Metodos numericos 5

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES MÉTODOS ITERATIVOS MÓNICA YAMILE CAMACHO

Los métodos iterativos representan una alternativa potente para solucionar esta dificultad, puesto que éstos se acercan más a la solución real esperada a medida que se itera, de manera que la calidad de la aproximación obtenida dependerá de la cantidad de iteraciones que se éste dispuesto a efectuar. El planteamiento consiste en suponer un valor inicial y luego usar un método sistemático para obtener una estimación refinada de la solución. MÉTODOS ITERATIVOS

Carl Gustav Jakob Jacobi MÉTODO DE JACOBI

MÉTODO DE JACOBI método de Jacobi es un método iterativo, usado para resolver sistema de ecuaciones lineales del tipo Ax = b . El algoritmo toma su nombre del matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. El método de Jacobi consiste en una secuencia de transformaciones ortogonales. Cada transformación la denominaremos una rotación de Jacobi; y realmente corresponde a una rotación cuyo objeto es eliminar un elemento de la matriz. Así vamos rotando sucesivamente la matriz hasta que el error es lo suficientemente pequeño para ser considerada diagonal.

MÉTODO DE JACOBI Supóngase que se tiene un sistema 3 x 3. Si los elementos de la diagonal no son todos cero, la primera ecuación se puede resolver para x 1, la segunda para x 2 y la tercera para x 3, para obtener: En general, para un sistema de ecuaciones lineales de n ecuaciones con n incógnitas, el Método de Jacobi para encontrar un valor k de una variable x es el siguiente:

MÉTODO DE JACOBI El procedimiento consiste en asignar unos valores iniciales a las variables, usualmente se escoge "0" por simplicidad, de manera que para generar la siguiente iteración se sustituyen los valores obtenidos en la ecuación siguiente, con lo que se obtiene: La convergencia del método de Jacobi esta dada por:

MÉTODO DE JACOBI Ejemplo: dada el sistema de ecuaciones 12x1+5x2-x3=15 X1-6x2-4x3=9 2x1-3x2+8x3=5 Con valores iniciales x1= 1 , x2= 3 , x3= 2 Convergerá la solución usando el método de Jacobi? Solución: 1. Se chequea si la matriz es diagonalmente dominante, si todas las desigualdades se cumplen la solución debe converger por este método. 12 >= 5 + -1 = 6 -6 >= 1 + -4 = 5 8 >= -2 + -3 = 5 8 -3 2 -4 -6 1 -1 5 12

MÉTODO DE JACOBI Despejamos x1 de la ecuación 1, x2 de 2 y x3 de 3.                                 5 9 15 x x x 8 -3 2 -4 -6 1 1 5 12 3 2 1 12 5 15 3 2 1 x x x    -6 4 9 3 1 2 x x x    8 3 2 5 2 1 3 x x x   

Para los valores iniciales; X1=1 X2= 3 X3=2 MÉTODO DE JACOBI Iteración # 1 X1=0.1666 X2=-2.6666 X3=1.125 12 5 15 1 2 (3) x    = 0.1666 -6 4 9 2 (2) 1 x    = -2.6666 8 3 2 5 1 3 (3) (1) x    = 1.50

MÉTODO DE JACOBI Ahora calculamos el error absoluto relativo aproximado: % 500 100 1     a 0.16666- 1 0.16666 % 212.50 100 2     a 2.6666-3 2.6666 % 33.33 100 3     a 1.50-2 1.50 El máximo error absoluto relativo aproximado después de la primera iteración es 86% .

MÉTODO DE JACOBI 1,03 -0,200 0,66 -1,085 0,04 1,682 14 4,33 -0,202 0,00 -1,078 0,49 1,682 13 0,69 -0,210 1,80 -1,078 0,34 1,690 12 11,61 -0,209 0,83 -1,097 1,15 1,696 11 4,03 -0,185 4,35 -1,107 1,48 1,676 10 35,00 -0,177 4,45 -1,058 2,48 1,651 9 20,54 -0,239 10,68 -1,011 5,09 1,692 8 50,10 -0,289 15,89 -1,119 3,94 1,778 7 139,13 -0,144 16,06 -1,297 15,56 1,708 6 524,83 0,056 53,16 -1,089 4,65 1,443 5 285,97 -0,239 58,40 -0,510 48,73 1,510 4 54,89 -0,924 206,02 -0,808 10,72 2,245 3 460,00 -0,417 7,87 -2,472 93,30 2,486 2 33,33 1,500 212,50 -2,667 500,00 0,167 1 2,000 3,000 1,000 e3 a3 e2 a2 e1 a1 Iter

El Método de Gauss-Seidel Es una técnica utilizada para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método es similar al método de Jacobi. Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera. GAUSS-SEIDEL

Se comienza planteando el sistema de ecuaciones con el que se va a trabajar: De la ecuación 1 despejar x1, de la ecuación 2 despejar x2, …, de la ecuación n despejar xn. Esto da el siguiente conjunto de ecuaciones: GAUSS-SEIDEL

Este último conjunto de ecuaciones son las que forman las fórmulas iterativas con las que se va a estar trabajando. Para comenzar el proceso iterativo, se le da el valor de cero a las variables x2,…, xn; esto dará un primer valor para x1. GAUSS-SEIDEL

Enseguida, se sustituye este valor de x1 en la ecuación 2, y las variables x3,…, xn siguen teniendo el valor de cero. Estos últimos valores de x1 y x2, se sustituyen en la ecuación 3, mientras que x4,…, xn siguen teniendo el valor de cero; y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación. Todo este paso arrojará una lista de primeros valores para las incógnitas, la cual conforma el primer paso en el proceso iterativo. GAUSS-SEIDEL

Se vuelve a repetir el proceso, pero ahora sustituyendo estos últimos datos en vez de ceros como al inicio. En este momento se pueden calcular los errores aproximados relativos, respecto a cada una de las incógnitas. En este momento se pueden calcular los errores aproximados relativos, respecto a cada una de las incógnitas. GAUSS-SEIDEL

LOS ERRORES APROXIMADOS GAUSS-SEIDEL El proceso se vuelve a repetir hasta que: Se finalizan las iteraciones cuando el máximo Error absoluto relativo aproximado es menor que la tolerancia especificada para todas las incógnitas.

El método de Gauss-Seidel converge a la solución del sistema de ecuaciones siempre? Una matriz [A] es Diagonalmente dominante si: Para todo ‘i’ y Por lo menos un ‘i’ GAUSS-SEIDEL

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones 12x1+5x2-x3=15 X1-6x2-4x3=9 2x1-3x2+8x3=5 Con valores iniciales x1= 1 , x2= 1 , x3= 1 Solución : GAUSS-SEIDEL 8 -3 2 -4 -6 1 -1 5 12                                 5 9 15 x x x 8 -3 2 -4 -6 1 1 5 12 3 2 1

Valores iniciales: x1 = 1 x2=1 x3=1 GAUSS-SEIDEL 12 5 15 3 2 1 x x x    -6 4 9 3 1 2 x x x    8 3 2 5 2 1 3 x x x    12 5 15 1 1 (1) x    = 0.917 -6 4 9 2 (1) 0.9167 x    = -2.014 8 3 2(0.917) 5 1 3 (12.0833) x    = 0.359

Si seguimos iterando se tiene: GAUSS-SEIDEL 0,01 -0,203 0,01 -1,084 0,01 1,685 9 0,06 -0,203 0,02 -1,084 0,01 1,685 8 0,19 -0,203 0,02 -1,084 0,12 1,685 7 0,05 -0,202 0,43 -1,084 0,44 1,683 6 2,55 -0,203 1,74 -1,080 0,44 1,690 5 12,64 -0,208 2,11 -1,099 4,17 1,683 4 28,83 -0,181 14,71 -1,075 27,69 1,613 3 53,74 -0,234 119,56 -0,917 55,48 2,059 2 378,26 -0,359 149,66 -2,014 9,09 0,917 1 1,000 1,000 1,000 e3 a3 e2 a2 e1 a1 Iter

GAUSS SEIDEL CON RELAJACIÓN Se comienza planteando el sistema de ecuaciones con el que se va a trabajar: Reacomodamos las ecuaciones por Pivote y despejamos cada ecuación con su variable para obtener:

GAUSS SEIDEL CON RELAJACIÓN Asuma que: x1=x2=x3=Xn=0 Y aplique la definición xi(nuevo= wxi(nuevo) + (1-w)*xi(nuevo ) Donde w: Puede variar entre 0 y 2. Si 0<w<1, lo que se pretende es acelerar la convergencia ( método de subrelajación ) Si 1<w<2, lo que se pretende es acelerar la convergencia( método de sobrerelajación sucesiva o SOR ).

GAUSS SEIDEL CON RELAJACIÓN Ejemplo : se tiene el sistema -4x1+10x3=70 2x1-x2-2x3=-3 6x1+8x2=45 Use el método de gauss Seidel con relajación para resolver w=0.80 y error =5% Solución 2 -3 3 2 1 2x x x    8 45 1 2 6x x   10 4 70 1 3 x x  

GAUSS SEIDEL CON RELAJACIÓN Asumo x1= x2= x3= 0 Y aplico la definición; xi(nuevo= wxi(nuevo) + (1-w)*xi(nuevo ) Para luego ir reemplazando en cada ecuación. Para la primera iteración: 2 -3 3 1 0 0 x    =1.5 1 x (nuevo)= 0.80*1.5+(1-0.80)0 =1.2 8 45 2 0 x   =5.625 2 x (nuevo)= 0.80*5.625+(1-0.80)0 = 4.5

GAUSS SEIDEL CON RELAJACIÓN Y así sucesivamente realizamos las iteraciones donde de manera rápida encontraremos la solución. 10 0 70 3 x   =7 3 x (nuevo)= 0.80*7+(1-0.80)0 = 5.6

GAUSS SEIDEL CON RELAJACIÓN 0,001536004 5,8333184 0,001536004 4,687488 0,001536004 1,2499968 8 0,007679902 5,833408 0,007679902 4,68756 0,007679902 1,250016 7 0,038402458 5,83296 0,038402458 4,6872 0,038402458 1,24992 6 0,19193858 5,8352 0,19193858 4,689 0,19193858 1,2504 5 0,961538462 5,824 0,961538462 4,68 0,961538462 1,248 4 4,761904762 5,88 4,761904762 4,725 4,761904762 1,26 3 25 5,6 25 4,5 25 1,2 2 100 7 100 5,625 100 1,5 1 0,000 0,000 0,000 e3 a3 e2 a2 e1 a1 Iter

ttp://www.monografias.com/trabajos45/descomposicion-lu/descomposicion-lu2.shtml Chapra, S.; P. Canale, R. Métodos Numéricos para Ingenieros. (3ª ed.). McGrawHill http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/course/view.php?id=229 BIBLIOGRAFÍA

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