Matrices
- 1. PROFESORA: BACHILLER: CORASPE MIERIS, Milagros PINTO, Joselin. 23.818.436 MATURIN; NOVIEMBRE, 2017 MATRICES UNIVERSIDAD DE ORIENTE NUCLEO DE MONAGAS UNIDAD DE CURSOS BASICOS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS SECCION DE MATEMATICAS
- 2. Llamamos Matrices a un conjunto de números o de funciones distribuidas en filas y en columnas en forma rectangular colocadas entre paréntesis. Ejemplo de matrices: 1 -4 3 2x+1 5 1 A = 2 5 2i B = 3 x+2 0
- 3. A cada número o función que forma la matriz lo llamamos elemento. Los números o funciones que están en una línea horizontal forman una fila y los que están en una línea vertical forman una columna Las filas de la matriz, en determinadas ocasiones los llamamos vectores fila que entran en una y las columnas vectores columnas. Tanto a las filas como a las columnas se le denomina líneas.
- 4. Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula(A,B..) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b...), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.
- 5. Los elementos individuales de una matriz m × n, a menudo denotados por ai, aj, donde el máximo valor de sus elementos (i,j) en i es m, y el máximo valor de j es n.
- 6. IMÁGENES DE UNA MATRIZ: Dado, los conjuntos de números naturales: A = 1,2,3,4,5,…, m y B = 1, 2, 3, 4, 5, …,n Su producto cartesiano es: AxB = ( 1,1), !1,2), (1,3), …(2,1), (2,2), (2,3), …, (5,1), (5,2), (5,3),…(m,1), (m,2), (m,3), …, (m,n) Ahora, a cada uno de los pares de números ordenados que forman el conjunto cartesiano le asignamos un número; por ejemplo, su suma, su producto, su logaritmo; con lo cual podemos obtener de esas operaciones núm. reales o núm complejos.
- 7. Sean m y n dos números enteros mayores o iguales que 1 y los conjuntos: A = 1,2,3,4,…, m y B = 1, 2, 3, 4,…,n Toda aplicación, M: (AxB) K; que asocia a cada par ordenado del conjunto AxB con un número del conjunto K, que puede ser un número real o un número complejo se denomina matriz.
- 8. En forma general: al par ordenado (i,j) en donde iϵA y jϵB y la imagen pertenece al conjunto K; se; anota aij ; es decir: M: (AxB) K; en donde, M(i,j) = ai iϵA y jϵB La imágenes las colocamos según indicamos a continuación: a11 a12 a13 a14 … a1n a21 a22 a23 a24 … a2n a31 a32 a33 a34 … a3n - - - am1 am2 am3 am4 … amn
- 9. en donde los subíndices de la a son los pares ordenados que forman el producto cartesiano AxB. Como la parte operacional de la matriz, M: (AxB) K; se realiza sobre el cuadro de las imágenes, a este cuadro lo llamamos matriz y anotamos: M = (aij)mxn; en donde: aij = es el elemento genérico m x n= es el orden y se lee (orden eme por ene) i= representa la fila en que está el número j= representa la columna m = representa el número total de filas n = representa el num. Total de columnas que forman la matriz.
- 10. Algunas Matrices teniendo en cuenta las filas o las columnas, o también los elementos que la forman tiene nombres especiales: MATRIZ FILA: Es la matriz que esta formada solamente por una fila Ej: M = ( a11 a12 a13 … a1n)
- 11. MATRIZ COLUMNA: Es la matriz que esta formada solamente por una columna Ej: M = a11 a21 a31 … am1
- 12. Es la matriz de orden mxn ; en donde todos sus elementos son nulos. La anotamos así (0)mxn A = (0 0 0 0) A2X3 = 0 0 0 0 0 0
- 13. Es la que tiene el mismo número de filas que de columnas; es decir; m = n y el orden mxn se dice que es de orden n. Al conjunto a11, a22, a33, … ann se le llama diagonal principal. Ejemplo: ½ 1 π B = 0 4 1 -2 5 9
- 14. Una Matriz Diagonal es aquella matriz cuadrada en la que todos los elementos que no estén en la diagonal principal son iguales a 0: A = (aij) es diagonal ⇔ aij = 0 cuando i ≠ j Ejemplo. A = -1 0 O 3
- 15. Es la matriz diagonal en donde todos los elementos de la diagonal principal son la unidad. Ejemplo: A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1
- 16. Es la matriz que tiene todos los elementos que están a un lado de la diagonal nulos. Ejemplo: 2 3 4 3 2 0 0 0 A = 0 1 2 2 1 3 0 0 0 0 1 1 0 1 4 0 0 0 0 3 4 2 1 3 matriz triangular inferior matriz triangular superior
- 17. Se denomina matriz transpuesta de la matriz A y anotamos At; a la matriz cuyas columnas son las filas de A. Ejemplo: 3 3i 2x 3 2 a A= 2 2 b At= 3i 2 y a y 4 2x b 4
- 18. Se denomina matriz opuesta de la matriz A, y anotamos –A; a la matriz cuyos elementos son iguales a las de A pero cambiados de signo. Ejemplo: 1 3 - 1 -3 A= 5 -7 - A = - 5 7 -6 4 6 -4
- 19. Dos matrices, A =(ai) y B =(bj); decimos que son iguales si tienen el mismo orden y sus elementos correspondientes son iguales.
- 20. Suma de Matrices: Para sumar matrices tienen que ser del mismo orden y para determinar la matriz suma de las matrices A y B formamos una matriz cuyos elementos correspondientes son iguales a la suma de los elementos A y B.
- 21. a b c A B C a+A b+B c+C d e f + D E F = d+D e+E f+F g h i G H I g+G h+H i+I Ejemplo: Dadas las matrices A y B. Calcular: a) A + B A = 3 -1 B = -1 2 2 4 0 4 A + B = 3 -1 + -1 2 = 3 - 1 -1 + 2 = 2 1 2 4 0 4 2 +0 4 + 4 2 8
- 22. La suma de matrices cumple con las propiedades Conmutativa, asociativa, el elemento neutro es la matriz nula y toda matriz tiene su opuesto
- 23. Dada una matriz A = (aij) y un número real k , se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz de la misma dimensión que A, en la que cada elemento está multiplicado por k. k · A = (k · aij)
- 24. Dado K = 3 y A= 3 -1 3 Calcular K * A 2 4 3 3 * 3 -1 3 = 3*3 -1*3 0*3 2 4 3 2*3 4*3 3*3 = 9 -3 0 6 12 9
- 25. Si A y B son dos matrices y p y q son números reales o complejos, se cumple que: a) p (A + B) = p.A + p. B b) ( p + q ). A = p. A + q. A c) p ( q . A ) = ( p . q ) . A
- 26. Para que el producto de dos matrices (A*B) pueda realizarse es necesario que el número de columnas de A se igual número de filas de B y la matriz producto (C ) tiene el número de filas de (A) y el número de columnas de (B). (A) m*p + (B) p*n = (C ) m*n
- 27. a) (A)2*3 + (B) 3*4 = (C ) 2*4 b) (A) 5*2 + (B)2*6 = (C ) 5*6 c) (A) a*b + (B) b*c = (C ) a*c
- 28. Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. Am x n x Bn x p = Cm x p El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.
- 29. Ejercicio: Vamos realizar el producto de la matriz A por la matriz B para obtener la matriz C A2x2= 3 -1 y B2*3 = -1 3 2 2 5 4 -2 -5 C2*3 = -7 11 11 18 -4 -21
- 30. El producto de matrices cumple con: a) Propiedad Asociativa: A * ( B * C ) = ( A * B) * C b) Propiedad distributiva respecto a la Adición. A * ( B + C) = A * B + A * C ( B * C ) * A = B * A + C * A
- 31. NAVARRO, Enrique. ( 1996).Curso Propedéutico. Caracas Venezuela BALDOR, A (1984) ÁLGEBRA Caracas Venezuela https//www. Vitutor.com/ algebra/matrices/operaciones http://esfm.egormaximenko.com/linalg/matrix_product_prope rties.pdf