Utp pd_iy_va_sap8 transformaciones geometricas
- 1. Procesamiento de Imágenes y Visión Artificial (WEE2) Sesión: 8 Transformaciones geométricas MSc. Ing. José C. Benítez P.
- 2. Logros de aprendizaje 1. Conocer las transformaciones geométricas aplicadas a los diferentes tipos de imágenes digitales. 2. Transformar geométricamente las imágenes digitales. 3. Implementar funciones para las transformaciones geométricas de las imágenes digitales. 4. Aplicar transformaciones rígidas sobre una imagen digital. 5. Transformar por afinidad una imagen digital. 6. Conocer las coordenadas homogéneas. 7. Combinar transformaciones geométricas. 2
- 3. 3 Contenido Transformaciones geométricas: • Introducción • Transformaciones Rígidas Traslación Rotación Reflexión • Transformaciones Afines Escalado Cizalladura Similitud • Transformaciones Proyectivas Coordenadas Homogéneas • Combinación de Transformaciones • Transformaciones geométricas con MATLAB
- 4. Introducción a las TG Esquema general del análisis de imágenes
- 5. Introducción a las TG • Utilizando el histograma, se obtiene una transformación que asigna para cada nivel de gris de la imagen de entrada un nuevo nivel de gris. Este tipo de transformaciones se llaman puntuales pues sólo hace falta conocer el nivel de gris en cada punto de la imagen de entrada para obtener el valor en el mismo punto de la imagen de salida. • Ahora nos ocuparemos de las TG. Determinaremos qué posición tomará en la imagen destino cada píxel de la imagen original cuando sobre ella aplicamos una transformación geométrica tales como traslación, rotación, escalado... Es decir, el valor de un píxel en la imagen de salida se asignará en base a las coordenadas (x,y) de ese píxel.
- 6. Introducción a las TG • Las TG que veremos no son distintas de las transformaciones básicas de la geometría. Sin embargo, debido a la naturaleza discreta de las imágenes, aparecen ciertos problemas que es preciso analizar y resolver. • Este tipo de transformaciones resultan útiles para facilitar el reconocimiento de formas cuando no existen unas condiciones preestablecidas de escala o posición en las piezas a analizar.
- 7. Introducción a las TG • Las transformaciones geométricas también son utilizadas para eliminar distorsiones debidas a óptica y a la perspectiva o bien para reajustar imágenes de una misma escena tomadas bajo distintas condiciones y poder de esta forma establecer correspondencias entre unas y otras.
- 8. Introducción a las TG Podemos clasificar las TG en: • Transformaciones rígidas o euclídeas, que preservan las distancias, ángulos y áreas. • Transformaciones afines, que preservan la colinealidad de los puntos, paralelismos y las razones entre los puntos pertenecientes a una línea. • Transformaciones proyectivas, que preservan solo la colinealidad de los puntos.
- 9. Introducción a las TG En transformaciones rígidas y afines las coordenadas de la imagen de salida (x¢, y¢) se obtienen a partir de la ecuación lineal en las coordenadas de la imagen = +
- 10. = + M debe cumplir la condición de ser invertible.
- 11. Transformaciones rígidas Las transformaciones rígidas se caracterizan por preservar las distancias. M es una matriz ortogonal. Son transformaciones rígidas : Traslación Rotación Reflexión
- 12. Transformaciones rígidas. Traslación La traslación es una transformación que desplaza una cierta magnitud vectorial cada uno de los píxeles de la imagen de entrada. x y ¢ = + x x t ¢ = + y y t x t + 1 0 = ¢ ¢ y t x y x y . 0 1
- 13. Transformaciones rígidas. Rotación La rotación consiste en girar la imagen original un cierto ángulo. La rotación en principio se establece respecto al origen de coordenadas ¢ = × − × q q cos( ) sin( ) x x y ¢ = × + × q q sin( ) cos( ) y x y × − = ¢ ¢ x y q q sen sen x y q q cos cos
- 14. Transformaciones rígidas. Reflexión Dada una recta r y un punto P,la reflexión del punto P =(x,y) respecto a la recta r genera un punto P′ = (′, ′) caracterizado por: • El vector PP′ es perpendicular a la recta r • Las distancias de P y P′ a la recta son iguales Ejemplo: reflexión respecto al eje vertical: × − = ¢ ¢ x y x y 1 0 0 1
- 16. Transformaciones afines. Las transformaciones afines preservan la colinealidad de los puntos (las rectas siguen siendo rectas tras la transformación), el paralelismo y las razones entre los puntos de pertenecientes a una recta. = M es una matriz invertible. +
- 17. = +
- 18. Transformaciones afines. Las transformaciones afines incluyen: Escalado Cizalladura Similitud
- 19. Transformaciones afines. Escalado El escalado es una transformación que se origina al multiplicar por un factor ambas coordenadas de cada píxel de la imagen de entrada. ¢ = x s x x · y s y y · ¢ = × = ¢ ¢ x y s s x y y x 0 0 El factor de escala no tiene necesariamente que ser el mismo para ambas coordenadas (escalado anisotrópico)
- 20. Transformaciones afines. Cizalladura La cizalladura de x respecto a y desplaza cada píxel de la imagen original en la dirección x un espacio proporcional a su coordenada y. ¢ = + × x x c y x ¢ = y y × 1 x x c x = ¢ ¢ y y 0 1
- 21. Transformaciones afines. Similitud Similitud: Traslación + Rotación + Escalado Isotrópico. En las transformaciones afines de similitud se conservan también los ángulos
- 22. Transformaciones afines. Caso general Afín: Similitud + Escalado anisotrópico + Cizalladura
- 23. Transformaciones proyectivas En las transformaciones proyectivas ya no se conserva el paralelismo, ni las razones entre puntos de una recta. Sólo se conservan las líneas rectas.
- 26. Coordenadas homogéneas La expresión matricial de la traslación y la rotación: x t + = ¢ ¢ y t x y x y . 1 0 0 1 × − ¢ x q q La traslación tiene una forma distinta del resto de las transformaciones pues no se reduce a un único producto de matrices sino que además contiene un sumando. = ¢ x y sen sen y q q cos cos
- 27. Coordenadas homogéneas • Interesa que todas las transformaciones tengan una representación uniforme mediante un producto de matrices. Esto permitirá operar más eficientemente, especialmente cuando hay que realizar una secuencia de transformaciones. • Para lograr esta representación matricial uniforme recurriremos a la utilización de coordenadas homogéneas. • En coordenadas homogéneas los puntos del plano se representan con tres coordenadas.
- 28. Coordenadas homogéneas Un punto (x, y) tiene la forma (hx, hy, h), donde h toma un valor arbitrario distinto de 0 que representa un factor de escala. Un mismo punto tiene infinitas representaciones en coordenadas homogéneas. El punto (2, 3) puede expresarse como: (2, 3, 1), (4,6,2), (6, 9, 3), … No obstante, lo habitual es tomar h=1, con lo que el punto (x, y) pasa a ser (x, y, 1)
- 29. Coordenadas homogéneas La traslación se expresará entonces en coordenadas homogéneas de la forma: x ¢ x = ¢ ¢ x 1 · 1 0 0 1 t x m m t 11 12 21 22 x x 1 0 0 1 y m m t y y = ¢ 1 · 0 0 1 1 y t y y Y en general cualquier transformación afín como:
- 30. Coordenadas homogéneas 1 0 = ¢ ¢ x 1 · 0 1 t x 0 0 1 x 1 y t y y − = ¢ ¢ x 1 · q q cos 0 cos 0 0 0 1 x 1 y sen sen y q q = ¢ ¢ x 1 · 0 0 0 0 0 0 1 x 1 y s s y y x − = ¢ ¢ x 1 · q q sen t cos cos x 0 0 1 x 1 y sen t y y q q Traslación Rotación Escalado Euclídea q q × − × cos s s sen t × × = ¢ ¢ x 1 · cos x 0 0 1 x 1 y s sen s t y y q q Similitud
- 31. Combinación de transformaciones Cuando se aplican dos o más transformaciones de forma consecutiva, estas se pueden combinar en una única transformación sin más que multiplicar las matrices de transformación. Esta es otra de las grandes ventajas de trabajar con coordenadas homogéneas. Ejemplo dos traslaciones: = 0 0 0 0
- 32. 0 0 1 0 0 0 0
- 33. 0 0 1 = 0 0 + 0 0
- 34. +
- 35. 0 0 1 =
- 36. Combinación de transformaciones En el caso anterior, el orden en que se efectúen las traslaciones no tiene importancia pero en general sí que hay que tener en cuenta el orden en que se hacen las operaciones. En general, el producto de las matrices de transformación no será conmutativo. Las matrices de trasformaciones posteriores irán multiplicando por la izquierda a las transformaciones previas.
- 37. Transformaciones geométricas con MatLab R = imrotate(I, angGrados,'bilinear'); Rota la imagen I el ángulo especificado en grados con interpolación bilineal. T = maketform('affine',t); Crea una estructura de datos para aplicar la transformación geométrica. J = imtransform(I,T); Aplica la transformación geométrica a la imagen I especificada en la estructura T. C = imcrop(I,[x0 y0 ancho alto]); Recorta de la imagen I la ventana especificada y la guarda en C. E = imresize(I,2,'bilinear'); Reescala la imagen I con un factor 2 usando una interpolación bilineal.
- 38. Resumen Realizar un resumen mediante mapas conceptuales (CMapTools) 32 de esta diapositiva. Serán mejor consideradas los resúmenes que tengan información extra a esta diapositiva. Las fuentes adicionales utilizadas en el resumen se presentarán en su carpeta personal del Dropbox y deben conservar el nombre original y agregar al final _S8. Las fuentes y los archivos *.cmap deben colocarse dentro de su carpeta personal del Dropbox, dentro de una carpeta de nombre: PDI_PaternoM_S8 Las Tareas que no cumplan las indicaciones no serán considerados por el profesor.
- 39. 33 Preguntas El resumen con mapas conceptuales solicitado de la Sesión, al menos debe responder las siguientes preguntas: 1. Concepto y clasificación de las TG. 2. Concepto y clasificación de las TG-rígidas. 3. Concepto y clasificación de las TG-afines. 4. Concepto de las coordenadas homogéneas 5. Las TG mediante las coordenadas homogéneas. 6. Las TG mediante MatLab.
- 40. 34 Sesion8. Transformaciones geométricas Procesamiento de Imágenes y Visión Artificial Blog del curso: http://utppdiyva.blogspot.com