Matrices
- 1. UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO MONAGAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA UNIDAD DE ESTUDIOS BÁSICO Profesora: Milagros Coraspe Milagros Coraspe Integrantes: Catherin Rengel 28.242.104 María Díaz 26.933.256
- 2. Introducción: Las matrices son objetos matemáticos que permiten organizar información numérica (y también de otros tipos) de un modo natural y sencillo. La idea consiste en disponer números en forma de tabla, con una estructura de filas y columnas, de manera que cada elemento (cada número) de la tabla puede ser identificado mediante su posición: la fila y la columna en las que está situado el elemento. Esta disposición en forma de tabla con filas y columnas puede no resultar muy audaz, ya que es algo realmente natural, casi obvio, por lo que posiblemente no se perciba la matriz como un "gran invento".
- 3. • Matriz: Es una disposición de elementos en filas y columnas de forma ordenada, es una tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse.
- 4. • Matriz numérica: Conjunto de números colocados en filas y en columnas A= α1 α2 α3 … α12 αn α6 α5 α4 … α10 αn αm αm αm … α11 α16 Fila Columna M x n Generalizando
- 5. • Observaciones: 1. Los aij son números reales se les llaman elementos de la matriz 2. El primer sub índice ( i ) indica la fila, i = { 1, 2, 3 ,…, m } el segundo ( j ) la columna, j = { 1, 2, 3,…, n } 3. m x n indica el orden o tamaño de la matriz. Se lee: m x n, m filas y n columnas 4. Se utilizaran letras mayúsculas para denotar a las matrices y las letras minúsculas para denotar sus elementos. 5. Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y si los elementos son respectivamente iguales.
- 6. • Matriz de orden (m,n): Conjunto de números reales, dispuestos en filas m y en columnas n. Cada uno de los números que constan la matriz es un elemento, que se distingue entre los 2 por su posición. • Sub-indice: Cada elemento tiene unos sub índices que sirven para indicar su posición dentro de la matriz. El primer indica la fila y el segundo indica lo columna. • Orden de la matriz: El numero de filas y columnas de una matriz determina el orden de la matriz, este esta determinado por un par de números naturales, m y n
- 7. • Ejemplo: A = 1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 0 5 Las filas son los números dispuestos En m horizontales. • Ejemplo: La primera fila estaría formada Por los números (1, 2, 3) Las columnas son los números dispuestos En n verticales. • Ejemplo: La primera columna estaría Formada por ( 1, 1, 4, 6) Una matriz de orden (m n) es el conjunto de Números dispuestos en m filas y n columnas • Ejemplo: Vemos que es una matriz 4x3 se clasifica así porque tiene 4 filas y 3 columna
- 8. • Tipos de Matrices: • Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada donde todos sus elementos por debajo y por arriba de la diagonal principal son ceros A = • Matriz escalar: Es una matriz cuadrada diagonal y en donde todos sus elementos de la diagonal principal son iguales. A = 1 0 0 0 5 0 0 0 6 5 0 0 0 5 0 0 0 5
- 9. • Matriz identidad ( I ) : Es una matriz cuadrada donde todos sus elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y fuera de la diagonal principal son ceros. I = • Matriz nula: Es la que tiene todos sus elementos nulos la denotamos por 0 (cero). z = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
- 10. • Matriz fila Es una matriz de orden 1 x n A = • Matriz columna Es una matriz de orden m x 1 B = 1 2 0 0 1 0 9 5
- 11. • Matriz cuadrada: Es toda matriz que tienen el mismo numero de filas (m) y el mismo numero de columnas (n), es decir m va a ser igual a n. Se dice que la matriz cuadrada es de orden n x n. A= • Diagonal principal de una matriz cuadrada: A = 1 3 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 13 14 15
- 12. • Matriz opuesta: Se modifica el símbolo de cada elemento por su opuesto. A = • Matriz traspuesta: La matriz que se obtiene de intercambiar filas por columnas en una matriz se denomina matrices traspuestas. Si el orden de A es (m, n) el orden de su traspuesta A™ A = A™ = 1 -2 -3 4 -5 6 -7 6 3 -5 -2 - 4 1 2 3 4 5 6 1 3 5 2 4 6
- 13. • Operaciones con matrices Suma: las matrices se pueden sumar y restar entre si, con la condición que sean del mismo orden. La suma se obtiene sumando los elementos de dos matrices que pertenecen a la misma fila y a la misma columna. Dada las matrices A y B del mismo orden, la matriz sumante se obtiene sumando cada termino de A correspondiente en B: a b e f a + e b + f α = c d b = g h →a + b c + g d + h resultado de A + B Propiedades de la suma : • Asociativa: ( A + B ) + C = A + ( B+ C ) • Conmutativa: A + B = B + A • Elemento neutro: A + 0 = A • Elemento simétrico: A - B = A + ( - B )
- 14. • Producto por un escalar : con un nombre real k y la matriz A de orden (m,n), definimos el producto de k por A el producto de cada elemento que les forma cada uno , es decir: a b A = c d 2 a 2 b K=2 → 2 A = 2 a 2 b resultado Propiedades del producto escalar : • k ( A + B ) = kA + Kb • ( k + h ) A = kA + hA • k ( h A ) = ( kh ) A • 1 A = A Productos de matrices: el producto entre dos matrices es la suma de los productos de los elementos de las filas y las columnas, según el subíndice. El orden del resultado de este producto será el numero de filas de A y el nombre de columnas B .
- 15. propiedades del producto: • Asociativa: ( AB ) C = A ( BC ) • Distributiva: A ( B + C ) = AB + AC | ( A + B ) C = AC + BC • No conmutativa: AB no es igual a BA. Solo se cumple en determinados casos ( y estas matrices se les llama permutables) Ejercicios Una fabrica produce dos modelos de lavadoras, A y B , en tres terminaciones: N, L , y S . Produce del modelo A. 400 unidades en la terminación N , 200 unidades de la terminación L 50 unidades en la terminación S. la terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración . La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La administración S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración. • Representar la información en dos matrices • Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos Matriz de producción 400 200 50 M = 300 100 30 Matriz de coste en horas 25 1 N = 30 1.2 33 1.3 Matriz que expresa las horas del taller y de administración para cada uno de los modelos 400 200 50 25 1 17650 750 M.N = 300 100 30 . 30 1.2 = 11490 459 33 1.3
- 16. Una empresa que fabrica televisores produce tres modelos con distintas características en tres tamaños diferentes. La capacidad de producción (en miles) en su planta nùmero uno esta dada por la matriz A . Modelo I Modelo II Modelo III Tamaño1 (20 pulg) 5 3 2 Tamaño2 (23 pulg) 7 4 5 = A Tamaño3 ( 26 pulg) 10 8 4 ( En otras palabras, la capacidad de la planta es de 5.000 televisores modelo I de 20 pulgadas, 8.000 televisores modelo II de 26 pulgadas, etc) la capacidad de producción de la planta numero dos esta dada por la matriz Modelo I Modelo II Modelo III Tamaño1 (20 pulg) 4 5 3 Tamaño2 (23 pulg) 9 6 4 =B Tamaño3 (26 pulg) 8 12 2
- 17. a) ¿Cual es la capacidad de producción total en las dos plantas? b) Si la empresa decide incrementar su producción en la planta numero uno en un 20%. ¿Cuál será la nueva producción en la planta? Solución a) La producción combinada (en miles) en las dos plantas esta dada por la suma de las matrices A y B 5 3 2 4 5 3 9 8 5 A + B = 7 4 5 + 9 6 4 = 16 10 9 10 8 4 8 12 2 18 20 6 • Las dos plantas producen 9.000 televisores modelo I de 20 pulgadas b) Si la producción en la planta numero uno se incrementa en un 20% la nueva producción ( en miles) estará dada por la matriz 1.2 A 5 3 2 6 3.6 2.4 1.2 A= 1.2 7 4 5 = 8.4 4.8 6 10 8 4 12 9.6 4.8 • Por consiguiente, se producirán 4.800 televisores modelo II de 23 pulgadas.
- 18. CONCLUSION: La matriz es un elemento matematico que permite escribir muchos problemas en forma conveniente y compacta. Cualquier problema que lidie con ecuaciones lineales es directamente traducible a un problema de matrices. Tambien se pueden crear las llamadas "matrices de transicion" que son matrices que describen procesos de transicion de estados cuanticos que en estadísticas, y mas asignaturas de las estudios contables.