Sesión 7. matrices

Dimensión o el orden
de la matriz
nm
2ª columna
3ª fila













a11 a12 a13 ...... a1n
a21 a22 a23 ...... a2n
a31 a32 a33 ...... a3n
.. .. .. .. ..
am1 am2 am3 ...... amn
= (aij)
Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza, en general,
suelen ser números ordenados en filas y columnas. Cada elemento tiene dos
subindices, el primero indica la fila y el segundo la columna
El nùmero de filas y columnas
de la matriz

Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ….. y los elementos de
las mismas con letras minúsculas a, b, c, …..
Ej.
32A = 6 3 5
7 8 4
Donde sus filas son:
Y sus columnas:
6 3 5 7 8 4y
6
7
3
8
5
4
, y

Matriz: Ejemplo
Juan, Ana y Elena han ido a una tienda y han comprado lo
siguiente:
1. Juan compró dos bocadillos, un refresco y un pastel.
2. Ana se llevó un bocadillo, un refresco y un pastel.
3. Elena compró un bocadillo y un refresco.
Estos datos se pueden
agrupar en una matriz










2 1 1
1 1 1
1 1 0

Expresión matricial: ejemplo
Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A =








2 5 –3
1 –4 1
Tiene la siguiente matriz ampliada: A*
=








2 5 –3 1
1 –4 1 –2
Tiene la siguiente expresión matricial: 







2 5 –3
1 –4 1







x
y
z
= 







1
– 2





2z4y-x
1352 zyxEl sistema

Matrices
especiales
Matriz Cuadrada:
A matriz cuadrada si m = n
A=
4 1
3 2
Matriz
Rectangular:
A=
1 6 4
2 5 9 Una matriz de orden mxn se
denomina rectangular si el
numero de filas es diferente de
numero de columnas

Fila
Aquella matriz que tiene
una sola fila, siendo su
orden 1×n
Columna
Rectangular
Ej.
Aquella matriz que
tiene una sola
columna, siendo su
orden m×1
Aquella matriz que tiene
distinto número de filas
que de columnas, siendo
su orden m×n ,

Traspuesta
Opuesta
La matriz opuesta es aquella
que resulta de sustituir cada
elemento por su opuesto. La
opuesta de A es -A.
Nula Es una matriz donde todos sus
elementos son nulos
Dada una matriz A, se llama
traspuesta de A a la matriz
que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por
las columnas.
Se representa por At ó AT
Ej.
0 0
0 0

Matriz Identidad
I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Solo tiene al 1 en la diagonal
principal
Matriz Fila
A = 5 4 10
Es la que pode una matriz de
orden “ 1 x n “, es decir posee
una sola fila.
1 x 3
Matriz Columna
A = 20
50
700
Es la que pode una matriz de
orden “ n x 1” , es decir posee
una sola columna
1 x 3

Operaciones con matrices
Trasposición de matrices
Suma y diferencia de matrices
Producto de una matriz por un número
Producto de matrices
Matrices inversibles
Propiedades simplificativas

1.- Trasposición de matrices
Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz
traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene
cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A.
Es decir:
Propiedades de la trasposición de matrices:
1ª.- Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.
2ª.- La traspuesta de la matriz traspuesta de A es A. a (At)t = A.

Matriz traspuesta: ejemplo y propiedades
I. Para la matriz A, (At)t = A
II. Para las matrices A y B, (A + B)t = At + Bt
III. Para la matriz A y el número real k, (k . A)t = k . At
IV. Para las matrices A y B, (A . B)t = Bt . At
V. Si A es una matriz simétrica, At = A
Propiedades:
La traspuesta de una matriz A cualquiera se obtiene cambiando filas por columnas y se
representa por At. Si A = (aij), entonces At = (aji). Si A es mxn, entonces At es nxm.
Ejemplo:
Si A =








1 2 3
4 5 6
t
=







1 4
2 5
3 6
A

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij)
La matriz suma como: A+B=(aij+bij )
A=
3 2 5
4 1 0
5 0 1
B=
2 1 1
3 0 1
4 2 o
A+B=
3+2
4+3
5+4
2+1
1+0
0+2
5+1
0+1
1+0
=
5 3 6
7 1 1
9 2 1
A-B=
3-2
4-3
5-4
2-1
1-0
0-2
5-1
0-1
1-0
=
1 1 4
1 0 -1
1 -2 1
Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de
columnas, ya que se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las
matrices
Ej.

Asociativa:
A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento neutro:
A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.
Elemento opuesto:
A + (-A) = O
La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están
cambiados de signo.
Conmutativa:
A + B = B + A

Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplican cada
uno de los elementos de la matriz por dicho número.
Si A = (aij), entonces kA = (kaij)
Producto de un número por una Matriz
k . A = k . (aij) = k·







a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=







ka11 ka12 ka13
ka21 ka22 ka23
ka31 ka32 ka33
= (kaij)

Propiedades con la suma y el producto por un número
• Distributiva I: k(A + B) = kA + kB
• Distributiva II: (k + h)A = kA + hA
• Elemento neutro: 1 · A = A
• Asociativa mixta: k(hA) = (kh)A
Sean A y B dos matrices del mismo orden y k y h dos números
reales.
El conjunto de las matrices m x n con las operaciones suma y
producto por un escalar antes definidas, tiene estructura de
espacio vectorial

El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas
de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha.
Si A es una matriz m×n y B es una matriz n×p, entonces su producto matricial
AB es la matriz m×p
Ej.
A =
1 0 2
-1 3 1 B =
3 1
2 1
1 0
A x B =
(1 . 3 + 0 . 2 + 2 . 1)
(-1 . 3 + 3 . 2 + 1 . 1) (-1 . 1 + 3 . 1 + 1 . 0)
(1 . 1 + 0 . 1 + 2 . 0) 5 1
4 2=

¿Cuándo es posible el producto de matrices?
(aij)m,n
. (bij)n,p =
Posible
filas
columnas
(cij)m,p
El producto de matrices es posible cuando coincide el número de
columnas de la primera matriz con el número de filas de la
segunda matriz.

Producto de matrices: Desarrollo
es la matriz C = A · B, tal que el elemento que ocupa la posición ij es:
cij = ai1
. b1j + ai2
. b2j + ... + ain
. bnj
El producto de la matriz
A = (aij) =











a11 a12 a13 ...... a1n
a21 a22 a23 ...... a2n
a31 a32 a33 ...... a3n
.. .. .. .. ..
am1 am2 am3 ...... amn
por la matriz
B = (bij) =
















np3n2n1n
p3333231
p2232221
p1131211
bbbb
bbbb
bbbb
bbbb
......
..........
......
......
......

Ejemplo: producto de matrices
2. ¿Qué dimensiones tiene la matriz producto?
(aij)2,3
. (bij)3,3 =
producto
posible
(cij)
2, 3
A · B =








2 1 –1
3 –2 0
.







1 2 0
1 0 –3
0 1 –2
=








3 3 –1
1 6 6
1. El producto de A= 




2 1 –1
3 –2 0 por la matriz B =





1 2 0
1 0 –3
0 1 –2
cada fila de A por cada columna de B.
se obtiene multiplicando

Asociativa:
A · (B · C) = (A · B) · C
Elemento neutro:
A · I = A
Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.
Distributiva del producto respecto de la suma:
A · (B + C) = A · B + A · C

Producto: Potencia de una matriz
Si A es una matriz cuadrada, las potencias de A, de exponente natural, se definen como en
el caso de los números naturales: el exponente indica el número de veces que se multiplica
la matriz por sí misma.
An = A . A . ........... . An veces
Ejemplo:







10
11
A



















10
21
10
11
10
11
AAA2



















10
31
10
21
10
11
AAA 23



















10
41
10
31
10
11
AAAAAAA 34











 







10
1
10
11
10
11
AAAAA 1-
veces-
nnn
n
n
321L

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