Matrices

Prof. Rosa N. llanos Vargas
1.1 MATRICES
Definición.- Una matriz de orden mxn es un arreglo rectangular de nùmeros ( reales o
complejos) aij , llamados elementos dispuestos en m lineas horizontales , llamadas filas
y en n lineas verticales llamadas columnas ; de la forma :
mxn
Las matrices se nombran con letras mayùsculas A , B , C , … . En forma abreviada la
matriz anterior puede escribirse en la forma A = ( aij ) mxn con i = 1, 2 , 3 , …, m ;
j = 1,2,3, ,… n , o Amxn . Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la
matriz , el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ) . Por ejemplo el
elemento a 25 se ubica en la segunda fila y quinta columna de la matriz .
La dimensiòn de una matriz es el nùmero mxn de elementos que tiene la matriz .
MATRICES IGUALES.-Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensiòn
y cuando los elementos que ocupan los mismos lugares son iguales ., Si A =( a ij ) mxn y
B = ( b ij ) mxn , entonces A = B si y solo si a ij = b ij para cada valor de i , j
Las siguientes matrices no son iguales
1 0
1 2 3
2 5
0 5 6
3 6
A B
 
−   ÷
= = ÷  ÷
   ÷− 
Orden 2x3 Orden 3x2
Dimensiòn 6 Dimensiòn 6
ALGUNOS TIPOS DE MATRICES :
1.MATRIZ CUADRADA.- es aquella que tiene el mismo nùmero de filas que de
columnas , es decir m = n , y se dice que la matriz cuadrada es de orden n .
La Diagonal Principal de una matriz cuadrada es el conjunto formado por los
elementos a 11 , a 22 , a 33 , a 44 ,…… a n n y la traza de la matriz cuadrada es el
nùmero dado por la suma de los elementos de la diagonal principal , es decir :
Traza ( A ) = a 11 + a 22 + a 33 + a 44 +……+ a n n
1
11 12 1
21 22 2
31 32 3
1 2
....
....
....
.........................
.........................
....
n
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
A
a a a
 
 ÷
 ÷
 ÷
=  ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 

2. MATRIZ RECTANGULAR .- es toda matriz en la que m ≠ n
3.MATRIZ FILA - es una matriz de orden 1 x n :
( )11 12 13 1... nA a a a a=
4. MATRIZ COLUMNA .- es una matriz de orden m x 1 :
11
21
31
1m
a
a
A a
a
 
 ÷
 ÷
 ÷=
 ÷
 ÷
 ÷
 
M
5. MATRIZ NULA- es la matriz que tiene todos sus elementos nulos
0 =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
6. MATRIZ DIAGONAL es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que
no pertenecen a la diagonal principal son nulos
B=
11
22
33
0 0 0
0 0 0
0 0 0
...........................
............................
0 0 0 nn
a
a
a
a
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷ ÷
 
L
L
L
L
Ejemplo 1 .
B =
5 0 0
0 2 0
0 0 7
 
 ÷
− ÷
 ÷
 
7. MATRIZ ESCALAR.- es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la
diagonal principal son iguales a una constante
B=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
...........................
............................
0 0 0
k
k
k
k
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷ ÷
 
L
L
L
L
2

8. MATRIZ UNIDAD O IDENTIDAD.- es la matriz escalar en la que k = 1
B=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
............................
0 0 0 1 n xn
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
L
L
L
L
= I n
9. MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR .- es la matriz cuadrada que tiene todos
sus elementos que se encuentran por debajo de la diagonal principal nulos, es
decir a ij = 0 , para todo i > j .
A =
11 12 13 14
22 23 24
33 34
44
0
0 0
0 0 0
a a a a
a a a
a a
a
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷ ÷
 
10. MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR.- es la matriz cuadrada que tiene todos
sus elementos que se encuentran por encima de la diagonal principal nulos, es
decir a ij = 0 , para todo i > j .
A =
11
21 22
31 32 33
41 42 43 44
0 0 0
0 0
0
a
a a
a a a
a a a a
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷ ÷
 
11. MATRIZ TRASPUESTA .- es la matriz que se obtiene de la matriz A = ( aij )mxn
intercambiando las filas por columnas se denota A t
= (aji )nxm
A =
11 12 13
21 22 23
31 32 33
41 42 43 4 3x
a a a
a a a
a a a
a a a
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷ ÷
 
∧ At
=
11 21 31 41
12 22 32 42
13 23 33 43 3 4x
a a a a
a a a a
a a a a
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
Ejemplo 2 Si
1 5
1 3 2
entonces A 3 6
5 6 7
2 7
t
A
 
−   ÷
= = − ÷  ÷−   ÷− 
12. MATRIZ SIMETRICA .- es toda matriz tal que A = At
A =
1 0 1 1 0 1
0 2 4 , 0 2 4
1 4 3 1 4 3
t
A
   
 ÷  ÷
= ÷  ÷
 ÷  ÷
   
3

13. MATRIZ ANTISIMETRICA .- es toda matriz tal que A = - At
0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0
t t
A A A A
− −     
= ⇒ = ⇒ − = = ÷  ÷  ÷
−     
1.2 OPERACIONES CON MATRICES
SUMA DE MATRICES
Si A = ( aij )mxn y B = ( bij )mxn son dos matrices del mismo orden , entonces se define la
suma A + B como la matriz de orden mxn , C = ( cij )mxn tal que
cij = aij + bij .
Ejemplo 3 Si
3 2 1 9 8 6 6 6 7
entonces A+B=
4 7 5 7 1 2 11 8 7
A y B
− − −     
= = ÷  ÷  ÷
− − −     
PROPIEDADES
Si A , B y C son matrices de orden mxn , se cumple :
1. A + B = B + A
2. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
3. A + 0 = 0 + A
4. Existe la matriz opuesta de la matriz A , denotada por – A , que se obtiene
cambiando los signos de todos los elementos de A , tal que A + ( - A ) = 0
DIFERENCIA DE MATRICES La diferencia de las matrices A y B , de orden mxn,
se define como la matriz D = A + ( - B ) . es decir D = ( d ij ) mxn tal que
d ij = a ij - b ij
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ . Dado el nùmero real k y la
matriz A mxn , el producto k.A es otra matriz del mismo orden , que resulta de
multiplicar cada elemento de A por k .
4
11 12 1
21 22 2
31 32 3
1 2
....
....
....
. .
.........................
.........................
....
n
n
n
m m mn mxn
a a a
a a a
a a a
k A K
a a a
 
 ÷
 ÷
 ÷
=  ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
11 12 1
21 22 2
31 32 3
1 2
....
....
....
.........................
.........................
....
n
n
n
m m mn mxn
ka ka ka
ka ka ka
ka ka ka
ka ka ka
 
 ÷
 ÷
 ÷
=  ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 

PROPIEDADES:
( ) ( ), ,ij ijmxn mxn
y A a B bα β∀ ∈ ∀ = =¡ , se cumple :
1. ( .α β ) A = ( )Aα β
2. . .A Aα α=
3. .( ) . .A B A Bα α α+ = +
4. .( ) . .A A Aα β α β+ = +
PRODUCTO DE MATRICES .- Dadas dos matrices m x n n x pA y B ellas son
compatibles para la multiplicación de A por B, si el nùmero de columnas de A es igual
al nùmero de filas de B .
EL producto A. B es la matriz C de orden m x p , tal que los elementos cij de C es
cij = ik kj
k
a b∑ para cada i , j
Ejemplo 4 Dadas las matrices A y B, hallar AB
6 4
1 6 3
1 3
5 10 7
5 2
Solucion
El número de columnas de A , n = 2 , es igual número de filas de B entonces existe AB, además:
6 1 4 5 6 6 4 ( 10) 6 3 4 ( 7)
AB=
( 1) 1 3 5 ( 1) 6 3 ( 10) 5 3
A B
x x x x x x
x x x x x
 
  ÷
= − ∧ =  ÷ ÷ − −  ÷− 
+ + − + −
− + − + − 3 3
3 3
26 4 8
( 2) ( 7) 14 36 29
26 4 8
14 36 29
x
x
x
AB
− −   
= ÷  ÷
+ − − −   
− − 
∴ =  ÷
− 
PROPIEDADES
1. A. ( B . C ) = ( A. B ) . C
2. A . ( B + C ) = A . B + A . C
3. El producto de matrices no siempre es conmutativo A. B ≠ B.A
4. Si A . B = 0 no implica que A = 0 ò B = 0
5. Si A.B = A . C no implica necesariamente que B = C
6. ( ) . ;t t
A Aα α α= ∈R
7. ( ). .
t t t
A B B A=
PRACTICA
5

1. Los contratistas A, B y C hacen licitaciones para las obras p, q y r como se
indica en la matriz de costos (en unidades de 100 000 dólares) ¿Qué asignación
minimiza el costo total si a) Sin ninguna condición b) A cada contratista solo se
le puede asignar una sola obra.
26 18 7
32 12 14
41 12 10
A B C
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
2. Si un obrero W puede realizar el trabajo jA en ija horas, según se indica en la
matriz A y si cada obrero solo deberá realizar un solo trabajo ¿Qué asignación
minimizará el tiempo total del trabajo?
3. Suponiendo que el estado del uso del suelo de una ciudad de 50 millas cuadradas
de superficie, no baldia, en 1993 fue:
I. Uso residencial 30% , II. Uso comercial 20%, III. Uso industrial 50%.
Encontrar los estados en los años 1998, 2003 y 2008, suponiendo que las
probabilidades de transición para intervalos de 5 años están dadas por la
siguiente matriz:
0,8 0,1 0,1
0,1 0,7 0,2
0,0 0,1 0,9
AI AII AII
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
NOTA.- Una matriz cuadrada con elementos no negativos, si la suma de
los elementos de cada una de sus filas es igual a 1, se llama matriz
estocástica
4. Sean las matrices
1 4 5
2 3
2 3 7 1 2 0 4
5 2
5 0 6 9 1 3 5
2 1
0 6 7
A B C
 
  ÷
−   ÷ ÷= = = − ÷  ÷ ÷   ÷− ÷  
 
Encontrar aquellas matrices que se encuentren definidas
a) AB b) CA c) Bt
At
d) BC e) Ct
B
5. Dadas las matrices :
a)A=
5 2
0 3
 
 ÷
 
b)B=
Cos Sen
Sen Cos
α α
α α
 
 ÷
− 
c)C=
1 3 1
2 4 5
2 0 3
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
6

d)D=
5 1 8
15 3 6
10 4 2
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
f)F=
2 8 0 0
9 4 0 0
0 0 7 1
0 0 6 2
 
 ÷
− ÷
 ÷
 ÷
− 
g)G=
6 4 5 6
2 7 2 1
1 7 2 4
7 4 5 7
− 
 ÷
 ÷
 ÷−
 ÷
− 
h)H=
4 3 9 9
8 3 5 4
8 0 2 8
16 6 14 5
 
 ÷
− − ÷
 ÷− − −
 ÷
− − 
i)I=
2 0 1 3 4
9 0 4 0 0
0 0 7 1 0
0 2 1 3 0
0 0 1 1 1
− 
 ÷
− ÷
 ÷
 ÷
− ÷
 ÷
 
Hallar a) A+B , b) B²- A² , c) 2C-3D , d) Ft
– 2Gt
, e) 3G – G² f) H- H t
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA
Definición:
A toda matriz cuadrada nA le asociamos un número llamado determinante, A ,
simbolizado de la forma:
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
=
Dicho número es un resultado que se puede obtener de diferentes maneras. Según el
orden y tipos de determinantes estudiaremos ciertos métodos para hallar el
determinante.
Propiedades:
a) Si los elementos de una fila o columna son nulos el valor del determinante es 0.
b) Un determinante con dos filas o columnas paralelas iguales es nulo.
c) Si un determinante tiene dos dilas o columnas proporcionales su valor es nulo.
d) Si cambiamos dos filas o columnas el determinante cambia de signo.
e) Para multiplicar un número por un determinante se multiplica el número por los
elementos de una fila o columna cualquiera. (En un determinante se puede sacar
el factor común, siempre que exista un número que multiplique a todos los
elementos de una fila o columna)
f)
t
A A=
1
) . .
) . .
1
)
n
g A A
h A B A B
i A
A
λ λ
−
=
=
=
7

Calculo de un determinante:
I) Método de Sarrus
Cuando el determinante es de orden dos o tres se usa la regla de Sarros, que
consiste en sumar todos los productos que se obtienen al multiplicar dos o tres
elementos de la matriz de todas las formas posibles, con la condición de que en cada
producto exista un elemento de cada fila y uno de cada columna, con sus signos
correspondientes y para ello se utiliza el esquema que sigue:
Para un determinante de orden 2:
11 12
11 22 12 12
21 22
. .
a a
a a a a
a a
⊗ ∗
= − ⇔ −
⊗ ∗
Para un determinante de orden 3:
( )
11 12 13
21 22 23
31 32 33 11 22 33 13 21 32 12 23 31 13 22 31 11 23 32 12 21 33
11 12 13
21 22 23
. . . . . . . . . . . .
a a a
a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a
a a a
= + + − + +
Ejemplo 1.
Calcular los determinantes
2 1 1
2 3
, 0 1 2
1 1
2 0 3
−
−
−
−
( )
2 3
2 1 3 1 5
1 1
−
= × − − × =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 1 1
0 1 2 2 1 3 1 0 0 1 2 2 1 1 2 2 0 2 1 0 3
2 0 3
−
 − = × × + × × + − × − × − − × × − + × × − + − × × = 
−
( )6 0 4 2 0 0 0= + − − − + + =
II. Cálculo del determinante de orden n, por los adjuntos:
Cuando el orden de los determinantes es superior a 3 la regla de Sarrus no es
fácilmente aplicable y entonces utilizamos el método de los adjuntos, que reduce el
orden en una unidad cada vez que le utilizamos.
Para ello vamos a definir dos nuevos conceptos:
Menor complementario: Dada una matriz nA se llama menor complementario de un
elemento ija al determinante de la matriz, que resulta de suprimir la fila i y la columna j
en la matriz nA : se llama ijm .
8

Adjunto de un elemento (o Cofactor): Al producto de ( )1
i j+
− por el menor
complementario ijm de ija se llama adjunto de un elemento ija y se escribe ijA .
( )1
i j
ij ijA m
+
= − ×
A partir de estas definiciones obtenemos otra forma de calcular un determinante:
el valor de un determinante de orden n es igual a la suma de los productos de los
elementos de una fila o columna por sus respectivos adjuntos.
1 1 2 2 3 3
1
1 1 2 2 3 3
n
ij ij i i i i i i in in
i o j
j j j j j j nj nj
A a x A a A a A a A a A
a A a A a A a A
=
= = × + × + × + + × =
× + × + × + + ×
∑ K
K
Ejemplo 2.
Calcular el valor del determinante
1 0 2 0
1 2 0 1
1 1 4 1
3 1 3 2
− −
− − −
Elegimos la primera fila ya que tiene dos elementos nulos y eso va a simplificar el
cálculo:
11 12 13 14
1 0 2 0
1 2 0 1
1 0 2 0
1 1 4 1
3 1 3 2
A A A A= × + × + × + × =
− −
− − −
( ) ( )
1 1 1 3
12 14
2 0 1 1 2 1
1 1 1 4 1 0 2 1 1 1 1 0
1 3 2 3 1 2
m m
+ +
= × − − + × + × − ×− − + × =
− − − − −
Cuando llegamos a un determinante de orden tres, podemos aplicar Sarrus:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]1 16 3 4 6 2 2 1 6 3 1 4 51    × − + − − − + + × − + + − − + + = −    
III. Método del pivote o de Chio
Si a los elementos de una fila o columna se suman los correspondientes de otras
paralelas multiplicados por un número , el valor del determinante no varía. (Suma de
una combinación lineal de otras filas o columnas)
Basándose en esta propiedad, podemos obtener un determinante igual, pero con
una fila o columna todos nulos salvo uno, que al aplicar el método anterior, se reduce su
cálculo a un solo determinante de orden menor.
9

Ejemplo 3.Calcular por el método del pivote el determinante
1 2 1 2 1
0 0 1 1 1
1 1 0 0 0
0 0 1 1 2
1 2 2 1 1
1 2 1 2 1 1 2 1 2 1
0 0 1 1 1 0 0 1 1 1
3 fila 1 fila1 1 0 0 0 0 1 1 2 1
0 0 1 1 2 0 0 1 1 2
1 2 2 1 1 1 2 2 1 1
a a
= − = =− − − −
5 1
1 2 1 2 1
0 0 1 1 1
0 1 1 2 1
0 0 1 1 2
1 2 2 1 1
F F= − = − − − −
Desarrollamos el último determinante por la 1a
columna:
( )
1 1
11
0 1 1 1 0 1 1 1
1 1 2 1 1 1 2 1
1 1 1
0 1 1 2 0 1 1 2
0 1 1 0 0 1 1 0
A
+ − − − − − − − −
× = × − × = =
− −
Repetimos el proceso desarrollando el determinante por la 2 a
fila:
( ) ( ) ( )
2 1
21
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 2 1 1 2 2
1 1 0 1 1 0
A
+
− × = − × − × = =
− −
IV. Método triangularizante
Cuando calculamos el determinante de matrices triangulares o diagonales
observamos que verifica que el resultado coincide con el producto de los
elementos de la diagonal principal.
Con las propiedades anteriores podemos llegar a obtener un determinante que
sea triangular y aplicar seguidamente el contenido expresado arriba:
10

Ejemplo 4.Calcular el determinante
1 2 1 2 1
0 0 1 1 1
1 1 0 0 0
0 0 1 1 1
1 2 2 1 1
3 1 5 1
1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1
0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1
1 1 0 0 0 0 1 1 2 1 0 1 1 2 1
0 0 1 1 2 0 0 1 1 2 0 0 1 1 2
1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 0 0 1 1 0
F F F F= − = = − = =− − − − − − − −
−
cambiamos las filas 2a
y 3a
( cambia el signo)
4 3
1 2 1 2 1 1 2 1 2 1
0 1 1 2 1 0 1 1 2 1
0 0 1 1 1 0 0 1 1 1
0 0 1 1 2 0 0 0 0 1
0 0 1 1 0 0 0 1 1 0
F F
− − − − − − − −
− = − = − =
− −
5 4
1 2 1 2 1
0 1 1 2 1
0 0 1 1 1
0 0 0 0 1
0 0 0 2 1
F F
− − − −
= − = −
− −
cambiamos 4a
y 5a
fila para dejarle triangular (el determinante cambia de signo):
( ) ( ) ( ) ( )4 5
1 2 1 2 1
0 1 1 2 1
1 1 1 2 1 20 0 1 1 1
0 0 0 2 1
0 0 0 0 1
F F
− − − −
= = − × − = × − × − × =
− −
ƒ
CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA DE UNA DADA
Matriz Adjunta Dada una matriz cuadrada nA se llama matriz adjunta, ( )nAdj A a
la matriz que resulta de sustituir cada uno de los elementos de la matriz nA por sus
adjuntos respectivos.
11

Ejemplo 1.Hallar la matriz adjunta de
1 2 1
1 2 3
3 1 1
A
 
 ÷
= − − ÷
 ÷− − 
( )
2 3 1 3 1 2
1 1 3 1 3 1
1 10 7
2 1 1 1 1 2
1 4 7
1 1 3 1 3 1
4 2 0
2 1 1 1 1 2
2 3 1 3 1 2
Adj A
 − − − −
− ÷
− − − − ÷
− − −  ÷− −  ÷ ÷= − − = − − ÷− − − − ÷  ÷−  ÷
− − ÷− ÷− − − − 
Matriz Inversa Si A es una matriz de orden n cuyo determinante es no nulo, la matriz
inversa de A es la matriz de orden n denotada por A-1
tal que A. A-1
= I , donde I es la
matriz identidad de orden n.
Cálculo de la matriz inversa por el método del adjunto:
Ejemplo 2.
Calcular la matriz inversa de
1 1 3
2 2 1
1 3 1
− − 
 ÷
− ÷
 ÷− − 
( )
1 2 1 1 1 4
14 1 2 3 10 4 2
3 1 1 7 7 0
t
A A Adj A
−   
 ÷  ÷
= − = − − = − − − ÷  ÷
 ÷  ÷− − − −   
( )1
1 1 4
1
10 4 2
14
7 7 0
t
Adj A
A
A
−
− 
 ÷
= = × − − − ÷−  ÷− − 
MATRICES ELEMENTALES
Definición 1:
Sobre una matriz nxmA decimos que efectuamos una operación elemental sobre la fila o
columna, cuando realizamos cualquiera de estas transformaciones:
i) Cambiar entre sí dos filas o columnas: ijC
12
( )1
t
Adj A
A
A
−
=
Una matriz tiene inversa si solo si 0A ≠

ii) Multiplicar una fila o columna por un número real ( )0: ( )i jk F k ó C k≠
iii) Sumar a la fila o columna i la fila o columna j multiplicada por un número
real ( )0: ( )ij ijk F k ó C k≠
Definición 2:
Se llama matriz elemental a una matriz cuadrada, que resulta de efectuar una
operación elemental sobre una fila o columna en la matriz identidad.
Ejemplo 3.
1.2 12
1 0 0 1
0 1 1 0
F C
   
→ = = ÷  ÷
   
Cambiar dos filas
( )2 2
1 0 0 1 0 0
0 1 0 3 0 3 0 ( 3)
0 0 1 0 0 1
C F
   
 ÷  ÷
→ − = − = − ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Multiplicar la 2a
columna por ( )3−
( )3.2
1 0 0 1 0 0
0 1 0 2 0 1 0
0 0 1 0 2 1
F
   
 ÷  ÷
→ = ÷  ÷
 ÷  ÷
    Sumar a la 3a
fila el doble de la 2a
( )2.1
1 0 1 5
5
0 1 0 1
C
−   
→ − = ÷  ÷
   
Sumar a la 2a
columna la 1a
por -5
Según el orden de la matriz unidad obtenemos una matriz elemental del mismo orden.
Teorema .- Si en una matriz A efectuamos una operación elemental por filas, la matriz
que obtenemos es F A× , donde F es la matriz elemental resultante de efectuar la misma
operación elemental.
Si en una matriz A efectuamos una operación elemental por columnas la matriz que
obtenemos es C.A, donde C es la matriz elemental resultantes de efectuar la misma
operación elemental.
Ejemplo 4
Sea
2 1 0 1
1 2 1 2
3 1 0 1
A
− 
 ÷
= − − ÷
 ÷− 
Por filas:
( )2,1
2 1 0 1 2 1 0 1
1 2 1 2 2 3 4 1 0
3 1 0 1 3 1 0 1
F
− −   
 ÷  ÷
− − → − = − − ÷  ÷
 ÷  ÷− −   
=AF
Matriz elemental obtenida al hacer la misma operación:
13

( )2,1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 2 2 1 0
0 0 1 0 0 1
F F
   
 ÷  ÷
→ − = − = ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Producto de F.A:
1 0 0 2 1 0 1 2 1 0 1
2 1 0 1 2 1 2 3 4 1 0
0 0 1 3 1 0 1 3 1 0 1
F A A
− −     
 ÷  ÷  ÷
× = − × − − = − − = ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷− −     
Por columnas:
( )2,1
2 1 0 1 2 3 0 1
1 2 1 2 2 1 4 1 2
3 1 0 1 3 7 0 1
C
− − −   
 ÷  ÷
− − → − = − − ÷  ÷
 ÷  ÷− −   
= AC
Matriz elemental obtenida al hacer la misma operación:
( )2,1
1 0 0 0 1 2 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
2
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1
C C
−   
 ÷  ÷
 ÷  ÷→ − = =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Producto de A.C
1 2 0 0
2 1 0 1 2 3 0 1
0 1 0 0
1 2 1 2 1 4 1 2
0 0 1 0
3 1 0 1 3 7 0 1
0 0 0 1
− 
− − −    ÷
 ÷  ÷ ÷− − × = − − ÷  ÷ ÷ ÷  ÷− − ÷   
 
= AC
Operaciones elementales inversas.
Se llama operación elemental inversa aquella operación que nos anula la acción de
cada operación elemental.
Ejemplo 5.
Sean las matrices elementales obtenidas como resultado de las siguientes operaciones
elementales:
3 13 1
1 0 0 0 0 1
0 1 0 0 1 0
0 0 1 1 0 0
I F E
   
 ÷  ÷
= → = = ÷  ÷
 ÷  ÷
   
( )3 2 2
1 0 0 1 0 1
0 1 0 2 0 2 0
0 0 1 0 0 1
I F E
   
 ÷  ÷
= → = = ÷  ÷
 ÷  ÷
   
14
A partir de ahora, sólo consideraremos las matrices elementales
resultado de efectuar operaciones elementales sobre las filas

( )3 2,3 3
1 0 0 1 0 0
0 1 0 3 0 1 3
0 0 1 0 0 1
I F E
   
 ÷  ÷
= → − = − = ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Existen otras operaciones sobre estas matrices elementales que nos anulan las
operaciones anteriores y volvemos al punto de partida o sea a 3I .
1 3,1 3
0 0 1 1 0 0
0 1 0 0 1 0
1 0 0 0 0 1
E F I
   
 ÷  ÷
= → = = ÷  ÷
 ÷  ÷
   
2 2 3
1 0 0 1 0 0
1
0 2 0 0 1 0
2
0 0 1 0 0 1
E F I
   
  ÷  ÷
= → = = ÷ ÷  ÷  ÷  ÷
   
( )3 2,3 3
1 0 0 1 0 0
0 1 3 3 0 1 0
0 0 1 0 0 1
E F I
   
 ÷  ÷
= − → = = ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Estas operaciones se llaman operaciones inversas de las hechas en primer termino.
Resumiendo:
OPERACIÇON ELEMENTAL OPERACIÓN INVERSA
Cambiar la fila i por la j Cambiar la fila j por la i
Multiplicar una fila por 0k ≠
Multiplicar una fila por
1
0
k
≠
Sumar a la fila i, la j por 0k ≠ Sumar a la fila i, la j por 0k− ≠
Matrices elementales inversas
Cuando en la matriz nI efectuamos una operación elemental obtenemos una matriz
elemental E.
Cuando en la matriz nI efectuamos la operación elemental inversa obtenemos la matriz
elemental inversa de la matriz elemental 1
,E E−
.
Luego toda matriz elemental tiene inversa y es una matriz elemental.
En efecto, cuando hacemos una operación elemental, obtenemos E y si
efectuamos la operación elemental inversa sobre E al punto de partida nI , luego se
verifica:
( ) ( )0Operación elemental Operación inversan nI E E I→ → →
0 0n mE E I E E I× × = × =
0 0n mE E I E E I× × = × =
Luego 0E es la inversa de E .
15

Ejemplo 6
Dadas las matrices elementales que se obtienen de realizar las operaciones elementales:
i) Cambiar las filas 1 y 3
ii) Multiplicar la 2a
fila por 2
iii) Sumar a la 2a
fila la 3a
por -3
Hallar sus matrices inversas.
i) Matriz elemental que resulta de hacer la operación elemental F13
1
3 13 1 3 3,1 1
1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0
I F E I F E−
       
 ÷  ÷  ÷  ÷
= → = = ⇔ = → = = ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
ii) Matriz elemental que resulta de hacer la operación elemental ( )2 2F
( ) 1
3 2 2 3 2 2
1 0 0
1 0 0 1 0 0 1 0 0
1 1
0 1 0 2 0 2 0 0 1 0 0 0
2 2
0 0 1 0 0 1 0 0 1
0 0 0
I F E I F E−
 
       ÷
  ÷  ÷  ÷  ÷= → = = ⇔ = → = = ÷ ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷     
 
iii) Matriz elemental que resulta de hacer la operación elemental ( )2,3 3F −
1
3 13 1 3 3,1 1
1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0
I F E I F E−
       
 ÷  ÷  ÷  ÷
= → = = ⇔ = → = = ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
( ) 1
1 4 1 4
1
0 0
2 0 0 2
1
2 0 1 3 0 1 3
2
0 0 1 0 0 1
F E F E−
 
 ÷ 
 ÷  ÷
= − = = = ÷ ÷ ÷   ÷  ÷
   ÷
 
iv)
1 1 1 1
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1E E A I E E A A I A E E I A E E A− − − −
× × = ⇔ × × × = × ⇔ × × = ⇔ × =
1
1
1
1 1 2
0 1 1
0
2
A−
 
 ÷ 
= × ÷ ÷
 ÷ 
 ÷
 
Matrices equivalentes por filas
Si partiendo de una matriz A podemos llegar a otra B efectuando un número finito de
operaciones elementales sobre las filas y, de la misma manera, podemos volver a A
desde B, realizando las operaciones inversas y en orden inverso, se dice que A y B son
equivalentes por filas.
1 1 1 1
1 2 1 1 2 1k k k kE E E E A B A E E E E B− − − −
− −× × × × = ⇔ = × × × × ×K K
16

En efecto:
Si podemos llegar desde A a B por medio de operaciones elementales
1 2 1k kE E E E A B−× × × × =KK
Multiplicando por las matrices inversas obtenemos
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 1 2 1 1 2 1k k k k k kE E E E E E E E A A E E E E B− − − − − − − −
− − −× × × × × × × × = = × − × ×KK KK K
Si podemos llegar desde B a A por medio de operaciones elementales:
1 1 1 1
1 2 1k kE E E E B A− − − −
−× × × × =KK
Multiplicando por las matrices elementales inversas obtenemos
1 1 1 1
1 2 1 1 2 1 1 2 1k k k k k kE E E E E E E E B B E E E E A− − − −
− − −× × × × × × − × × = = × × × ×KK KK KK
Ejemplo 7
Demostrar que las matrices A y B son equivalentes por filas.
2 0 1 1 2 3
1 2 3 y 2 0 1
5 2 1 4 4 2
A B
−   
 ÷  ÷
= = − ÷  ÷
 ÷  ÷− − −   
( )1,2 3,1
2 0 1 1 2 3 1 2 3
1 2 3 2 0 1 1 2 0 1
5 2 1 5 2 1 4 4 2
A F F B
−     
 ÷  ÷  ÷
= → = − → − = − = ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷− − − −     
3 1,2 1
1 0 0 0 1 0
0 1 0 1 0 0
0 0 1 0 0 1
I F E
   
 ÷  ÷
= → = = ÷  ÷
 ÷  ÷
   
( )3 3,1 2
1 0 0 1 0 0
0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 1 0 1
I F E
   
 ÷  ÷
= → − = = ÷  ÷
 ÷  ÷−   
2 1
1 0 0 0 1 0 2 0 1 1 2 3
0 1 0 1 0 0 1 2 3 2 0 1
1 0 1 0 0 1 5 2 1 4 4 2
E E A B
−       
 ÷  ÷  ÷  ÷
× × = × × = − = ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷  ÷− − − −       
Cálculo de la matriz inversa por operaciones elementales
Si A es equivalente a la matriz In entonces A tiene inversa
17

En efecto: si A es equivalente por filas a In:
1 2 1k k nE E E E A I−× × × × =KK [ ]1
Multiplicando por 1
A−
por la derecha los dos miembros obtenemos:
1 1 1
1 2 1 1 2 1k k k k nE E E E A A E E E E I A A− −
− −× × × × × = × × × × × =KK KK [ ]2
Luego 1
A−
viene como producto de matrices elementales.
El método para el cálculo de 1
A−
sale de observar [ ]1 y [ ]2
1 2 1k k nE E E E A I−× × × × =KKK
1 2 1k k nE E E E I A−× × × × =KKK
Las operaciones elementales que nos sirven para convertir A en la matriz unidad,
efectuadas sobre la matriz unidad nos da la matriz inversa de A .
Ejemplo 8 Hallar la matriz inversa de
1 1 1
0 1 0
1 0 1
A
− 
 ÷
=  ÷
 ÷
 
Solución
( ) ( )1 3,1
1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0
0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0
1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 1
F F
     − − − − − − −
 ÷  ÷  ÷
→ − = → − = ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
     
( ) ( )3,2 1,2
1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 0 0
2 2 2 2 2 2
1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0
1 1 1 1 1 1
0 0 1 0 0 1
2 2 2 2 2 2
F F
   
− − − − ÷  ÷
 ÷  ÷
→ − = → = ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷−
   
luego
1
1 1 1
2 2 2
0 1 0
1 1 1
2 2 2
A−
 
− ÷
 ÷
=  ÷
 ÷
 ÷−
 
1.9. FORMAS ESCALONADA Y REDUCIDA DE UNA MATRIZ
Formas escalonada
Se llama forma escalonada por filas de una mxnA a aquella matriz que se obtiene a partir
de A mediante operaciones elementales y que verifica:
i) Si tiene filas cuyos elementos son todo nulos, están en filas inferiores.
18

ii) El primer elemento distinto de cero de una fila (empezando por la izquierda), se
llama elemento pivote y a su columna, columna pivotal.
iii) Dadas dos filas sucesivas, el elemento pivote de la 2a
fila está más a la derecha
que el elemento pivote de la 1a
fila.
Ejemplo 9.
Formas escalonadas:
1 0 4 5 2 5 6
1 2 2 3 5 0
; 0 3 1 2 ; ; 0 1 4
0 3 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 3
   
    ÷  ÷
 ÷  ÷ ÷  ÷
    ÷  ÷
   
Formas no escalonadas:
1 4 5
1 0 6 7
2 5 6 0 2 3
0 0 0 0 2 4 8
; 0 0 0 ; ;0 0 1
0 2 1 0 0 1 3
0 0 7 0 0 2
0 0 5 2
0 0 0
 
  ÷
   ÷ ÷   ÷  ÷ ÷ ÷  ÷  ÷ ÷   ÷  ÷   ÷
  ÷
 
Forma reducida
Se llama forma reducida por filas de una matriz mxnA a toda matriz escalonada con los
pivotes unidad y los demás elementos de la columna del pivote, nulos.
Ejemplo 10.
1 0 3 1 3 0 0
1 2 0 3
0 1 2 ; 0 0 1 0 ;
0 0 1 4
0 0 0 0 0 0 1
   
  ÷  ÷
 ÷ ÷  ÷
  ÷  ÷
   
Obtención de una forma escalonada
El algoritmo para obtención de una forma escalonada se llama eliminación de Gauss o
gaussiana y consta de los siguientes pasos:
1° Partiendo de la izquierda, buscamos en la 1a
columna un elemento distinto de
cero que llevaremos a la 1a
fila, si no le hay en la 1a
fila, (mediante operaciones
elementales) y será el 1er
pivote. Seguidamente con las operaciones elementales
haremos ceros debajo del pivote.
2° Siguiendo a la derecha, buscamos en la 2a
columna un elemento distinto de cero
en la 2a
fila o siguientes filas. Se opera para tener un 2a
pivote en la 2a
fila, si está
en las siguientes filas. Seguidamente con las operaciones elementales haremos
ceros debajo del 2a
pivote.
3° Seguimos sucesivamente moviéndonos hacia la derecha hasta no encontrar más
pivotes.
19

Evidentemente, dependiendo de la manera de operar y el orden de actuación,
obtendremos diferentes formas escalonadas (hay infinitas), mientras que la forma
reducida solo hay una.
Ejemplo 11.
Hallar la forma escalonada de la matriz
1 2 1 2 1 0
1 2 4 1 4 3
2 4 5 1 5 2
1 3 1 2 6 0
A
 
 ÷
− ÷=
 ÷−
 ÷
 
( )
( )
( )
2,1
3,1
4,1
1 2 1 2 1 0 1 2 1 2 1 0
1
1 2 4 1 4 3 0 0 3 3 3 3
2
2 4 5 1 5 2 0 0 3 3 3 2
1 3 1 2 6 0 0 1 0 0 5 0
F
F
F
    − ÷  ÷− − ÷  ÷→ − =
 ÷  ÷− − −
 ÷  ÷   
( )4,2 4,3
1 2 1 2 1 0 1 2 1 2 1 0
0 0 3 3 3 3 0 1 0 0 5 0
1
0 0 3 3 3 2 0 0 3 3 3 2
0 1 0 0 5 0 0 0 3 3 3 3
F F
   
 ÷  ÷
− ÷  ÷→ = → − =
 ÷  ÷− − − −
 ÷  ÷
−   
1 2 1 2 1 0
0 1 0 0 5 0
0 0 3 3 3 2
0 0 0 0 0 5
 
 ÷
 ÷
 ÷− −
 ÷
 
Rango de una matriz
Llamaremos rango de una matriz el número de filas con algún elemento distinto de cero
que hay en cualquier forma escalonada por filas o también el número de columnas
pivotales que tiene.
Número de vectores filas linealmente independientes = número de columnas
( ) ( )t
Rango A Rang A⇔ =
Ejemplo 12.
1 0
1 2 1 1
1 1 0 5
2; 0 1 4 3 2 ; 2
0 3 0 0
0 0 0 0
0 0
rg rg rg
 
−   ÷
−   ÷  ÷= − = = ÷  ÷  ÷   ÷  ÷ 
 
Sistema de ecuaciones lineales
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas
20

( )
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
1
n n
n n
m m mn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =

+ + + =




+ + + =
K
K
LLLLLLLLLLL
LLLLLLLLLLL
K
Donde ( ) ( ) ( )ij ij jmxn
A a y A h a b= =M M
1) El sistema tiene solución si y solo si ( ) ( )Rang A Rang A h= M y se llama
compatible.
2) Si ( )Rang A r n= = , entonces el sistema tiene una única solución, el sistema es
determinado.
3) Si r n< , entonces existen infinitas soluciones, el sistema es indeterminado no
existe solución si r n< y algún 0bj ≠
4) Si existen soluciones todas se obtienen por el método de eliminación de Gauss.
Sistema Homogéneo: 0Ax = , tiene solución 0x = y su ( )Rang x n< entonces existen
soluciones no triviales linealmente dependientes.
Ejemplo 1. Resolver el sistema
x + 2y + 3z + 4w = 5
2x + y + 2z + 3w = 1
3x + 2y + z + 2w = 1
4x + 3y + 2z + w = -5
Solución
1 2 3 4 5
2 1 2 3 1
3 2 1 2 1
4 3 2 1 5
A
 
 ÷
 ÷=
 ÷
 ÷
− 
M
M
M
M
,
5
1
,
1
5
x
y
X H
z
w
   
 ÷  ÷
 ÷  ÷= =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−   
21 31 41
1 2 3 4 5
2 1 2 3 1
( 2), ( 3), ( 4)
3 2 1 2 1
4 3 2 1 5
F F F
 
 ÷
 ÷≈ − − − =
 ÷
 ÷
− 
M
M
M
M
1 2 3 4 5
0 3 4 5 9
0 4 8 10 14
0 5 10 15 25
 
 ÷
− − − − ÷≈
 ÷− − − −
 ÷
− − − − 
M
M
M
M
21

4 42
1( ),
5
F F− =
1 2 3 4 5
0 1 2 3 5
0 4 8 10 14
0 3 4 5 9
 
 ÷
 ÷
 ÷− − − −
 ÷
− − − − 
32 42(4), (3)F F≈ =
1 2 3 4 5
0 1 2 3 5
0 0 0 2 6
0 0 2 4 6
 
 ÷
 ÷≈
 ÷
 ÷
 
M
M
M
M
4 3 34
1 2 3 4 5
0 1 2 3 5
(1/ 2), (1/ 2),
0 0 1 2 3
0 0 0 1 3
F F F
 
 ÷
 ÷≈ =
 ÷
 ÷
 
M
M
M
M
De donde
w = 3
z+2w = 3
y + 2z + 3w = 5
x + 2y + 3z + 4w = 5
En consecuencia el conjunto solución es CS = { ( -2 , 2 , -3 , 3 ) }
Ejemplo 2. Resolver
3x + 2 y + z= 3
2x + y + z = 0
6x + 2y + 4z = 6
Solución
( ) 31 21
1
3
1
2
3
0 2 2 0
3 2 1 3
3 2 1 3
22 1 1 0 ( 2), ( ) 0
3
6 2 4 6
A H F F
−
−
−
 
   ÷
 ÷ −  ÷= ≈ − = ≈ ÷  ÷ ÷
 ÷ 
 
M
M
M
M
M M
M
32
1 1
2
3 3
0 0 0 12
3 2 1 3
( 6) 0F −
 
 ÷
 ÷≈ − = −
 ÷
 ÷
 
M
M
M
De donde 0z = 12 , es decir 0 = 12 ( Contradicción)
∴ el sistema es incompatible.
Ejemplo 3. Resolver
x - 2 y + 3z= 5
22

2x + y -4 z = 0
3x + 4y -11z = -5
Solución
( ) 31 21 10 10
0 10 20 20
1 2 3 5 1 2 3 5
2 1 4 0 ( 3), ( 2) 0 5
3 4 11 5
A H F F − −
− −
− −   
 ÷  ÷
= − ≈ − − = ≈ ÷  ÷
 ÷  ÷− −   
M
M
M M
M M
M
32
1 2 3 5
( 2) 0 5 10 10
0 0 0 0
F
− 
 ÷
≈ − = − − ÷
 ÷
 
M
M
M
Luego
5y – 10 z = - 10
x – 2y + 3z = 5
Despejando y de la primera ecuación se tiene y = 2z – 2
Se obtienen infinitas soluciones asignando valores a z
Además
( )
2 3 5
2 2 2 3 5
1
x y z
x z z
x z
= − +
= − − +
= +
En general si entonces entonces 2 2 1z t y t x t= = − ∧ = +
Luego CS ( ){ }1 ,2 2, ,t t t t= + − ∈R
Descipción del método de eliminación Gaussiana
Considerando el sistema
( )
2 4 6 18
4 5 6 24 1
3 2 4
x y z
x y z
x y z
+ + =

+ + =
 + − =
L
El sistema (1) puede ser escrito en forma matricial como se observa en la columna de la
derecha omitiendo las variables.
( ) ( )
2 4 6 18 2 4 6 18
4 5 6 24 1 4 5 6 24 2
3 2 4 3 1 2 4
x y z
x y z
x y z
+ + =  
  ÷
+ + =  ÷
  ÷+ − = −  
M
L M L
M
23

La matriz (2) se denomina matriz ampliada del sistema (1). Ahora, las operaciones que
realizaríamos sobre las ecuaciones del sistema (1) se realizarán con las filas de la matriz
(2). Cada fila (ecuación) de la matriz se denotará por if donde 1,2 3i ò= .
El objetivo es obtener, a través de la suma de filas o la multiplicación de una fila por un
número distinto de cero, nuevas filas pero que correspondan a un sistema equivalente al
dado inicialmente.
La matriz (2) deberá convertirse, si fuera posible, en una matriz de la forma:
1 ? ? ?
0 1 ? ?
0 0 1 ?
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
Para conseguirlo, sigamos el siguiente procedimiento:
1° Para conseguir un 1 en la primera posición, se multiplica la primera ecuación por
1
2
:
1 1
1 2 3 9
1
: 4 5 6 24
2
3 1 2 4
f f
 
 ÷
→  ÷
 ÷− 
2° Luego, para obtener 0 en la primera columna de las filas 2 y 3, restamos a la
segunda ecuación la primera ecuación multiplicada por 4; un proceso similar se
realizará con la tercera fila o ecuación:
2 2 1
3 3 1
1 2 3 9
4 : 0 3 6 12
3 1 2 4
1 2 3 9
3 : 0 3 6 12
0 5 11 23
f f f
f f f
 
 ÷
→ − − − − ÷
 ÷− 
 
 ÷
→ − − − − ÷
 ÷− − − 
Los pasos realizados equivalen a eliminar la variable x en la segunda u tercera
ecuación.
3° Ahora multiplicaremos la segunda ecuación por
1
3
− :
2 2
1 2 3 9
1
: 0 1 2 4
3
0 5 11 23
f f
 
 ÷
→ −  ÷
 ÷− − − 
24

4° Para obtener 0 en la segunda columna de la tercera fila (ecuación), se debe
multiplicar por 5 la segunda fila y sumar la tercera fila con la nueva segunda fila.
3 3 2
1 2 3 9
5 : 0 1 2 4
0 0 1 3
f f f
 
 ÷
→ +  ÷
 ÷− − 
5° Finalmente, para obtener 1 en la tercera columna de la tercera fila:
( )3 3
1 2 3 9
1 : 0 1 2 4
0 0 1 3
f f
 
 ÷
→ −  ÷
 ÷
 
6° Si expresamos la matriz anterior en términos de las ecuaciones, obtendríamos:
2 3 9
2 4
3
x y z
y z
z
+ + =
+ =
=
Entonces , en la tercera fila se obtiene: 3z = y sustituyendo este valor en la
segunda ecuación se obtiene: 2y = ; luego 4x = . Por lo tanto, este sistema de
ecuaciones tiene sólo una solución: ( )4; 2;3− .
25

PRACTICA
1. Hallar la inversa de la matriz
a)
1 1 3
1 2 1
1 3 1
A
− − 
 ÷
= − ÷
 ÷− − 
b)
1 0 2 0
1 2 0 1
1 1 4 1
3 1 3 2
A
 
 ÷
 ÷=
 ÷− −
 ÷
− − − 
c)
1 3 2 2
2 4 0 1
1 5 2 2
2 1 2 1
A
− 
 ÷
− ÷=
 ÷− −
 ÷
− − − 
2. Dadas las matrices
1 2 3 2 0 1 1 2 3
2 0 1 , 1 2 3 , 6 0 3
5 2 1 5 2 1 5 2 1
A B C
−     
 ÷  ÷  ÷
= − = = − ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷− − −     
Hallar las matrices elementales 1 2 3, ,E E E tales que
a) 1E A B= b) 2E A C= c) 2 1E E A C=
3. Demostrar que las matrices A y B son equivalentes por filas
2 0 1 1 2 3
1 2 3 2 0 1
5 2 1 7 2 7
A y B
−   
 ÷  ÷
= = − ÷  ÷
 ÷  ÷−   
4. Hallar la forma escalonada de cada matriz y determinar el rango de dicha matriz:
1 2 1 2 1 0
3 2 3 1 1 2
1 2 4 1 4 3
4 3 1 , 2 0 4 ,
2 4 5 1 5 2
1 5 1 3 5 3
1 3 1 2 6 0
A B C
 
− − − −     ÷
− ÷  ÷  ÷= − = = ÷  ÷  ÷− ÷  ÷− − − −  ÷   
 
5. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) 2 3 8 1x y z+ − = b) 1 2 3 42 2x x x x− + + =
2 3 4
5 3 13
z y z
z y z
− + =
− + =
1 3 4
2 3 4
1 3 4
3 2 2 8
4 1
5 3 3
x x x
x x x
x x x
+ − = −
− − =
+ − = −
c) 1 2 3 42 3 3x x x x+ − + = d) 1 2 3 4 52 2 1x x x x x− + − + =
1 2 3 4
1 2 3 4
2 4 4 3 0
3 6 8 10
x x x x
x x x x
+ + + =
+ − + =
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
2 2 1
4 10 5 5 7 1
2 14 7 7 11 1
x x x x x
x x x x x
x x x x x
+ − + − =
− + − + =
− + − + = −
26

e)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 5 5
3 4 1
3 6 2 5
2 2 2 3 5
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + =

+ − − = −

+ − + =
 + + − =
f)
12 5 5
3 4 1
3 6 2 8
2 2 2 3 2
x y z w
x y z w
x y z w
x y z w
+ + + =
 + − − =

+ − + =
 + + − =
g)
2 4
2 3 3 2
3 3 2 3 3
2 5
x y z w
x y z w
x y z w
x y z w
− + + + =
 + + + =

− − + =
 − + − =
h)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
27 9 3 112
2
4
8 4 2 13
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
− + + + = −

− + − + = −

+ + + =
 + + + =
6. ¿Para qué valores de k R∈ el sistema
( )
( )
1
1 2
4
x y k z k
k x y z k
kx ky k
 + + + =

+ + + = −
− + = −
( a ) tiene solución única
( b ) tiene infinitas soluciones
( c ) es incompatible
7. Dado el sistema de ecuaciones
2
3 5 2 3
5
x y t b
x ay z t
x z at b
+ − =

+ − + =
 − + =
Señale el valor de a b+ que corresponde al caso en que el sistema es compatible
indeterminado y tiene el mayor número posible de parámetros.
8. Resolver el sistema
a)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 1
2 2 1
3
2 3 5
x x x
x x x
x x x
x x x
+ − = −

+ − = −

+ + =
 + − =
9. Resolver el sistema
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
2 0
2 0
7 5 5 5 0
3 2 0
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
+ + + − =

+ − − + =

+ − − + =
 − − + − =
27

( a ) Tiene solución única
( b ) Tiene infinitas soluciones. Expresar dichas soluciones en términos de
parámetros.
( c ) Es incompatible.
10. Dado el sistema de ecuaciones
( )
( )
1 1
2 2 2
1 2
a x y z
x ay z
x y a z
 − + − =

− − =
 − − + = −
¿Para qué valores de a
( a ) El sistema tiene solución única
( b ) El sistema tiene infinitas soluciones. Halle tales soluciones.
( c ) El sistema es incompatible
11. Usando el método de Gauss, resolver según los valores de a R∈ el siguiente
sistema de ecuaciones
2 3
3 1
5 3 2 4
2 2
x y w
x y z w
x y z w a
x y z w
+ + =
 − + − =

− + − =
 + + + =
12. La Texas Electronics Inc. (TEI) produce tres nuevos modelos de computadoras:
1, 2 y 3. Como parte del proceso de elaboración, estos productos pasan por la
planta técnica y por la planta de ensamblaje. Los tiempo empleados por unidad
en cada una de estas plantas se muestran en la siguiente tabla:
Modelo Planta Técnica Planta de ensamblaje
1 30 minutos 0,5 hora
2 12 minutos 2 horas
3 36 minutos 2 horas
Tiempo total empleado en
un mes en cada planta
116 horas 370 horas
Cuantas unidades de cada modelo produjo la empresa si obtuvo una utilidad
mensual de 37 500 dólares, sabiendo que las ganancias obtenidas por la venta de
los modelos 1, 2 y 3 fueron de 200, 50 y 100 dólares por unidad,
respectivamente? Asumir que se vendió toda la producción.
13. En la siguiente figura se ilustra una red de calles y los números indican la
cantidad de autos por hora que salen o entran (según sea el sentido de las
flechas) de las intersecciones. Así por ejemplo, en una de las intersecciones
ingresan 1x y 2x autos por hora y salen 400 autos por una de las calles y 400
por otra.
28

Si se considera que todos los autos que ingresan a cada una de las intersecciones
deben salir,
a) Plantear un sistema de ecuaciones que relaciones las variables 1 2 3, ,x x x
y 4x .
b) Resolver el sistema empleando el método de eliminación gaussiana.
c) Modificar uno de los números del esquema inicial para que el sistema de
ecuaciones no tenga solución. Justificar su respuesta.
14. Micaela desea cubrir sus requerimientos vitamínicos semanales de exactamente
13 unidades de vitamina A, 22 de vitamina B y 31 de vitamina C.
Existen disponibles tres marcas de cápsulas vitamínicas en el mercado. La marca
I contiene 1 unidad de cada una de las vitaminas A, B y C por cápsula; la marca
II contiene 1 unidad de vitaminas A, 2 de B y 3 de C, y la marca III contiene 4
unidades de A, 7 de B y 10 de C.
Si las cápsulas de la marca I cuestan 50 céntimos cada una, las de la marca II
cuestan 70 céntimos cada una y las de la marca III, 2 soles cada una,
a) ¿qué combinación de cápsulas de las marcas I, II y III producirá exactamente
las unidades de vitaminas deseadas?
b) ¿Cuál de esas combinaciones le ocasionará menor gasto semanal a Micaela?
15. La siguiente tabla muestra los porcentajes de albúmina, carbohidrato y lípido en
cada uno de los alimentos A, B y C.
A B C
Albúmina 30% 50% 20%
Carbohidrato 30% 30% 70%
Lípido 40% 20% 10%
a) ¿Es posible obtener 1kg de comida que contenga solo esos tres alimentos en
un porcentaje de 47% de albúmina, 35% de carbohidrato y 18% de lípido? Si
la respuesta es afirmativa, explicar qué cantidades en gramos se requeriría de
cada uno de ellos y si es negativa, justificar por qué no se podría.
29
200 400
300 400
500 600
300 500

b) Y si pidiera combinar los tres alimentos para obtener una comida con 40%
de albúmina, 40% de carbohidrato y 20% de lípido, ¿cambiaría la respuesta
anterior? Justificar.
16. Una fábrica de muebles posee tres aserraderos: A, B y C, en los cuales se corta
madera a razón de 60m3
, 45m3
y 30m3,
por día, respectivamente. La madera se
distribuye a 2 fábricas de muebles M y N que necesitan 65m3
y 70m3
por día,
respectivamente. Los costos de transporte en dólares por metro cúbico desde los
aserraderos hasta las fábricas se muestran en la siguiente tabla:
Desde el aserradero Hasta la fábrica M Hasta la fábrica N
A 1,5 3,0
B 3,5 2,0
C 2,9 1,9
Considere que:
• Toda la madera cortada por día en los aserraderos se debe emplear para
satisfacer la demanda diaria de las fábricas.
• Los costos de transporte de la madera recibida por la fábrica M desde el
aserradero A son iguales a los costos de transporte de la madera recibida por
la fábrica N desde el aserradero B, por día.
• Los costos totales de transporte de la madera desde los aserraderos a las
fábricas ascienden a 242 dólares por día.
Hallar las cantidades de madera transportadas desde los aserraderos A, B y C a
las fábricas M y N.
17. La compañía Realistic Picture Frame puede fabricar cuatro tipos diferentes de
marcos para pinturas: rústico, modernistas, francés y romano. Cada marco
requiere de las siguientes cantidades de recursos en madera, mano de obra y
tiempo de maquina, como se indica en el siguiente cuadro de tecnología de
producción:
Recursos
Recursos utilizados por unidad producida
Rústico Modernista Francés Romano
Madera (en pies) 1,0 1,5 2,0 2,0
Mano de obra (en horas) 1,0 0,9 0,6 0,6
Maquinas (en horas) 0,3 0,3 0,1 0,1
Por el momento se dispone de 1000 pies de madera, 460 horas de mano de obra
y 120 horas de tiempo de máquina y se emplearán todos los recursos disponibles.
a) Con la información dada ¿se puede determinar el número de marcos rústicos,
modernistas, franceses y romanos que se deben producir? Emplear el método
de Gauss.
30

b) Si además se sabe que las ganancias obtenidas por unidad de cada tipo de
marco son:
Rústico  $ 1,50
Modernista  $ 1,25
Francés  $ 0,95
Romano  $ 0,60
Determinar el número de marcos de cada tipo que se deben producir para
obtener la mayor ganancia posible.
18. Un ciclista se desplaza por tres tipos de terreno: cuesta arriba, llano cuesta abajo.
En cada uno de ellos emplea una velocidad constante. Como desea determinar
dichas velocidades, elabora la siguiente tabla de datos acerca de sus tres últimos
recorridos:
Recorrido
Tiempo empleado (en horas) Distancia total
(en km)
Cuesta arriba Terreno llano Cuesta abajo
I 0,25 1 0,25 22
II 0,75 0,6 0,05 16
III 1 0,2 0,4 19
a) Especificar las variables que se deben determinar, indicando qué representan
y en qué unidades se miden.
b) Hallar las velocidades del ciclista en cada tipo de terreno. Emplear el método
de eliminación gaussiana.
c) Empleando la solución encontrada en b), determinar qué tiempo emplearía el
ciclista en una ruta de 4km. Cuesta arriba, 15 km. En terreno llano y 10 km.
Cuesta abajo.
19. Suponga que una industria de hidrocarburos puede mezclar cuatro tipos de
petróleo para abastecer sus pedidos. En la siguiente tabla se muestran las
características de cada tipo de petróleo:
Tipo de
petróleo
Total de galones
por barril
Promedio de galones de compuestos
ligeros (que se evaporan con el
calentamiento) por barril
Ligero 75 3
Mediano 60 2,5
Pesado 60 3
Extrapesado 45 2
Dicha industria debe abastecer un pedido de 20 barriles de petróleo que contenga
en total 1 350 galones de petróleo y un promedio de 56 galones de compuestos
31

ligeros. Usando el método de eliminación gaussiana, contestar las siguientes
preguntas:
a) Con la información dada ¿se puede determinar un único número de
barriles de petróleo de cada tipo que deben mezclarse para abastecer tal
pedido?
b) Suponga que la compañía no tiene ningún galón de petróleo del tipo
Extrapesado. ¿Cuántos barriles de petróleo de cada tipo se requerirá?
c) Modificar uno de los coeficientes del sistema planteado en la parte b)
para que el problema no tenga solución. Muestre el nuevo sistema,
justificando su respuesta.
32

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