Matrices
- 1. Universidad de Oriente Núcleo de Monagas Escuela de Ciencias Sociales y Administrativas Departamento de Gerencia de Recursos Humanos Maturín, Edo. Monagas PROFESORA: BACHILLERES: MILAGROS CORASPE MATURÍN, NOVIEMBRE DE 2017 • ELIEZER TORRES CI: 26.997.419 • MARIAN ESPINOZA CI: 26.997.245 MARIA RODRIGUEZ • CI: 26.975.632
- 2. Una matriz es un arreglo bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula(A,B..) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b...), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.
- 3. Los elementos individuales de una matriz m × n, a menudo denotados por ai, aj, donde el máximo valor de sus elementos (i, j) en i es m, y el máximo valor de j es n. Siempre que la matriz tenga el mismo número de filas y de columnas que otra matriz, estas se pueden sumar o restar elemento por elemento. Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar transformaciones lineales dada una base. En este último caso, las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.
- 4. A = a11, a12 …a1n a21, a22 …a2n …. …. .... ..… am1, am2 …amn En donde podemos apreciar horizontalmente la primera fila:(a11, a12 … a1n ) y la segunda fila:(a21, a22 … a2n)) entre otros. Mientras que verticalmente se habla de columnas: columna 1, columna 2, entre otras.
- 5. Por lo tanto una matriz de orden (m × n) tiene m filas y n columnas. En caso de que el número de filas y el de columnas sea el mismo se habla de matriz cuadrada. Las matrices cuadradas tienen dos diagonales, de las cuales sobre un ejemplo vemos la que se llama "diagonal principal" de la matriz:
- 6. Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero. Por ejemplo: A= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 es una matriz nula de tamaño 2x5 Se llama matriz fila a la que solo tiene una fila, es decir su dimensión es 1x n. Por ejemplo: ( 1 0 - 4 9 ) es una matriz fila de tamaño 1 x 4.
- 7. Se llama matriz columna a la que solo consta de una columna, es decir su dimensión será m x 1, como por ejemplo: 1 C = 0 8√־ es una matriz de columna 3 x 1 Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo numero de filas que de columnas, es decir su dimensión es n x n. Un ejemplo de matriz cuadrada es: 1 2 3 D= 6 5 4 -3 -4 0
- 8. Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para clasificar valores numéricos atendiendo a dos criterios o variables. Ejemplo: Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F). Todos ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en euros) indicado por la tabla siguiente: 2 unid 5 unid 10 unid Color N 0,04 0,08 0,12 Color F 0,03 0,05 0,08
- 9. Sabiendo que en un año se venden el siguiente número de paquetes: Resumir la información anterior en 2 matrices A y B, de tamaño respectivo 2x3 y 3x2 que recojan las ventas en un año (A) y los precios (B). Color N Color F 2 unid 700000 50000 5 unid 600000 40000 10 unid 500000 50000
- 10. Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 ´ 2 y otra de 3 ´ 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices. Ejemplo:
- 11. Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas. Ejemplo:
- 12. Interna La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n. Asociativa A + (B + C) = (A + B) + C Elemento neutro A + 0 = A Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A. Elemento opuesto A + (−A) = O La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo. Conmutativa A + B = B + A
- 13. Multiplicación: La multiplicación o producto de matrices es la operación de composición efectuada entre dos matrices, o bien la multiplicación entre una matriz y un escalar según unas determinadas reglas. División: La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB-1: Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar.
- 14. Toda matriz cuadrada se puede descomponer en la suma de una matriz simétrica y una matriz anti simétrica. Si A y B son matrices del mismo orden, entonces se pueden sumar entre sí. Los productos de matrices son válidos en ambos sentidos, AB y BA. Una matriz cuadrada A de orden n es singular si su determinante es nulo.
- 15. En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A−1, tal que: A . A−1 = A−1 . A : In donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual. Una matriz no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y solo si su determinante es nulo. La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.
- 16. El rango de una matriz es el número máximo de columnas (filas respectivamente) que son linealmente independientes. El rango fila y el rango columna siempre son iguales: este número es llamado simplemente rango de A (prueba más abajo). Comúnmente se expresa como rg(A). El número de columnas independientes de una matriz A de m filas y n columnas es igual a la dimensión del espacio columna de A. También la dimensión del espacio fila determina el rango. El rango de A será, por tanto, un número no negativo, menor o igual que el mínimo entre m y n:
- 17. E J E R C I C I O S EJERCICIO 1.-
- 18. EJERCICIO 2.- E J E R C I C I O S
- 19. Las matrices se pueden utilizar en la Economía para la presentación de datos de un problema en forma de tabla de doble entrada. Un ejemplo de esto es el modelo Input-Output, que permite solucionar problemas macroeconómicos, algunos de los cuáles son: – Orientar o estructurar los sectores productivos. – Poder predecir las demandas de producción. – Interpretar las relaciones económicas existentes entre los distintos sectores de producción. En la Geografía también aparecen cuando hay tablas de doble entrada, por ejemplo, para hacer referencia a la distancia que hay entre varias ciudades
- 20. Sirven para confeccionar y perfeccionar esquemas que simplifiquen y esquematicen situaciones reales ya que nos quedamos con lo esencial con lo que contribuyen en gran medida a creardestrezas de resoluciòn de problemas matematicos. Resaltan los elementos comunes y los diferenciadores de distintas situaciones. Los campos en que se puede encontrar aplicaciones de las matrices son: •Urbanismo: matrices de conectividad que estudian las conexiones entre distintos nucleos urbanos. •Sociologia: sociogramas y estudios de la influencia de unos individuos con otros en grupo. • Economìa: anàlisis de la producciòn, distribuciòn y organizaciòn de las empresas. •Y tambièn en la resoluciòn de sistemas de ecuaciones lineales