TEORIA DE CONJUNTOS
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Este documento presenta la teoría de conjuntos y operaciones básicas. Introduce conceptos clave como elementos, subconjuntos y operaciones entre conjuntos como unión e intersección. Explica cómo determinar conjuntos mediante extensión o comprensión y tipos de conjuntos como finitos e infinitos. Finalmente, ilustra el uso de operaciones de conjuntos para resolver un problema sobre la producción de dos productos en una cervecería.
TEORIA DE CONJUNTOS
- 1. Matemáticas I Teoría de Conjuntos Operaciones Básicas Especialidad: Ing en sistema computacionales Integrantes: Lidni Joahana Lopez Hernandez Martin Gomez Mayora Marco Eduardo Acosta Jimenez Jose Emmanuel fercano Carlos Francisco Javier Sevilla Martinez Bernardo Cipriano Peña
- 2. Introducción Esta primera unidad inicia con el estudio de la teoría de conjuntos, el cual enfocado al ámbito laboral tiene el objetivo de optimizar procesos ya que con un buen análisis se pueden detectar re trabajos y se pueden simplificar las operaciones realizadas de cualquier área laboral, pero del cual se requiere un buen análisis matemático para poder abstraer la realidad y ponerla en la forma de conjuntos
- 3. Desarrollo del tema: La teoría de conjuntos: Estudia las propiedades de los conjuntos (una colección de objetos considerada como un objeto en sí.) La colección de objetos pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es: AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}
- 4. Simbología aplicada en la teoría de conjuntos N : Números Naturales ⊂ : Subconjunto propio de. Z : Números Enteros ⊄ : No es subconjunto propio de. Q : Números Racionales > : Mayor que. R : Números Reales < : Menor que. C : Complejos ≥ : Mayor o igual que. {} : conjunto ≤ : Menor o igual que. ∈ : Es un elemento del conjunto o ∩ : Intersección de conjuntos. pertenece al conjunto. ∪ : Unión de Conjuntos. ∉ : No es un elemento del conjunto o A' : Complemento del conjunto A. no pertenece al conjunto. = : Símbolo de igualdad. ≠ : No es igual a. ⎜: Tal que. : ... El conjunto continúa. n (C) : Cardinalidad del conjunto C. ==> : Entonces. U : Conjunto Universo. ⇔ : Si y sólo si. Φ : Conjunto Vacío. ∼ : No (es falso que). ⊆ : Subconjunto de. ∧: Y ∨ :O
- 5. Determinación de un conjunto Extensión: Se usa mediante llaves Comprensión: Se usa mediante que contienen todos sus elementos de una formula, regla o proposición que los forma explicita describa A a, e, i, o, u A x/x es una letra vocal Ejemplo: 1 B : Las estaciones del año Extensión Comprensión B Verano, invierno, otoño, primavera B x/x es una estación del año
- 6. Ejemplo: 2 C.- Los números pares menores de 20 y mayores de 11 Extensión C C 12,14,16,18 2n/n C z Comprensión 5< n < 10 Un numero par del conjunto del elemento n tal que n pertenece a los números enteros y 5 es menor que n y menor que 10
- 7. Clases de conjuntos Conjuntos Conjunto Finito Conjunto Especiales Números Números Conjunto Conjunto Naturales Reales Unitario Universal (N) (R) (U) Números Números Conjunto Vacio Conjunto Enteros Complejos Potencia (Z) ( C) (o )
- 8. Conjunto Finito Un conjunto es finito, si posee una cantidad limitada de elementos diferentes. A 2, 4, 6, 8, ………….120 B x | x es un numero par Un conjunto es infinito, si posee una cantidad ilimitada de elementos diferentes. Aquí encontramos a todos los conjuntos numéricos. A x | x es un numero entero B x|x>2
- 9. Conjunto Especiales Conjunto Vacio: Es aquel conjunto que no posee elementos se denota por A x | x es un numero impar ^ 9 < x < 11 A Conjunto Unitario: Es aquel conjunto que posee un solo elemento B x | x es la capital de Oaxaca C x|x CZ,4<x<6
- 10. Operaciones básicas Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, constituyendo el álgebra de conjuntos: Operaciones: Unión. La Unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos. Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B. Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B. Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A. Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez. Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer (segundo) elemento pertenece a A (a B).
- 11. Ejemplo de una operación de conjunto: Durante el mes de Junio, la cervecera del trópico ha fabricado diariamente productos de la presentación Coronita 210 ml y Victorita 210 ml excepto 4 domingos durante los cuales no ha fabricado nada. Sabiendo que 15 días del mes ha fabricado coronita 210, y 20 días ha fabricado victorita 210. a) ¿cuántos días del mes ha fabricado ambos productos? b) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos de coronita 210? c) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos de victorita 210?
- 12. Análisis del problema a) ¿cuántos días del mes ha fabricado ambos productos? Coronita 210 : sus días representa un conjunto Victorita 210 : sus días representa un conjunto Sabiendo que hay días en que realizaron producciones de las dos presentaciones y los domingo no laborados, ambas presentaciones no se produjeron entonces sumamos los 15 días de la coronita mas los 20 días de la victoria y los 4 domingos se tendría que las sumas de los días nos daría como resultado que junio tendría 39 días. 1.- se aplica un diagrama de ven en donde el dato de los 4 domingos se ubica directamente en el diagrama 4
- 13. 2.- Debido a que existieron días en que se fabricaron ambos productos y dado que junio sólo tiene 30 días se aplica una diferencia 39 días – 30 días 9 días se fabricaron ambos productos. Victorita 210 9 4 Coronita 210 a) ¿cuántos días del mes ha fabricado ambos productos? Resultado: 9 días se produjeron ambas presentaciones
- 14. b) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos de coronita 210? Por diferencia obtenemos que de los 15 días de producción de coronita 210 le quitamos los 9 días donde ambas presentaciones se realizaron quedando de la siguiente manera: 15 días 9 días 6 días Victorita 210 6 9 4 Coronita 210 Respuesta a la pregunta b: 6 días se realizaron solo productos de coronita 210 ml
- 15. c) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos de victorita 210? Aplicamos nuevamente una diferencia obtenemos que de los 20días de producción de victorita 210 ml le quitamos los 9 días donde ambas presentaciones se realizaron quedando de la siguiente manera: 20 días 9 días 11 días Victorita 210 Comprobación: La suma de los 6 6 9 11 días + 9 días +11 días + 4 domingos 4 es igual a los 30 días Coronita 210 del mes de junio Respuesta a la pregunta c: 11 días se realizaron solo productos de victorita 210 ml
- 16. Conclusión La teoría de los conjuntos sirve para optimizar procesos ya que con un buen análisis podemos detectar redundancias y se puede simplificar las operaciones realizadas ya sea en los procesos y macroprocesos ayudando a identificar que objetos pertenecen a que cosa y a que lugar.