Matrices
- 1. UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO DE MONAGAS ESCUELA DE CIENCIAS SOCIALES Y ADMINISTRATIVAS (ECSA) DEPARTAMENTO DE CONTADURIA PÚBLICA SECCION 03 DE MATEMATICA BACHILLERES: AGUILERA , FABIANA .C.I:28.274.847 URBANO , DANIELA .C.I:27.947.375 DELGADO , JUAN PABLO .C.I: 27.614.592 PROFESORA: ING.MILAGROS CORASPE
- 2. Las matrices son objetos matemáticos que permiten organizar información numérica (y también de otros tipos) de un modo natural y sencillo. La idea consiste en disponer números en forma de tabla, con una estructura de filas y columnas, de manera que cada elemento (cada número) de la tabla puede ser identificado mediante su posición: la fila y la columna en las que está situado el elemento. Esta disposición en forma de tabla con filas y columnas puede no resultar muy audaz, ya que es algo realmente natural, casi obvio, por lo que posiblemente no se perciba la matriz como un "gran invento". Sin embargo, la sencillez de este concepto y el hecho de que las matrices organicen información numérica (y también de otros tipos) permite que sean utilizadas en casi todos los ámbitos del saber científico: física, sociología, astronomía, ingeniería y tantos otros. Ya dentro del campo de las matemáticas, se utilizan como instrumentos muy útiles en todas sus disciplinas: cálculo, estadística, geometría, lógica, criptografía, álgebra, probabilidad ... Esta gran versatilidad, a pesar de ser objetos tan simples, se debe a que el conjunto de las matrices posee una estructura sencilla y muy potente, que consiste fundamentalmente en la posibilidad de realizar diversas operaciones con matrices. Estas operaciones se "comportan" conforme a unas pocas propiedades (familiares y naturales, en la mayor parte de los casos), de manera que las operaciones junto con sus propiedades son las que proporcionan esta estructura y abren todo un universo de aplicaciones y utilidades. Para abordar con éxito esta unidad es suficiente conocer los diversos conjuntos numéricos, sus operaciones y propiedades, así como los signos más habituales de la teoría de conjuntos
- 3. Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece
- 4. El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz de dimensión mxn es una matriz que tiene m filas y n columnas. De este modo, una matriz puede ser de dimensión: 2x4 (2 filas y 4 columnas), 3x2 (3 filas y 2 columnas), 2x5 (2 filas y 5 columnas),... Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se dice que es de orden: 2, 3, 4, ... El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij). Un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, se denota por aij. Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.
- 5. Tiene muchas aplicaciones en la administración. Todo depende de que se desee analizar. Por ejemplo en los modelos de simulación de planta, en donde primero se parte de la consideración de todos los costos tanto de almacenamiento, como de embarque, tipos de materias primas y de productos terminados; así como todos los aspectos que tengan que ver con clientes, proveedores y posibles lugares de distribución. La importancia de poder contar con esta herramienta está en que representa una ventaja para los jefes de las áreas en función de disminución de costos por simulación y por rastreo además de que reduce tiempos y puede llevar a la mejor toma de decisiones por parte de la alta administración. Además se considera para determinar los pronósticos de las elecciones, operaciones futuras de una compañía, programas de producción, migración de la población, análisis de insumo producción ,etc. Para administración y finanzas es necesario si se conoce que para las ventas hay que llegar a un punto de equilibrio dado por la suma de utilidad - costos de producción, a groso modo. Además si de los costos de producción se conoce que es igual a la suma delos gastos operacionales y los gastos no operacionales. De los cuales se derivan muchas variables, por tanto usando las matrices se puede calcular el valor de cada variable en el sistema de ecuaciones simultáneas que se requiera por más complejo que sea.LAS MATRICES PARA EL ANALISIS ESTRATEGICO En definitiva Las matrices también son representación.
- 6. Triangular superior= En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. Triangular inferior= En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. Diagonal= En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos. .
- 7. Escalar= Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales. Identidad= Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. Potencia= Se llama potencia k-ésima de una matriz cuadrada A, donde k OE Õ, un entero positivo, al producto de A por sí misma, repetido k veces. Ak =A⋅A⋅A⋅......k veces ...... ⋅A Se conviene en que: A- k = (A- 1) k " k OE Õ A0 = I 1 0 0 0 0 1 0 0 1
- 8. Traspuesta= Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas ada (At)t = A (A + B)t = At + Bt (α ·A)t = α· At (A · B)t = Bt · At Simétrica= Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At. Antisimetrica= Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = -At. Compleja= Sus elementos son números complejos aij e ¬ Conjugada= Matriz conjugada de una matriz A Aquella que se obtiene sustituyendo cada elemento por su complejo conjugado (igual parte real, pero la parte imaginaria cambiada de signo).
- 9. Hermitiana o hermitica= Una matriz hermitiana (o hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j: 𝑨 = 𝑨 ∗ o, escrita con la traspuesta conjugada A*: Por ejemplo, 𝐴 = 3 2 + 𝑖 2 − 𝑖 1 es una matriz hermética. Anti-hermitiana= una Matriz antihermitiana es una matriz cuadrada cuya traspuesta conjugada es menos la matriz. Esto es si satisface a la relación: 𝑨 = −𝑨 ∗ o en su forma componente, si (A = ai,j): Para todas las i y las j. Ortogonal= Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible : A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.
- 10. MATRIZ DE PRODUCCION Una empresa que fabrica televisores produce tres modelos con distintas características en tres tamaños diferentes. La capacidad de producción(en miles) en su planta numero uno está dada por la matriz A . modelo I modelo II modelo III 5 3 2 7 10 4 5 8 4 =A Tamaño 1 (20 pulgadas) Tamaño 2 (23 pulgadas) Tamaño 3 (26 pulgadas) (En otras palabras , la capacidad de la planta es de 5.000 televisores modelo I de 20 pulgadas, 800 televisores modelo II de 26 pulgadas, entre otros.) la capacidad de producción de la planta numero dos esta dada por la matriz B. modelo I modelo II modelo III 4 5 3 9 8 6 4 12 2 =B Tamaño 1 (20 pulgadas) Tamaño 2 (23 pulgadas) Tamaño 3 (26 pulgadas)
- 11. • (a) ¿Cuál es la capacidad de producción total en las dos platas? • (b) ¿Si la empresa decide incrementar su producción en la planta uno en in 20 %. ¿Cuál será la nueva producción en la planta? SOLUCION: (a) L a producción combinada ( en miles)en las dos plantas está dada por la suma de las matrices A y B. 5 3 2 7 10 4 5 8 4 4 5 3 9 8 6 4 12 2 A + 𝐵 = + = 9 8 5 16 18 10 9 20 6
- 12. Una persona invirtió un total de $ 20 000 en tres inversiones al 6, 8 y 10 %. El ingreso total anual fue de $ 1 624 y el ingreso de la inversión del 10 % fue dos veces el ingreso de la inversión al 6 %. ¿De cuanto fue cada inversión? Inversiones 1,2 y 3 respectivamente: I1, I2, I3. Por condiciones del ejercicio se establece el siguiente sistema de ecuaciones: I1 (.06) + I2 (.08) + I3 (.10) = 1624 I1 + I2 + I3 = 20 000 2 I1 (.06) = I3 (.10) • La matriz aumentada asociada al sistema esta dada por: =
- 13. POR LO TANTO LA MATRIZ AUMENTADA ASOCIADA ES I1=$6000 I1=$6800 I1=$7200
- 14. Una cadena de tiendas electrónicas tiene dos distribuidoras en Lima. En mayo las ventas de Tv, radio y mp3 en los dos almacenes estuvieron dadas por las siguientes matrices 22 34 16 14 40 20 Tv radio mp3 Distribuidor 1 Distribuidor 2 Si la dirección establece ventas objetivas para junio de un 50% de aumento sobre las ventas de mayo , escriba la matriz que representa las ventas proyectadas para junio. SOLUCION: Como se requiere que en Junio , las ventas aumenten 50% mas que en el mes de mayo , representaremos a la matriz venta en Junio como la matriz B. 22 34 16 14 40 20 33 51 24 21 60 30 Distribuidor 1 Distribuidor 2 Distribuidor 1 Distribuidor 2 Tv radio mp3 Tv radio mp3 B=1.5 Tal que=b=1.5 *A
- 15. Luego de haber elaborado el presente trabajo podemos sacar algunas conclusiones importantes como: Una matriz es un arreglo rectangular de números colocados entre paréntesis cuadrados o líneas dobles. La teoría de matrices fue introducida en 1858 , tiene hoy aplicaciones en campos diversos como el control de inventario en fabricas, teoría cuántica en física ; análisis de los costos en transportes y de otras industrias ; problemas de estrategias en las operaciones militares y análisis de datos , en psicología y sociología. Entre las principales clases de matrices están : triangular inferior , triangular superior , diagonal ,escalar , identidad , potencia , traspuesta , anti simétrica , simétrica , compuesta , conjugada , hermitiana , anti hermitiana , ortogonal . Mediante el uso de las matrices se resuelven sistemas de ecuaciones lineales , además se resalta la importancia que tienen en la resolución de problemas de la vida cotidiana con lo cual se llega a dar una solución exacta y mejores resultados en un determinado proceso.