 [A] =

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante Matriz Singular Es una matriz de orden n en la cual se cumple que: r < n Ejemplo: De la matriz Determinar si la matriz es singular Como |A| = 0 y a 21 =  y el orden es 2 Entonces r = 2 por lo que 2 < 3 La matriz es Singular [A]=

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante Matriz No Singular Aquella matriz de orden n en la cual se cumple que: r = n El rango de la matriz es igual al orden de la matriz Ejemplo: De la matriz [A]= Determinar si la matriz es no singular Como |A|  0 Entonces r = 3 entonces 3 = 3 La matriz es No Singular

MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa Matriz Inversa Si [A] y [B] -1 son matrices cuadradas, conformables para la multiplicaci ó n, la matriz Inversa [B] -1 es aquella que cumple con: [A] x [B] -1 = [B] -1 [A] = [  ] A la matriz [B] -1 se le llama matriz Inversa de [A] Ejemplo de matrices Inversas: x =

MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa Matriz Adjunta Es aquella matriz que se forma de una matriz cuadrada . La manera de construirla es la siguiente: Construir la matriz de cofactores. cofactores [M] Transponer la matriz de cofactores. ( cofactores [M] ) T adj [A] = ( cofactores [M] ) T

MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa Matriz Adjunta Ejemplo Sea una matriz [A])= Con su correspondiente matriz de cofactores cofactores [M] = Entonces adj [A] =

MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa Propiedades de la Matriz Adjunta [A] x adj [A] = (| A |) [  Ejemplo Sea [A]= |A| = - 2 y adj [A] = Entonces: x = ( -2)

MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa Propiedades de la Matriz Adjunta La Matriz Adjunta de un producto matricial es igual al producto de las adjuntas de las matrices adj ( [A] x [B] ) = adj [B] x adj [A]

MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa Matriz Inversa por medio de la Matriz Adjunta Con base en el concepto de Matriz Adjunta se tiene que [A] x adj [A] = | A | [  ] Si [A] es no singular entonces | A |=0 despejando: [A] = [  ] Entonces [A] –1 =

MATRICES Y DETERMINANTES 5.5.2. Matriz Inversa Ejemplo Calcular la Matriz inversa por medio de la matriz adjunta Sea [A] = y la Adj [A] = y |A| = - 2 Entonces [A] –1 =(-1/2)

MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa Transformaciones elementales en una matriz.... Al realizarse las transformaciones elementales en una matriz, no se cambia el valor del orden ni del rango de la matriz. Se k un escalar diferente a 0 1. El intercambio de filas. Ejemplo intercambiar los elementos de la fila uno por los elementos de la fila tres. 2. El intercambio de columnas. Mismo concepto de las filas. 3. La multiplicación de cada elemento de una fila por un escalar k .

MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa Transformaciones elementales en una matriz 4. La multiplicación de cada elemento de una columna por un escalar k. 5. La suma a los elementos de una fila de k veces los correspondientes elementos de otra fila. 6. La suma a los elementos de una columna de k veces los correspondientes elementos de otra columna.

MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa Matrices Equivalentes Dos matrices [A] y [B] son equivalentes, si una puede ser obtenida de la otra por una secuencia de transformaciones elementales. Se denotan como [A]  [B] Ambas matrices tienen el mismo orden y el mismo rango

MATRICES Y DETERMINANTES 5.5.3. Matriz Inversa Matriz Inversa por medio de Transformaciones elementales Pasos: A la matriz [A] cuadrada, de orden m se le agrega en la parte derecha la matriz identidad, de orden m . [ [ A ] [  ] ] quedando una matriz aumentada 2. Por medio de transformaciones elementales, se obtiene la matriz identidad [  ] en el lugar en que estaba la matriz [A]. Y en el lugar en que estaba la matriz [  ] queda la matriz inversa [ [  ] [ A ] -1 ]

MATRICES Y DETERMINANTES 5.5.3. Matriz Inversa Ejemplo Matriz Inversa por Transformaciones Elementales…. Sea [A] = 1. Se forma la matriz aumentada [ [ A ] [  ] ] = 2 Se realizan las transformaciones elementales para obtener [  ] Se intercambian los renglones 1 y 2  2da fila = 2da fila + 3 1era fila 

MATRICES Y DETERMINANTES 5.5.3. Matriz Inversa Ejemplo Matriz Inversa por Transformaciones Elementales…. 2 da fila = (-1/7) 2da fila  1a fila = 1a fila –4 2da fila  [ A ] -1 =

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