![Introducción
• La Transformada de Laplace al igual que la derivación e integración,
constituye una herramienta de transformación de una función a otro.
• Por ejemplo: Sea la función 𝑓 𝑥 = 5𝑥2
• Además de cumplir la propiedad de la linealidad:
Derivada
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 = 5. (2𝑥)
𝑓′
𝑥 = 10𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝛼𝑓 𝑥 + 𝛽𝑔 𝑥 = 𝛼𝑓′
𝑥 + 𝛽𝑔′(𝑥)
Integral
න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 5
𝑥3
3
+ 𝑐
න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
5
3
𝑥3 + 𝑐
න[𝛼𝑓 𝑥 + 𝛽𝑔 𝑥 ]𝑑𝑥 = 𝛼 න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝛽 න 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
(Zill, 2009) 3](https://image.slidesharecdn.com/laplacedirecta-190221072701/85/Transformada-Directa-de-Laplace-3-320.jpg)
Transformada Directa de Laplace
- 1. UNIVERSIDAD REGIONAL AMAZÓNICA “IKIAM” TRANSFORMADA DIRECTA DE LAPLACE ESTUDIANTE: DANIEL JAQUE B. DOCENTE: LUIS DANILO FLORES MATEMÁTICAS III
- 2. Índice • Introducción ……………………………………………………………………………. 3 • Definición Básica ……………………………………………………………………... 4 • Definición Transformada de Laplace ………………………………………... 5 • ℒ es una Transformación Lineal …………………………………………. 6 • Ejemplo ……………………………………………………………………………………. 7 • Referencias ………………………………………………………………………………. 9 2
- 3. Introducción • La Transformada de Laplace al igual que la derivación e integración, constituye una herramienta de transformación de una función a otro. • Por ejemplo: Sea la función 𝑓 𝑥 = 5𝑥2 • Además de cumplir la propiedad de la linealidad: Derivada 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 = 5. (2𝑥) 𝑓′ 𝑥 = 10𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝛼𝑓 𝑥 + 𝛽𝑔 𝑥 = 𝛼𝑓′ 𝑥 + 𝛽𝑔′(𝑥) Integral න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 5 𝑥3 3 + 𝑐 න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 5 3 𝑥3 + 𝑐 න[𝛼𝑓 𝑥 + 𝛽𝑔 𝑥 ]𝑑𝑥 = 𝛼 න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝛽 න 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 (Zill, 2009) 3
- 4. Definición Básica • Si f(x) está definida para t≥0, entonces la integral impropia: 0 ∞ 𝐾 𝑠, 𝑡 . 𝑓 𝑡 𝑑𝑡, corresponde al límite: න 0 ∞ 𝐾 𝑠, 𝑡 . 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = lim 𝑏→∞ න 0 𝑏 𝐾 𝑠, 𝑡 . 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 • Si el límite existe se dice que la integral existe o es convergente; mientras que si el límite no existe, la integral no existe y se diría que es divergente. El límite generalmente existe solo para ciertos valores de s. • La función K(s,t) se conoce como núcleo de la transformada. Considerando que el núcleo 𝐾 𝑠, 𝑡 = 𝑒−𝑠𝑡 nos aporta una transformada integral importante. (Edwars & David E. Penney, 2009) (Zill, 2009) 4
- 5. Definición. Transformada de Laplace Sea f una función definida para t≥0, entonces se dice que la integral ℒ 𝑓 𝑡 = න 0 ∞ 𝑒−𝑠𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 Es la transformada de Laplace de f, siempre que la integral converja. (Zill, 2009)5
- 6. ℒ es una Transformación Lineal • Dada una combinación de funciones 0 ∞ 𝑒−𝑠𝑡 α𝑓 𝑡 + β𝑔 𝑡 𝑑𝑡 , es posible reescribirla de la forma: α 0 ∞ 𝑒−𝑠𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 + β 0 ∞ 𝑒−𝑠𝑡 𝑔 𝑡 𝑑𝑡 , Siempre que ambas sean convergentes pata s>c. Así obtenemos que: ℒ α𝑓 𝑡 + β𝑔(𝑡) = αℒ 𝑓 𝑡 + βℒ 𝑔 𝑡 = α𝐹 𝑠 + β𝐺(𝑠) (Zill, 2009)6
- 7. Ejemplo: Sea 𝑓 𝑡 = 𝑡𝑒4𝑡 • Considerando la definición de la TL, ℒ 𝑓 𝑡 = 0 ∞ 𝑒−𝑠𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡, tenemos que: ℒ 𝑡𝑒4𝑡 = න 0 ∞ 𝑒−𝑠𝑡 𝑡𝑒4𝑡 𝑑𝑡 • Reescribimos ℒ 𝑡𝑒4𝑡 = න 0 ∞ 𝑒−(𝑠−4)𝑡 𝑡𝑑𝑡 • Aplicamos integración por partes: 𝑢 = 𝑡 dv = 𝑒−(𝑠−4)𝑡 𝑑𝑡 d𝑢 = 𝑑𝑡 v = − 𝑒−(𝑠−4)𝑡 (𝑠−4) 7
- 8. • Armamos y resolvemos la integral: ℒ 𝑡𝑒4𝑡 = − 𝑒− 𝑠−4 𝑡 𝑠 − 4 𝑡| ∞ 0 + න 0 ∞ 𝑒− 𝑠−4 𝑡 𝑠 − 4 𝑑𝑡 ℒ 𝑡𝑒4𝑡 = 0 + 1 𝑠 − 4 − 𝑒− 𝑠−4 𝑡 𝑠 − 4 | ∞ 0 ℒ 𝑡𝑒4𝑡 = 0 + 1 𝑠 − 4 1 𝑠 − 4 ℒ 𝑡𝑒4𝑡 = 1 (𝑠 − 4)2 Ejemplo: Sea 𝑓 𝑡 = 𝑡𝑒4𝑡 SOLUCIÓN 0 8
- 9. Referencias: • Edwars, C. H., & David E. Penney. (2009). Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera (Cuarta). México: Pearson Prentice Hall. • Zill, D. G. (2009). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado (Novena). México D.F. 9