Combinacion y Lineal
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Este documento trata sobre conceptos fundamentales de álgebra lineal como combinaciones lineales, espacios generados e independencia lineal. Define una combinación lineal como una suma de vectores multiplicados por escalares. Explica que un conjunto de vectores genera un espacio vectorial si cualquier vector en ese espacio puede escribirse como una combinación de esos vectores. También define la independencia lineal y cómo determinar si un conjunto de vectores es linealmente dependiente o independiente.
Combinacion y Lineal
- 1. Combinaci´on Lineal ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal y Espacio Genera- do Combinaci´on Espacio Generado Linealidad Combinaci´on Lineal y Espacio Generado Linealidad ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal
- 2. Combinaci´on Lineal ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal y Espacio Genera- do Combinaci´on Espacio Generado Linealidad Combinaci´on Lineal y Espacio Generado Linealidad Combinaci´on Lineal y Espacio Generado Braian Moreno Cifuentes Departamento de Matem´aticas, F´ısica y Estad´ıstica Universidad de La Sabana ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal
- 3. Combinaci´on Lineal ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal y Espacio Genera- do Combinaci´on Espacio Generado Linealidad Combinaci´on Lineal y Espacio Generado Linealidad En esta presentaci´on, se mencionan los conceptos de espacio generado, conjunto generador e independencia lineal, dando las definiciones b´asicas y algunos ejemplos. ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal
- 4. Combinaci´on Lineal ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal y Espacio Genera- do Combinaci´on Espacio Generado Linealidad Combinaci´on Lineal y Espacio Generado Linealidad Combinaci´on Espacio Generado Definici´on Sean v1, v2, v3, · · · , vn vectores en un espacio vectorial V . Entonces cualquier vector de la forma: α1v1 + α2v2 + α3v3 + · · · + αnvn donde α1, α2, α3, · · · , αn son escalares, recibe el nombre de una combinaci´on lineal de v1, v2, v3, · · · , vn. ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal
- 5. Combinaci´on Lineal ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal y Espacio Genera- do Combinaci´on Espacio Generado Linealidad Combinaci´on Lineal y Espacio Generado Linealidad Combinaci´on Espacio Generado Se debe tener en cuenta que solo se debe combinar elementos para tener unos nuevos elementos que pertenezcan al mismo espacio. As´ı, se pueden tener los siguientes ejemplos: • En R3 : 4 8 10 = 2 −2 1 4 + 1 8 6 2 As´ı, α1 = 2 y α2 = 1. ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal
- 6. Combinaci´on Lineal ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal y Espacio Genera- do Combinaci´on Espacio Generado Linealidad Combinaci´on Lineal y Espacio Generado Linealidad Combinaci´on Espacio Generado • En M2×3: −3 2 8 −1 9 3 = −3 1 0 −4 −1 −1 −5 + 2 0 1 −2 −2 3 −6 As´ı, α1 = −3 y α2 = 2. • En Pn(x), todo polinomio se puede escribir como una combinaci´on lineal de los monomios 1, x, x2 , x3 , · · · , xn . ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal
- 7. Combinaci´on Lineal ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal y Espacio Genera- do Combinaci´on Espacio Generado Linealidad Combinaci´on Lineal y Espacio Generado Linealidad Combinaci´on Espacio Generado Definici´on Se dice que los vectores v1, v2, v3, · · · , vn de un espacio vectorial V genera a V si todo vector en V se puede escribir como una combinaci´on lineal de los mismos. Es decir, para todo v ∈ V , existen escalares α1, α2, α3, · · · , αn tales que: v = α1v1 + α2v2 + α3v3 + · · · + αnvn. ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal
- 8. Combinaci´on Lineal ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal y Espacio Genera- do Combinaci´on Espacio Generado Linealidad Combinaci´on Lineal y Espacio Generado Linealidad Combinaci´on Espacio Generado Algunos conjuntos generadores son: • Los vectores de la matriz identidad Im. • El conjunto K dado por K = 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1 . genera a M2×2. ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal
- 9. Combinaci´on Lineal ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal y Espacio Genera- do Combinaci´on Espacio Generado Linealidad Combinaci´on Lineal y Espacio Generado Linealidad Combinaci´on Espacio Generado PREGUNTA ¿Alg´un polinomio de grado finito genera a P? ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal
- 10. Combinaci´on Lineal ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal y Espacio Genera- do Combinaci´on Espacio Generado Linealidad Combinaci´on Lineal y Espacio Generado Linealidad Combinaci´on Espacio Generado Definici´on Sean v1, v2, v3, · · · , vk, k vectores de un espacio vectorial V . El espacio generado por {v1, v2, · · · , vk}, es el conjunto de combinaciones lineales v1, v2, · · · , vk. Es decir: gen{v1, v2, · · · , vk} = {v : v = α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn} donde α1, α2, · · · , αk son escalares arbitrarios. ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal
- 11. Combinaci´on Lineal ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal y Espacio Genera- do Combinaci´on Espacio Generado Linealidad Combinaci´on Lineal y Espacio Generado Linealidad Combinaci´on Espacio Generado Corolario El espacio generado por vectores, es un espacio vectorial. Corolario El espacio generado por dos vectores diferentes de 0 en R3 que no son paralelos es un plano que pasa por el origen. ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal
- 12. Combinaci´on Lineal ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal y Espacio Genera- do Combinaci´on Espacio Generado Linealidad Combinaci´on Lineal y Espacio Generado Linealidad Combinaci´on Espacio Generado Sean v1 = (2, −1, 4) y v2 = (4, 1, 6). Entonces: H = gen{v1, v2} = {v : v = α1(2, −1, 4) + α2(4, 1, 6)}. Si v = (x, y, z) ∈ H, entonces: x = 2α1 + 4α2, y = −1α1 + 1α2, z = 4α1 + 6α2. ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal
- 13. Combinaci´on Lineal ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal y Espacio Genera- do Combinaci´on Espacio Generado Linealidad Combinaci´on Lineal y Espacio Generado Linealidad Combinaci´on Espacio Generado Si el vector (x, y, z) es fijo, entonces, se puede resolver un sistema de tres ecuaciones con dos inc´ognitas. Al resolver se tiene: −1 1 | y 2 4 | x 4 6 | z → 1 0 | x 6 − 2y 3 0 1 | x 6 + y 3 0 0 | −5x 3 + 2y 3 + z Se sabe que el sistema tiene una soluci´on ´unicamente si −5x 3 + 2y 3 + z = 0. As´ı: 5x − 2y − 3z = 0 ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal
- 14. Combinaci´on Lineal ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal y Espacio Genera- do Combinaci´on Espacio Generado Linealidad Combinaci´on Lineal y Espacio Generado Linealidad Combinaci´on Espacio Generado Dados los siguientes vectores en P2: v1 = 2t2 + t + 2, v2 = t2 − 2t, v3 = 5t2 − 5t + 2, v4 = −t2 − 3t − 2. Determinar si el vector u = t2 + t + 2 ∈ gen{v1, v2, v3, v4}. Considerar α1v1 + α2v2 + α3v3 + α4v4 = u y resolver el sistema de ecuaciones. Observaci´on Para conlcuir espacios generados, se debe analizar la consistencia o inconsistencia del sitema de ecuaciones lineales que se plantea. ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal
- 15. Combinaci´on Lineal ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal y Espacio Genera- do Combinaci´on Espacio Generado Linealidad Combinaci´on Lineal y Espacio Generado Linealidad Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinaci´on lineal de los restantes. La dependencia e independencia lineal es ´util para encontrar soluciones generales a ecuaciones diferenciales que tienen miles de aplicaciones: Ingenier´ıa, f´ısica, qu´ımica, etc. ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal
- 16. Combinaci´on Lineal ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal y Espacio Genera- do Combinaci´on Espacio Generado Linealidad Combinaci´on Lineal y Espacio Generado Linealidad Definici´on Sean v1, v2, · · · , vn, n vectores en un espacio vectorial V . Entonces, se dice que los vectores son linealmente dependientes si existen n escalares c1, c2, · · · , cn, no todos cero tales que: c1v1 + c2v2 + c3v3 + · · · + cnvn = 0. Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes. ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal
- 17. Combinaci´on Lineal ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal y Espacio Genera- do Combinaci´on Espacio Generado Linealidad Combinaci´on Lineal y Espacio Generado Linealidad Determinaci´on de dependencia o independecia lineal El procedimiento para determinar so los vectores v1, v2, · · · , vn son linealmente dependientes o linealmente independiente es: 1 Se plantea la ecuaci´on de la definici´on, para llegar a un sistema homog´eneo. 2 Si el sistema homog´eneo posee s´olo la soluci´on trivial, entonces los vectores dados son linealmente independientes; si tiene una soluci´on no trivial, entonces los vectores son linealmente dependientes. ´Algebra Lineal Combinaci´on Lineal