Metodos iterativos

Métodos de Solución de Ecuaciones LinealesMétodos IterativosEduardo Carrillo Zambrano

Métodos IterativosVentajas:Los métodos iterativos permiten al usuario el control de errores de redondeo.- métodos de eliminación, tales como eliminación de Gauss y la descomposición LU son propensos a la propagación de los errores de redondeo.Computacionalmente más eficiente para matrices grandes.

Aplicación a matrices dispersas no es problemaMétodo de JacobiProcedimiento BásicoAlgebraicamente resolver cada ecuación lineal para xi

Suponga una vector solución inicial

Utilice error absoluto relativo aproximado después de cada iteración para comprobar si el error está dentro de un margen de tolerancia establecido con antelación.Método de JacobiLos métodos iterativos se utilizan para sistemas de un gran número de ecuaciones con un alto porcentaje de elementos cero.Un método de solución deComienza con una aproximación x(0) y genera la sucesión de vectores{x(k)} k = 0 .. 

Método de JacobiEl sistema Ax = b se escribe de la formax = Tx + cDonde T es una matriz fija y cun vector.La sucesión de vectores se genera calculandox(k+1)= T x(k)+ c

Método de JacobiDemostración: Escribimos la matriz del sistema comoA = D - L - U

Método de JacobiMétodos iterativos

Método de JacobiUn set de n ecuaciones con n incógnitas:* Si los elementos de la diagonal son diferentes de cero. Reescribir cada ecuación en función de las incógnitas correspondientes.* Despejar de la primera ecuación (x1 )La segunda ecuación (x2) . . . . . .

Método de JacobiReescribiendo cada ecuación:Desde la ecuación 1Desde la ecuación 2Desde la ecuación n-1Desde la ecuación n

Método de JacobiForma general de cada ecuación:

Método de JacobiSe resuelve la i-ésima ecuación para xi:Siempre que aii 0

Método de JacobiDespejar las incógnitasAsumir un valor inicial para [X(k)]Use las ecuaciones reescritas en función de xi.

Método de JacobiCáalculodel Error absoluto relativo aproximadoEntonces ¿Cuándo se ha hallado la respuesta correcta?Se finalizan las iteraciones cuando el máximo Error absoluto relativo aproximado es menor que la tolerancia especificada para todas las incógnitas.

Método de Jacobi: Ejercicio 1Ejercicio:La velocidad ascendente de un cohete se da en tres momentos diferentesTabla 1 Velocidad vs. TiempoLos datos de velocidad son aproximados por el polinomio:

Método de Jacobi: Ejercicio 1Planteando la matriz, se tiene:Formando la matriz, con el sistema de ecuacionesAsumiendo los valores iniciales para el vector solución:

Método de Jacobi: Ejercicio 1Reescribiendo las ecuaciones:

Método de Jacobi: Ejercicio 1Aplicar los valores iniciales y resolver para aiValores iniciales

Método de Jacobi: Ejercicio 1Hallar el Error absoluto relativo aproximadoAl final de la primera iteración:El máximo error absoluto relativo aproximado es 95,5%

Método de Jacobi: Ejercicio 1Iteración #2UsandoLos valores hallados para ai son:De la iteración #1

Método de Jacobi: Ejercicio 1Iteración #2Hallar el Error absoluto relativo aproximadoAl final de la Segunda iteración:El máximo error absoluto relativo aproximado es 227,46 %

Método de Jacobi: Ejercicio 1Realizando mas iteraciones obtenemos:Note – El error relativo no decrece a una tasa significativa.La solución no esta convergiendo a la solución real de:

Método de Jacobi¿ Cuál es el Error?Aunque se esta haciendo lo correcto, la respuesta No esta convergiendo a la respuesta Correcta.Este ejemplo ilustra una desventaja de los métodos Iterativos: No todos los sistemas de ecuaciones convergen.¿Existe una solución?Una clase de sistemas de ecuaciones siempre converge: una matriz diagonalmente dominante.Una matriz [A] es Diagonalmente dominante si:Por lo menos un ‘i’ Para todo ‘i’ y

Método de JacobiDiagonalmente dominante: los coeficientes de la diagonal deben ser al menos igual a la suma de los coeficientes de cada fila y al menos una fila con un coeficiente mayor a la suma de los otros coeficientes de la fila.Por lo menos un ‘i’ Para todo ‘i’ ySe llama Matriz estrictamente dominante

Método de Jacobi: Ejercicio 2Ejercicio :Dado el siguiente sistema de ecuaciones:Coeficientes de la matriz:Con Valores iniciales:Convergerá la solución usando el método de Jacobi?

Método de Jacobi: Ejercicio 2Se chequea si la matriz es diagonalmente dominante.Todas las desigualdades se cumplen y al menos una fila es estrictamente mayor.Por lo tanto: La solución debe converger usando el método de Jacobi

Método de Jacobi: Ejercicio 2Reescribiendo cada ecuación:Valores iniciales:

Método de Jacobi: Ejercicio 2El error absoluto relativo aproximadoEl máximo error absoluto relativo aproximado después de la primera iteración es 100%.

Método de Jacobi: Ejercicio 2Iteración #1Sustituyendo los valores de [X(1)] dentro de las ecuaciones:Iteración #2

Método de Jacobi: Ejercicio 2Iteración #2 error absoluto relativo aproximadoEl máximo error absoluto relativo es de 125,25%.Este es un error mayor al obtenido en la iteración #1. ¿ Esto es un problema?

Método de Jacobi: Ejercicio 2Seguir Iterando se obtiene:La solución obtenida es: Esta cerca de la solución exacta de:

Método de Jacobi: Ejercicio 3Dado el sistema de ecuaciones:Reescribiendo las ecuaciones:Valores iniciales:

Método de Jacobi: Ejercicio 3Llegando hasta la sexta iteración tenemos:Los valores no convergen.Esto significa que No se puede usar el método de Jacobi?

Método de Jacobi: Ejercicio 3El método de Jacobi puede usarse aun:La matriz no es diagonalmente dominantePero este mismo set de ecuaciones se uso en el ejemplo # 2, el cual Converge.Si el sistema de ecuaciones no es diagonalmente dominante, se debe chequear si un arreglo de la matriz se puede formar una matriz diagonalmente dominante.

Método de Jacobi: Ejercicio 3No todos los sistemas de ecuaciones pueden ser arreglados para obtener una matriz diagonalmente dominante.Observe el siguiente set de ecuaciones:¿Qué ecuación (s) evita que este conjunto de ecuaciones tener una matriz diagonal dominante?

Método de Gauss SeidelEn el método de Jacobi se calcula xk+1 con las componentes xk. El método de Gauss-Seidel sugiere una mejora, como para i > 1 ya se calcularon x1k+1, …., xi-1k+1, se utilizan para calcular xik+1En el paso k+1 se utilizan las xiya calculadas.Excepto por esta fórmula, el algoritmo es el mismo que el de Jacobi.

Método de Gauss SeidelProcedimiento BásicoAlgebraicamente resolver cada ecuación lineal para xi

Utilice error absoluto aproximado relativo después de cada iteración para comprobar si el error está dentro de un margen de tolerancia establecido con antelación.Método de Gauss SeidelPara un sistema de ecuaciones:

Método de Gauss SeidelReescribiendo las ecuaciones:

Método de Gauss SeidelDespejar las incógnitasUse las ecuaciones reescritas en función de xi.Nota: Siempre se usa el valor mas reciente de xi. Lo que significa que se aplican los valores calculados para los cálculos que quedan en la iteración actual.Asumir un valor inicial para [X(0)]

Método de Gauss SeidelCalculo del Error absoluto relativo aproximadoEntonces Cuando se ha hallado la respuesta correcta?Se finalizan las iteraciones cuando el máximo Error absoluto relativo aproximado es menor que la tolerancia especificada para todas las incógnitas.

Método de Gauss Seidel: Ejercicio Ejercicio :Dado el siguiente sistema de ecuaciones:Coeficientes de la matriz:Con Valores iniciales:Convergerá la solución usando el método de gauss seidel?

Método de Gauss Seidel: Ejercicio Se chequea si la matriz es diagonalmente dominante.Todas las desigualdades se cumplen y al menos una fila es estrictamente mayor.Por lo tanto: La solución debe converger usando el método de Gauss Seidel.

Reescribiendo cada ecuación:Valores iniciales:Método de Gauss Seidel: Ejercicio

El error absoluto relativo aproximadoEl máximo error absoluto relativo aproximado después de la primera iteración es 100%.Método de Gauss Seidel: Ejercicio

Método de Gauss Seidel: Ejercicio Iteración #1Sustituyendo los valores de [X(1)] dentro de las ecuaciones:Iteración #2

Iteración #2 error absoluto relativo aproximadoEl máximo error absoluto relativo es de 240,61%.Método de Gauss Seidel: Ejercicio

Método de Gauss Seidel: Ejercicio Seguir Iterando se obtiene:La solución obtenida es: Esta cerca de la solución exacta de:

Comparando resultadosJacobiGauss Seidel

Gauss-Seidel con relajación Recordando la formula para el método de Gauss-Seidel donde:Directoiterativo

Si decimos que:Una matriz diagonalmente dominante y definida positivaY también que:Matriz de términos por debajo de la diagonal de NMatriz de términos por encima de la diagonal de NMatriz Idéntica

Entonces tenemos que:Donde sumando x a cada lado y expandiendo la ecuación se tiene que:

Como el método de Gauss-Seidel es un método cuya característica es el desplazamiento sucesivo de los valores de x, la expresión expandida resultante es la siguiente:Detallando detenidamente la expresión anterior se puede deducir que la expresión que se encuentra encerrada en paréntesis seria el equivalente a un residuo, es decir la diferencia existente entre la solución k y la solución k+1.

Lo expuesto anteriormente es de suma importancia ya que la manipulación de este residuo por medio de un factor w(factor de relajación)el cual permite que un sistema divergente se pueda tornar convergente o un sistema cuya convergencia sea lenta se pueda acelerar. Puede variar entre 0 y 2.

Si 0<w<1, lo que se pretende es acelerar la convergencia (método de subrelajación).

Si 1<w<2, lo que se pretende es acelerar la convergencia(método de sobrerelajación sucesiva o SOR).Aunque existan una variedad de corolarios en la literatura que permitan plantear una valor de w, experimentalmente se puede seleccionar el mejor a través de una grafica de %Error vs w, donde se escoge el w que muestre el menor error:w óptimo

Si se reescribe la formula anterior en su forma expandida tendríamos que:Por lo que finalmente formula general para el método de Gauss-Seidel con relajación sería:

EjemploEl sistema lineal AX=b dado por: Cuya solución es el vector (3,4,-5). Se le ha empleado el método de Gauss-Seidel y SOR con w=1,25 usando un vector solución inicial de [1,1,1].

Las ecuaciones para el método de Gauss-Seidel son:

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