9. matrices
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La matriz describe los costos de mano de obra y materiales para la producción de zapatos, carteras y correas. Los costos de mano de obra son de $5, $3 y $2 respectivamente para cada producto, mientras que los costos de materiales son de $6, $2 y $1.
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REPRESENTACIÓN GENERAL DE UNA MATRIZ DE ORDEN m x n
nxmmnmm
n
n
a...aa
.
.
.
.
a...aa
a...aa
A
=
21
22221
11211 Donde:
aij : es el elemento o entrada
general ubicado en la fila “i” ,
columna j
REPRESENTACIÓN ABREVIADA DE UNA MATRIZ DE ORDEN m x n
A = [ aij ]m x n
Donde:
aij : es el elemento o entrada general
i = 1, 2, 3, ….., m
j = 1, 2, 3, ….., n](https://image.slidesharecdn.com/9-130730091936-phpapp02/85/9-matrices-4-320.jpg)
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Matriz fila o Vector fila
Es una matriz que tiene sólo una fila
Ejemplo: B = [ 3 -2 5 6 1 ]1 x 4
Matriz columna o Vector columna
Es una matriz que tiene sólo una columna
Ejemplo:
13
1
0
2
x
C
−
=](https://image.slidesharecdn.com/9-130730091936-phpapp02/85/9-matrices-5-320.jpg)
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Construcción de una Matriz
Construir la siguiente matriz:
A = [ aij ]2x3 tal que:
≠
+
=−
=
jiSi,
ji
jiSi,ji
aij
2
2
=A
a11 =
a12 =
a13 =
a21 =
a22 =
a23 =
Solución:
Col. 1 Col. 2 Col. 3
Fila 1
Fila 2
1
3/2
2
3/2
2
5/2
1 3/2 2
3/2 2 5/2](https://image.slidesharecdn.com/9-130730091936-phpapp02/85/9-matrices-7-320.jpg)
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IGUALDAD DE MATRICES
Definición.- Las matrices A=[aij] y B=[bij] son iguales si y sólo si tienen
el mismo orden, además aij = bij para cada i y cada j (esto es,
entradas correspondientes iguales)
−
=
54
31
52
1
y
x 23 =∧−= yx
23
40
31
52
x
A
−=
TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ
Definición.- La transpuesta de una matriz de orden m x n se denota AT
,
es la matriz de orden n x m cuya i-ésima columna es la i-ésima fila de A
32
435
012
x
T
A
−
=
PROPIEDAD: (AT
)T
= A
Ejemplo:
Ejemplo:](https://image.slidesharecdn.com/9-130730091936-phpapp02/85/9-matrices-8-320.jpg)
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SUMA DE MATRICES
Definición.- Si A=[aij] y B=[bij] son matrices de orden m x n, entonces
la suma A+B es la matriz de orden m x n que se obtiene sumando los
correspondientes elementos de A y B, es decir:
A+B =[aij + bij]mxn
Ejemplos:
=
−−
−
−
+
−
−
2x32x3
12
52
87
810
50
32
2x3
712
02
55
−
−
−
−
−
+
−
89
31
92
43
15 No está definida ya que las
matrices son de diferente orden](https://image.slidesharecdn.com/9-130730091936-phpapp02/85/9-matrices-13-320.jpg)
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MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
Definición.- Si A es una matriz de orden m x n y k es un
número real (también llamado escalar), entonces kA es
una matriz de orden m x n que se obtiene multiplicando
cada elemento de A por k, es decir:
kA =[ kaij ]mxn
Ejemplo: =
−
−
−
704
153
2
−
−−
1408
2106](https://image.slidesharecdn.com/9-130730091936-phpapp02/85/9-matrices-15-320.jpg)
9. matrices
- 1. 1 MATRICES
- 2. 2 Zapatos Carteras Correas Mano de obra: 5 3 2 Material 6 2 1 Introducción En una fábrica se producen zapatos, carteras y correas, siendo los costos de mano de obra y material los que se indican en la siguiente tabla: COSTOS DE FABRICACIÓN (en $)
- 3. 3 MATRICES Definición.- Una matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos en filas (líneas horizontales) y columnas (líneas verticales), encerrados entre corchetes o paréntesis. Para representar a una matriz se utilizan letras mayúsculas. − = 4 1 2 0 5 3 AEjemplo: Es una matriz de 3 filas y 2 columnas ORDEN DE UNA MATRIZ El orden de una matriz se representa como: m x n, donde “m” es el número de filas y “n” el número de columnas. Para el ejemplo anterior A es una matriz de 3 x 2
- 4. 4 REPRESENTACIÓN GENERAL DE UNA MATRIZ DE ORDEN m x n nxmmnmm n n a...aa . . . . a...aa a...aa A = 21 22221 11211 Donde: aij : es el elemento o entrada general ubicado en la fila “i” , columna j REPRESENTACIÓN ABREVIADA DE UNA MATRIZ DE ORDEN m x n A = [ aij ]m x n Donde: aij : es el elemento o entrada general i = 1, 2, 3, ….., m j = 1, 2, 3, ….., n
- 5. 5 Matriz fila o Vector fila Es una matriz que tiene sólo una fila Ejemplo: B = [ 3 -2 5 6 1 ]1 x 4 Matriz columna o Vector columna Es una matriz que tiene sólo una columna Ejemplo: 13 1 0 2 x C − =
- 6. 6 Construcción de una Matriz Construir una matriz de 2x3 con la siguiente información: a21 = -6 a12 = 4 a11 = 0 a23 = 1 a13 = -2 a22 = 5 =A Fila 1 Fila 2 Col. 1 Col. 2 Col. 3 -6 40 1 -2 5 Solución:
- 7. 7 Construcción de una Matriz Construir la siguiente matriz: A = [ aij ]2x3 tal que: ≠ + =− = jiSi, ji jiSi,ji aij 2 2 =A a11 = a12 = a13 = a21 = a22 = a23 = Solución: Col. 1 Col. 2 Col. 3 Fila 1 Fila 2 1 3/2 2 3/2 2 5/2 1 3/2 2 3/2 2 5/2
- 8. 8 IGUALDAD DE MATRICES Definición.- Las matrices A=[aij] y B=[bij] son iguales si y sólo si tienen el mismo orden, además aij = bij para cada i y cada j (esto es, entradas correspondientes iguales) − = 54 31 52 1 y x 23 =∧−= yx 23 40 31 52 x A −= TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ Definición.- La transpuesta de una matriz de orden m x n se denota AT , es la matriz de orden n x m cuya i-ésima columna es la i-ésima fila de A 32 435 012 x T A − = PROPIEDAD: (AT )T = A Ejemplo: Ejemplo:
- 9. 9 MATRICES ESPECIALES Matriz Nula o Matriz Cero.- Es una matriz que tiene todos sus elementos iguales a cero. Se denota por O. 43 0000 0000 0000 x O =Ejemplo: Matriz Cuadrada.- Es una matriz que tiene el mismo número de filas y columnas, Es una matriz nula de orden 3x4 se denota así: O 3x4 Ejemplo: − − = 672 014 523 A Es una matriz cuadrada de orden 3 Diagonal principal
- 10. 10 MATRICES ESPECIALES Matriz Diagonal.- Una matriz cuadrada A es llamada matriz diagonal si todos los elementos que se encuentran fuera de la diagonal principal son cero, es decir: aij = 0 para todo i ≠ j Ejemplos: −= 500 010 002 A Matriz diagonal de orden 3 − = 7000 0000 0050 0003 B Matriz diagonal de orden 4
- 11. 11 Matriz Triangular superior.- Una matriz cuadrada A es llamada matriz triangular superior si todos los elementos que se encuentran debajo de la diagonal principal son cero, es decir: aij = 0 para todo i > j. Ejemplo: − − = 300 150 941 A Matriz Triangular inferior.- Una matriz cuadrada A es llamada matriz triangular inferior si todos los elementos que se encuentran arriba de la diagonal principal son cero, es decir: aij = 0 para todo i < j. Ejemplo: − − = 7863 0129 0057 0003 B
- 12. 12 OPERACIONES CON MATRICES Considere que un comerciante de vehículos vende dos modelos: Deluxe y Super. Cada uno está disponible en dos colores, rojo y azul. Suponga que las ventas de enero y febrero están representadas por las matrices de ventas: = 53 21 E Deluxe Super Rojo Azul = 24 13 F Deluxe Super Rojo Azul Si queremos las ventas totales para cada modelo y color durante los dos meses, ¿Qué operación debemos hacer y cómo? Resultado: = 77 34 V Deluxe Super Rojo Azul
- 13. 13 SUMA DE MATRICES Definición.- Si A=[aij] y B=[bij] son matrices de orden m x n, entonces la suma A+B es la matriz de orden m x n que se obtiene sumando los correspondientes elementos de A y B, es decir: A+B =[aij + bij]mxn Ejemplos: = −− − − + − − 2x32x3 12 52 87 810 50 32 2x3 712 02 55 − − − − − + − 89 31 92 43 15 No está definida ya que las matrices son de diferente orden
- 14. 14 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES 1. A + B = B + A (propiedad conmutativa) 2. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa) 3. A + O = O + A = A (propiedad del neutro aditivo) Si A, B y C son matrices del mismo orden, entonces:
- 15. 15 MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR Definición.- Si A es una matriz de orden m x n y k es un número real (también llamado escalar), entonces kA es una matriz de orden m x n que se obtiene multiplicando cada elemento de A por k, es decir: kA =[ kaij ]mxn Ejemplo: = − − − 704 153 2 − −− 1408 2106
- 16. 16 PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR 1. k(A + B) = kA + kB 2. (k1 + k2)A = k1A + k2A 3. k1(k2A) = (k1k2)A 4. 0A = O 5. kO = O PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRANSPUESTA 1. (A + B)T = AT + BT 2. (kA)T = kAT