Metodos de resolucion
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Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de Gauss-Jordan, el método de eliminación Gaussiana, la factorización de Cholesky, la descomposición LU, la factorización QR de Householder, y métodos iterativos como el método de Jacobi y el método de Gauss-Seidel. Explica los principios básicos de cada método y cuándo es más adecuado utilizar cada uno.
![respuesta final. En forma general este método propone la eliminación progresiva
de variables en el sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una
incógnita. Una vez resuelta esta, se procede por sustitución regresiva hasta
obtener los valores de todas las variables.
Factorización De Cholesky:
Una matriz simétrica es aquella donde Aij = Aji para toda i y j, En otras palabras, [A]
=[A] T. Tales sistemas ocurren comúnmente en problemas de ambos contextos: el
matemático y el de ingeniería. Ellos ofrecen ventajas computacionales ya que sólo
se necesita la mitad de almacenamiento y, en la mayoría de los casos, sólo se
requiere la mitad del tiempo de cálculo para su solución. Al contrario de la
Descomposición LU, no requiere de pivoteo. El método de Factorización de
Cholesky se basa en demostrar que si una matriz A es simétrica y definida positiva
en lugar de factorizarse como LU, puede ser factorizada como el producto de una
matriz triangular inferior y la traspuesta de la matriz triangular inferior, es decir los
factores triangulaes resultantes son la traspuesta de cada uno. A = L . LT
Descomposición LU:
El método de Descomposición LU se basa en demostrar que una matriz A se puede
factorizar como el producto de una matriz triangular inferior L con una matriz
triangular superior U, donde en el paso de eliminación sólo se involucran
operaciones sobre los coeficientes de la matriz, permitiendo así evaluar los
términos independientes bi de manera eficiente. La implementación del algoritmo
de la Descomposición LU tiene sus variantes en cuanto a los valores iniciales de la
diagonal que tomen las matrices L y U, es decir si los valores de la diagonal de la
matriz L tiene números 1, formalmente esto se refiere a la Descomposición de
Doolitle. Pero si los valores de la diagonal de la matriz U tiene números 1,
formalmente esto se refiere a la Descomposición de Crout
Factorización de QR, Householder:](https://image.slidesharecdn.com/metodosderesolucion-170724032606/85/Metodos-de-resolucion-3-320.jpg)
Metodos de resolucion
- 1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO VICE-RECTORADO ACADEMICO FACULTAD DE INGENERIA ESCUELA DE INGENERIA EN MANTENIMIENTO MECANICO INTEGRANTE: Josman Freitez CABUDARE 23 DE JULIO DE 2017
- 2. Sistemas de resolución de ecuaciones En el siguiente resumen veremos los diferentes sistemas que sirven para resolver sistemas de ecuaciones, utilizando matrices que permiten utilizar algoritmos para resolver estos sistemas. Método de Gauss-Jordan: El proceso de eliminación de Gauss - Jordán consiste en realizar transformaciones elementales en el sistema inicial, destinadas a transformarlo en un sistema diagonal. El número de operaciones elementales de este método, es superior al del método de Gauss (alrededor de un 50% más). Sin embargo, a la hora de resolver el sistema de llegada por remonte, el número de operaciones es menor, motivo por el cual, el método de Gauss - Jordán es un método computacionalmente bueno cuando tenemos que resolver varios sistemas con la misma matriz A y resolverlos simultáneamente, utilizando el algoritmo de Gauss-Jordán. En base a lo anteriormente expuesto, solo haríamos un proceso de eliminación en la matriz y la resolución de un sistema con esta matriz es muy fácil. Un ejemplo en el que se suele usar Gauss - Jordán es en el cálculo de la matriz inversa, ya que calcular la inversa de A, es calcular N sistemas con la misma matriz. Métodos De Eliminación Gaussiana: El proceso de eliminación de Gaussisana o de Gauss, consiste en realizar transformaciones elementales en el sistema inicial (intercambio de filas, intercambio de columnas, multiplicación de filas o columnas por constantes, operaciones con filas o columnas, . . . ), destinadas a transformarlo en un sistema triangular superior, que resolveremos por remonte. Además, la matriz de partida tiene el mismo determinante que la matriz de llegada, cuyo determinante es el producto de los coeficientes diagonales de la matriz. Uno de los problemas de la eliminación Gaussiana es que debemos dividir entre el pivote; si este es un número muy pequeño, entonces un error de redondeo puede arrojar serias dudas sobre la
- 3. respuesta final. En forma general este método propone la eliminación progresiva de variables en el sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valores de todas las variables. Factorización De Cholesky: Una matriz simétrica es aquella donde Aij = Aji para toda i y j, En otras palabras, [A] =[A] T. Tales sistemas ocurren comúnmente en problemas de ambos contextos: el matemático y el de ingeniería. Ellos ofrecen ventajas computacionales ya que sólo se necesita la mitad de almacenamiento y, en la mayoría de los casos, sólo se requiere la mitad del tiempo de cálculo para su solución. Al contrario de la Descomposición LU, no requiere de pivoteo. El método de Factorización de Cholesky se basa en demostrar que si una matriz A es simétrica y definida positiva en lugar de factorizarse como LU, puede ser factorizada como el producto de una matriz triangular inferior y la traspuesta de la matriz triangular inferior, es decir los factores triangulaes resultantes son la traspuesta de cada uno. A = L . LT Descomposición LU: El método de Descomposición LU se basa en demostrar que una matriz A se puede factorizar como el producto de una matriz triangular inferior L con una matriz triangular superior U, donde en el paso de eliminación sólo se involucran operaciones sobre los coeficientes de la matriz, permitiendo así evaluar los términos independientes bi de manera eficiente. La implementación del algoritmo de la Descomposición LU tiene sus variantes en cuanto a los valores iniciales de la diagonal que tomen las matrices L y U, es decir si los valores de la diagonal de la matriz L tiene números 1, formalmente esto se refiere a la Descomposición de Doolitle. Pero si los valores de la diagonal de la matriz U tiene números 1, formalmente esto se refiere a la Descomposición de Crout Factorización de QR, Householder:
- 4. Anteriormente analizamos la factorización LU de una matriz el cual conduce aun método muy eficiente para resolver un sistema lineal. Otro método de factorización de una A, llamada factorización QR de A. Esta factorización se usa ampliamente en los programas de computadora para determinar valores propios de una matriz, para resolver sistemas lineales y para determinar aproximaciones por mínimos cuadrados. Solución De Sistemas Lineales Utilizando Métodos Iterativos: Un método iterado de resolución del sistema Ax = b es aquel que genera, a partir de un vector inicial x0, una sucesión de vectores x1, x2, . . . xn.. "Un método iterado se dirá que es consistente con el sistema Ax = b, si el límite x de la sucesión (xn), en caso de existir, es solución del sistema. Se dirá que el método es convergente si la sucesión generada por cualquier vector inicial x0 es convergente a la solución del sistema" .Es evidente que si un método es convergente es consistente, sin embargo, el recíproco no es cierto. Método de Jacobi: El Método de Jacobi transforma una matriz simétrica en una matriz diagonal al eliminar de forma simétrica los elementos que están fuera de la diagonal. Desafortunadamente, el método requiere un número infinito de operaciones, ya que la eliminación de cada elemento no cero a menudo crea un nuevo valor no cero en el elemento cero anterior. Si A es diagonalmente dominante, entonces la sucesión que resulta de la iteración de Jacobi converge a la solución de Ax = b para cualquier vector inicial Xo. Partimos de una aproximación inicial Xo para las soluciones Xi al sistema de ecuaciones y sustituimos estos valores en la ecuación: Que es la expresión que nos proporciona las nuevas componentes del vector x (k) en función de vector anterior x (k-1) en la iteración de Jacobi, en su respectivo algoritmo; donde el a el método de Jacobi más que usar el último valor disponible de , con base en un conjunto de las x anteriores (). De esta forma, como se generan
- 5. nuevos valores, no se usan en forma inmediata sino que se retienen para la siguiente iteración. Método De Gauss Seidel: El Método de Gauss Seidel emplea valores iniciales y después itera para obtener estimaciones refinadas de la solución; es particularmente adecuado para un gran número de ecuaciones, lo cual en cierto modo lo hace un método más comúnmente usado. La fórmula utilizada para hallar los xi viene dada por el despeje de cada una de las xi en cada una de las ecuaciones y se les da un valor inicial a cada xi de cero. Observase que en el método de Gauss-Seidel los valores actualizados de xi sustituyen de inmediato a los valores anteriores, mientras que en el método de Jacobi todas las componentes nuevas del vector se calculan antes de llevar a cabo la sustitución. Por contra, en el método de Gauss-Seidel los cálculos deben llevarse a cabo por orden, ya que el nuevo valor xi depende de los valores actualizados de x1, x2, ..., x i-1.