Matrices
- 1. UNIVERSIDAD DE ORIENTE NUCLEO DE MONAGAS UNIDAD DE ESTUDIOS BÁSICOS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS SECCION DE MATEMATICAS MATEMATICA I BACHILLERES: Ángelica Velásquez Lisette Penagos Samuel Alfonzo MATURIN, NOVIEMBRE DE 2017 PROFESORA: Milagros Coraspe
- 2. INTRODUCCIÓN Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece. El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij. Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.
- 3. Definición de Matriz Los arreglos rectangulares de números como el siguiente reciben el nombre de matrices. Más formalmente, dado un conjunto X, se denomina matriz de n filas y m columnas a un conjunto de n×m elementos de X, dispuestos en un arreglo rectangular de n filas y m columnas. Las características de los elementos del conjunto X dependerán, en cada caso, de la naturaleza del problema que se esté estudiando. X puede ser un conjunto de funciones, de palabras de un alfabeto, de números, etc. De aquí en adelante, salvo que se especifique lo contrario, los elementos del conjunto X serán números reales y denotaremos el conjunto de todas las matrices de orden n×m (n filas y m columnas) por . n m M 8 -1 0 5 0.5 3
- 4. En general, para representar una matriz A de orden nxm se escribe A = También se escribe A=( aij ) ( i = 1,..., n y j = 1,..., m) para indicar que A es la matriz de orden nxm que tiene elementos aij . Las matrices se denotan con letras mayúsculas y sus elementos con la misma letra minúscula acompañada de dos subíndices que indican su posición en la matriz; el primer subíndice indica la fila y el segundo la columna. Es decir, el elemento aij es aquel que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz A. Por ejemplo, si denotamos por M la matriz inicial, entonces el orden de M es 2x3 (2 filas y 3 columnas) y sus elementos son: m11= 8, m12= -1, , m13= 0, m21 = 5, m22 = 0.5 y m23 = 3. Dos matrices A=(aij) y B=(bij), de orden n×m, son iguales si aij = bij para todo i=1,..., n y j = 1,...,m. Es decir, dos matrices son iguales si los elementos que ocupan la misma posición en ambas matrices coinciden. a11 a12 … a1m a21 a22 … a2m . . . . . . . . . . . . an1 an2 … anm
- 5. Tipos de Matrices Matriz Fila: solo tienen una fila, ejemplo: a= ( 3 5 8 2) Matriz Columna: solo tiene una columna , ejemplo: A= Matriz Rectangular: es una matriz de mxn con m distinta de n, ejemplo: A= Matriz cuadrada : es una matriz de nxn (cantidad de filas= cantidad de columnas) ejemplo: A= 1 5 4 6 2 9 0 5 7 4 1 2 5 6 5 13 8 -1 8 9 4 0 9 3 9 -7 2 6
- 6. Tipos de Matrices Matriz Nula: matriz que contiene solo ceros, ejemplo: A= Matriz Identidad o unidad: matriz cuadrada en la que todos sus elementos son ceros (0), excepto los de la diagonal principal, que son unos (1), ejemplo: A= Matriz Diagonal: matriz cuadrada que tiene cualquier escalar en su diagonal principal y ceros en el resto, ejemplo: A= 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4/3
- 7. Tipos de Matrices Matriz Escalar: es una ponderación de la identidad, ejemplo: 4I3= 4 = Matriz triangular superior: es una matriz cuadrada A= (aij) donde aij = 0 para todo i > j, es decir tiene ceros bajo la diagonal principal, ejemplo: A= matriz triangular superior de orden 3 Matriz triangular inferior: es una matriz cuadrada A= (aij) donde aij = 0 para todo i < j, es decir tiene ceros sobre la diagonal principal, ejemplo: A= matriz triangular inferior de orden 4 3 6 5 0 8 9 0 0 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4 0 0 0 4 0 0 0 4 5 0 0 0 1 6 0 0 5 2 9 0 3 0 6 1
- 8. Tipos de Matrices Matriz opuesta: resulta de sustituir cada elemento por su opuesto, ejemplo: A= Matriz traspuesta: la matriz que se obtiene de intercambiar filas por columnas en una matriz, ejemplo: A= At= 2 3 0 1 2 0 3 5 6 2 1 3 3 2 5 0 0 6 5 7 8 -3 6 -2 2 -1 8 -5 -7 -8 3 -6 2 -2 1 -8
- 9. Operaciones con matrices Suma: la suma o resta se realiza por componentes (solo se pueden sumar matrices del mismo orden, es decir, si tengo una matriz de 2x4 solo se podrá sumar con matrices de 2x4 y el resultado también será una matriz de 2x4), ejemplo: + = o Propiedades de la Adición: - Asociativa: (A+B)+C = A + (B+C) - Conmutativa: A + B= B + A - Elemento neutro: A + 0 = A - Elemento simétrico: A - B = A + ( - B ) 7 3 3 1 0 3 1 3 0 1 2 1 8 6 3 2 2 4
- 10. Operaciones con matrices Ponderación de matrices: es una multiplicación de un escalar con una matriz, esta multiplicación es por componentes, ejemplo: 2 = = o Propiedades de la ponderación: sean a y b escalares, A y B matrices de mxn. - a(A + B)= aA + aB - (a + b)A= aA + bA - (ab)A= a(bA) - I A=A - Aa = aA 1 -7 -5 4 5 3 2 9 -4 6 -3 6 2x1 2x-7 2x-5 2x4 2x5 2x3 2x2 2x9 2x-4 2x6 2x-3 2x6 2 -14 -10 8 10 6 4 18 -8 12 -6 12
- 11. Operaciones con matrices Multiplicación de matrices: solo se podrán multiplicar si existe enlace, es decir, la cantidad de columnas de la primera matriz debe ser igual a la cantidad de filas de la segunda matriz(ejemplo: una matriz de 3x2 se puede multiplicar con una matriz de 2x9 ya que la primera tiene 2 columnas y la segunda tiene 2 filas). Ejemplo: AB= (3 4 6 2 ) = = o Propiedades: - Asociativa: ( AB ) C = A ( BC ) - Distributiva: A ( B + C ) = AB + AC | ( A + B) C = AC + BC - No Conmutativa: AB no es igual a BA. Sólo se cumple en determinados casos (y a estas matrices se les llama permutables) 4x3 4x4 4x6 4x2 1x3 1x4 1x6 1x2 3x3 3x4 3x6 3x2 12 16 24 8 3 4 6 2 9 12 18 6 4 1 3
- 12. Operaciones con matrices Matrices cuadradas: sea A una matriz cuadrada, se dice que A es invertible si y solo si existe B tal que AB = BA = I, y B denotará como A-1 .En particular, las matrices cuadradas de orden 2 tenemos que si A= entonces A-1 = 1 ad - bc o Propiedades: - (A-1)-1 = A - I-1 = I - (AB)-1 = B-1A-1 - (aA)-1 = a-1 A-1 - AC = 0 si A es invertible entonces C = 0 - (An)-1 = (A-1)n = A-n ,con n numero entero positivo. d -b -c a a b c d
- 13. Operaciones con matrices Matriz traspuesta At: se obtiene al convertir las filas en columnas o equivalentemente las columnas en filas, ejemplo: t = o Propiedades de la Adición: - (At)t = A - It = I - (AB)t = BtAt - (At)-1 = (A-1)t - (aA)t = aAt cb - (A + B)t = At + Bt 1 4 5 2 4 1 1 5 4 4 2 1
- 14. Aplicación de matrices en la vida cotidiana Ejemplos: Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración . La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración . La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración . 1. Representar la información en dos matrices. 2. Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos.
- 15. 1. Matriz de producción: Filas: modelos A y B Columnas: terminaciones N, L, S M= Matriz de coste en horas: Filas: terminaciones N,L, S Columnas: coste en horas: T, A N= 400 200 50 300 100 30 25 1 30 1.2 33 1.3
- 16. Matriz que expresa las horas de taller y de administración para cada uno de los modelos: MxN= = Vamos a multiplicar la primera fila de M con la primera columna de N, luego la segunda fila de M con la primera columna de N. Y así mismo seguimos, la primera fila de M la multiplicamos por la segunda columna de N, luego la segunda fila de M la multiplicamos con la segunda columna de N. Veamos: 400x25 + 200x30 + 50x33 = 17650 400x1 + 200x1.2 + 50x1.3 = 705 300x25 + 100x30 + 30x33 = 11490 300x1 + 100x1.2 + 30x1.3 = 459 NOTA: Para resolver esta matriz, primero debemos corroborar que la cantidad de filas en la primera matriz sea igual a la cantidad de columnas de la segunda, entonces las dimensiones de nuestra matriz de producto van a ser iguales a la cantidad de filas de la matriz número uno y a la cantidad de columnas de la matriz número dos. 400 200 50 300 100 30 25 1 30 1.2 33 1.3 17650 705 11490 459
- 17. Una cadena de tiendas electrónicas tiene dos distribuidores en España. En mayo las ventas de tv, radio y mp3 en los dos almacenes, estuvieron dadas por la matriz siguiente A. TV RADIO MP3 DISTRIBUIDOR 1 A= DISTRIBUIDOR 2 Si la dirección establece ventas objetivas para junio de un 50% de aumento sobre las ventas de mayo, escribir la matriz que representa las ventas proyectadas para junio. Como se requiere que en junio, las ventas aumenten un 50% que el mes de mayo, representaremos a la matriz venta en junio como la matriz B. Tal que: B= 1.5 x A TV RADIO MP3 TV RADIO MP3 DISTRIBUIDOR 1 DISTRIBUIDOR 1 B= 1.5 DISTRIBUIDOR 2 B= DISTRIBUIDOR2 Por lo tanto, las ventas proyectadas para junio, supone para el distribuidor 1: 33 tv, 51 radios y 24 mp3; mientras que para el distribuidor 2: 21 tv, 60radios y 30 mp3. 22 34 16 14 40 20 22 34 16 14 40 20 33 51 24 21 60 30
- 18. En una pastelería elaboran tres tipos de postres: A, B y C, utilizando leche, huevos y azúcar (entre otros ingredientes) en las cantidades que se indican: A: 3/4 de litro de leche, 100 g de azúcar y 4 huevos. B: 3/4 de litro de leche, 112 g de azúcar y 7 huevos. C: 1 litro de leche y 200 g de azúcar. El precio al que se compran cada uno de los tres ingredientes es de 6.000 bs el litro de leche, 20.000 bs el kg de azúcar, y 10.000 bs la docena de huevos. Obtén matricialmente el gasto que supone cada uno de estos tres postres (teniendo en cuenta solamente los tres ingredientes indicados). El precio de cada litro de leche es de 6.000 bs; el precio de cada gramo de azúcar es de 20 bs; y el precio de cada huevo es de 833,33 Organizamos los datos que nos dan en dos matrices; su producto es la matriz que buscamos: L Az H A L A B Az = B C H C Por lo tanto, el postre A supone 98.33,32 bs; el B 12.573,31 bs; y el C 10.000,00 bs. ¾ 100 4 ¾ 112 7 1 200 0 6000 20 833,33 9.833,32 12.573,31 10.000,00
- 19. CONCLUSIÓN Una matriz es simplemente una disposición ordenada de elementos numéricos, esto es, una tabla de doble entrada que organiza cierta información cuantitativa o cualitativa. Esto debe interpretarse en el sentido de que entre los elementos de una matriz dada, no debe efectuarse ninguna operación algebraica. La teoría de matrices fue introducida en 1858, por A. Cayley , tiene hoy aplicaciones en campos diversos como el control de inventarios en las fabricas, teoría cuántica en física, análisis de costos en transportes y de otras industrias, problemas de estrategias en las operaciones militares y análisis de datos, en psicología y sociología. Las matrices son una herramienta muy importante para expresar y discutir problemas que surgen en l vida real. En los negocios a menudo es necesario calcular y combinar ciertos costes y cantidades de productos. Y nos preguntamos ¿Dónde esta la conexión con la economía? Pues las matrices sirven para representar simples procesos de producción; tienen muchas aplicaciones en la administración.